离散数学 第六章的

B ⊈ A x ( xB xA ) 例如N Z Q R C，但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作A＝B。 如果A与B不相等，则记作A≠B。 符号化表示为： A = B A B B A
定义6.3 设A，B为集合，如果B A且B≠A，则称B是A的真子集，记作B A。 如果B不是A的真子集，则记作B A。 符号化表示为： B A B A B A
第二部分 集合论
第六章 集合代数 主要内容 集合的基本概念
属于、包含 幂集、空集 文氏图等 集合的运算 有穷集的计数 集合恒等式 集合运算的算律、恒等式的证明方法
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6.1 集合的基本概念
1. 集合定义 集合没有精确的数学定义 理解：由离散个体构成的整体称为集合，称这些个体为集 合的元素 常见的数集：N, Z, Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合
另一种定义是：AB = (AB) (AB) 例如：A={a,b,c}，B={b,d},AB ={a,c,d}
定义6.9 在给定全集E以后，A E，A的绝对补集～A定义如下： 绝对补 A = EA = {x|x∈E∧xA} = {x|x A}
例如：E＝{a，b，c，d}，A＝{a，b，c}，则～A＝{d}。
A={1,2,3}, A={1}
B={a}， B={a}
C=a， C=a 精品文档
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关于广义运算的说明
2. 广义运算的性质
(1) =，无意义 (2) 单元集{x}的广义并和广义交都等于x (3) 广义运算减少集合的层次（括弧减少一层） (4) 广义运算的计算：一般情况下可以转变成初级运算
A = {A1, A2, … , An} = A1A2…An A= {A1, A2, … , An} = A1A2…An
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪A∪精品(∪文∪档 A－∪∩A)＝b。
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6.4 集合恒等式（P92）
集合算律 1．只涉及一个运算的算律：
交换律、结合律、幂等律
AB = {x | xA xB}
相对补 AB = {x | xA xB}
例如：A={a,b,c}，B={a}，C={b,d}
AB= {a,b,c},
AB ={a},
AB={b,c} ,
B-A= ,
B C=
若两个集合的交集为 ，则精称品这文档两个集合是不交的
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6.2 集合的运算
定义6.8 设A，B为集合，A与B的对称差集A B定义为： 对称差 AB = (AB)(BA)
例6.2 设 A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}} B＝{{a}} C＝{a,{c,d}}
则
∪A＝{a,b,c,d,e,f},∪B＝{a}，C＝a∪{c,d}
∩A＝{a}，∩B＝{a}，∩C＝精品a文∩档{c,d}
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广义运算
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，记为∪A。符号化表示为
3. 引入广义运算的意义 可以表示无数个集合的并、交运算，例如
{{x} | xR}=R 这里的 R 代表实数集合.
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运算的优先权规定
一 类运算：广义并，广义交，幂集，绝对补运算 运算由右向左顺序进行(右结合)
二 类运算：并 ，交 ，相对补 ，对称差 优先顺序由括号确定
混合运算：一类运算优先于二类运算。
例如N Z Q R C，但N N。
注意： 和 是不同层次的问题精，品如文A档={a,{a}}和{a}
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空集、全集和幂集
定义6.4 空集 ：不含有任何元素的集合 符号化表示为： ={x | x ≠ x } 实例： { x | xR x2+1=0 }
定理6.1 空集是任何集合的子集。 证 对于任意集合A，
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有穷集合元素的计数
1. 文氏图法 2. 包含排斥原理 定理6.2 设集合S上定义了n条性质，其中具有第 i 条性质的 元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为
|A 1A2.. .An||S| |Ai| |AiAj|
1in
1ijn
|Ai AjAk|...(1)n|A 1A2.. .An| 1ijkn
定义6.6 全集 E：包含了所有集合的集合 全集具有相对性：与问题有关，不存在绝对的全集
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6.2 集合的运算
初级运算
集合的基本运算有并，交，相对补和对称差
定义6.7 设A，B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，B 对A的相对补集A－B分别定义如下：
并
AB = {x | xA xB}
交
A∩B＝B∩A A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
同一律 零律
A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) A∪＝A A∩E＝A A∪E＝E
排中律 矛盾律 吸收律 德摩根律
A∩＝ A∪～A＝E A∩～A＝ A∪(A∩B)＝A A∩(A∪B)＝A A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) ～(B∪C)=～B∩～C ～(B∩C)=～B∪～C
| ABC|
= 1000(200+166+125)+(33+25+41)8 = 600
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6.3 集合恒等式
下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中A，B，C代表任意集合。
幂等律
A∪A＝A
A∩A＝A
结合律
(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)
交换律
(A∩B)∩C＝A∩(B∩C) A∪B＝B∪A
分配律
例6.1 A＝{1,2,3}，将A的子集分类： 解：0元子集，也就是空集，只有一个： ； 1元子集，即单元集：{1}，{2}，{3}； 2元子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}； 3元子集：{1,2,3}。
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空集、全集和幂集
定义6.5 幂集：设A为集合，把A的全部子集构成的集 合叫做A的幂集，记作P(A)(或PA，2A)。 符号化表示为：P(A)={ x | x A } 实例：P()={}, P({})={,{}} 计数：如果 |A|=n，则 |P(A)|=2n.
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩精∪品A文∪档(∪∪A－∪∩A)＝b。
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作业
书本97页 第8题 的 第（4）小题 第9题 的 第（1）、（3）、（5）三个小题
书本98页 第18题 的 第（1）、（3）两个小题
与
A(BC) =(AB)(AC)
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集合算律
3．涉及补运算的算律： 德摩根律，双重否定律
德摩根律 A(BC)=(AB)(AC)
A(BC)=(AB)(AC) 双重否定律
A B＝B A
(6.29)
(A B) C＝A (B C) A ＝A A A＝ A B＝A C B＝C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
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书本88页
例6.5 设A＝{{a},{a,b}}
计算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。
解: ∪A＝{a,b}
～＝E
～E＝
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双重否定律
～(～A)＝A
除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果。
例如：
A∩B A，A∩B B A A∪B，B A∪B A－B A A－B＝A∩～B
(6.24) (6.25) (6.26) (6.27)
A∪B＝B A B A∩B＝A A－B＝ (6.28)
推论 S中至少具有一条性质的元素数为
n
|A1A2 An| |Ai | |Ai Aj |
i1
1ijn
|Ai AjAk| (1)m1|A1A2 An|
1ijkn
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实例
例6.5 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被5和6整 除，也不能被8整除的数有多少个？
解 方法一：文氏图 定义以下集合： S={ x | xZ 1x1000} A={ x | xS x可被5整除} B={ x | xS x可被6整除} C={ x | xS x可被8整除}
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广义运算
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
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集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
A
B
AB
A
B
AB
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A
B
Hale Waihona Puke BaiduA–B
E A
~A
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几点说明
并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1 A2 … An = { x | xA1 xA2 … xAn} A1 A2 … An = { x | xA1 xA2 … xAn}
A B AB = AB = AB = A
2．元素与集合的关系 隶属关系：或者
3．集合的树型层次结构
例如：集合A={a,{b,c},d,{{d}精}品} 文档
规定：A A
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集合与集合
集合与集合之间的关系：, ⊈, =, , , , 定义6.1 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A
的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，记作B A。 如果B不被A包含，则记作B ⊈ A。 符号化表示为：B A x ( xB xA )
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
练习: A= {{1}, {1,2}, {1,2,3}},
B= {{a}},
C={a}
解:
A x (xxA) 1(恒真命题)
推论 是惟一的
证明：假设存在空集1 和 2 ，由定理6.1有：
1 2 和 2 1
根据集合相等的定义，有1 = 2
所以得出结论： 是惟一的精。品文档
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空集、全集和幂集
含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m（m≤n）个元 素的子集叫做它的m元子集。任给一个n元集，怎样求出它 的全部子集呢？
交换 结合
幂等
AB=BA (AB)C =A(BC) AA=A
AB=BA (AB)C= A(BC)
AA=A
AB=BA (AB)C =A(BC)
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集合算律
2．涉及两个不同运算的算律： 分配律、吸收律
分配 吸收
与
A(BC)= (AB)(AC)
A(BC)= (AB)(AC)
A(AB)=A A(AB)=A
2. 集合表示法
列元素法----列出集合的所有元素，所有元素之间用逗号隔 开，并把它们用花括号括起来
谓词表示法----用谓词来概括集合中元素的性质
实例：
列元素法 自然数集合 N={0,1,2,3,…}
谓词表示法 S={ x |精x品文档R x21=0}
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元素与集合
1. 集合的元素具有的性质 无序性：元素列出的顺序无关 相异性：集合的每个元素只计 数一次 确定性：对任何元素和集合都 能确定这个元素是否 为该集合的元素 任意性：集合的元素也可以是 集合
画出文氏图，然后填入相应的
数字，解得
N=1000－(200+100+33+67)
=600
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实例
方法二 |S| = 1000 |A|=1000/5=200, |B|=1000/6=166, |C|=1000/8=125 |AB| = 1000/lcm(5,6) = 1000/33 = 33 |AC| = 1000/lcm(5,8) = 1000/40 = 25 |BC| = 1000/lcm(6,8) = 1000/24 = 41 |ABC| = 1000/lcm(5,6,8) = 1000/120 = 8
例 A={{a},{a,b}}，计算A(AA).
解：
A(AA)
= {a,b}({a,b}{a})
= (ab)((ab)a)
= (ab)(ba) = b
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例6.5 设A＝{{a},{a,b}} 计算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。
解: ∪A＝{a,b}
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b