几种高程拟合方法的精度分析

-53833.912
-29772.276 -37421.711
11.381
11.250 11.366
3.906
2.822 3.332
7.475
8.428 8.034
实例分析

使用 1、7、9、10、11、13、16、17、18、19、20、22、25、26、27、28、 31、33 、34、36 共 20 个均匀分布的控制点应作为已知点，2、3、4、5、6、8、 12、14、15作为检核点分别用二次曲面法和多面函数法进行拟合计算，其分析结果如 下表： 数据拟合分析 已知高程异常 二次曲面 拟合值 锥面 8.536 8.759 9.559 8.048 8.177 8.174 8.551 7.896 7.563 倒双曲面 8.624 8.773 8.380 8.198 8.279 8.359 7.568 8.044 7.716 二次 -0.031 -0.047 -0.140 0.052 0.080 0.028 0.002 0.061 0.037 残差值 锥面 倒双曲面
a0 a1x a2 y a3 x2 a4 xy a5 y 2 a6 x3 a7 x2 y a8 xy2 a9 y3 ...
式中 a0，a1，a2， ，a9 为模型的待定参数。 当控制点为n个，所取的项数为n项时，则存在如下方程组矩阵:
XA
-33611.141
-33564.440 -32024.104 -31147.313 -21649.388 -26803.839
13.344
12.817 11.821 13.030 12.587 12.313
5.134
4.610 3.597 4.776 3.808 3.755
8.210
8.207 8.225 8.254 8.778 8.558
2 2 1 2
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多面函数法高程拟合
高程拟合的精度评定指标 内符合精度： 根据参与计算的己知点的高程异常值 i 和计算后得到的高程异 0 常值 i 用 vi i i0 求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度

[VV ] n 1
外符合精度： 同样根据参与检核的己知点的高程异常值 i 和计算后得到的高 程异常值 i0 用 vi i i0 求得残差值，按下式计算GPS水准的内符合精度
实例分析
实验数据表（部分） 序号 X坐标 Y坐标 大地高 正常高 高程异常
1
2 3 4 5
-9230.899
-10589.011 -8775.220 -7666.317 -11649.851
-30277.679
-26223.536 -23280.827 -19160.955 -36495.574
11.879
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几种高程拟合方法比较
报告人：张晖
日期：2012年12月3日
摘要
GPS平面测量数据由于其高精度的特性已在测绘领域到了广泛的应用。 如何有效利用其高程信息，把大地高转化为正常高，直接为测绘行业服务是 一个非常实际且有意义的课题。针对目前GPS高程拟合的研究现状，本文主 要讨论GPS点位成面状分布时的两种拟合方法，即对二次曲面法和多面函数 法比较。
( x, y) a j Q( x, y, xi , yi )
j 1
u
多面函数法高程拟合
式中，a j 为待定系数； Q( x, y, xi , yi ) 是x和y的二次核函数，其中核心在 ( xi , yi ) 处，可由二次式的和确定，故称多面函数；x, y为待求点的坐标， xi , yi 为已 知点坐标。 其矩阵形式为: V AQ
多面函数法高程拟合
多面函数拟合曲面的方法是美国Hardy教1977年提出的，其理论基础是，任 何一个圆滑的数学曲面总可以用一系列有规则的数学表面的综合，以任意精 度逼近。
GPS高程多面函数拟合法就是把拟合区域的高程异常，用多个曲面高度逼近， 建立数学模型，借此可以求得未知点的高程异常，然后根据GPS所求的大地 高来计算常规基准下的正常高。 一个数学表面上点 ( x, y )的函数值 ( x, y) 可表达成
序号
2 8.580 3 8.673 4 8.866 5 8.161 6 8.210 8 8.225 12 7.899 14 8.046 15 7.695 外符合精度
8.549 8.626 8.726 8.213 8.290 8.253 7.901 8.107 7.732
-0.043 0.045 0.086 0.100 0.693 -0.487 -0.114 0.037 -0.033 0.069 -0.051 0.134 0.627 -0.357 -0.150 -0.002 -0.133 0.021
总结
总结与分析
一
对于地势比较平坦，
三
已知点的选取 一定要均匀，
或者高程变化比较
平缓时，二次曲面 法拟合可以满足其
二
对于多面函数法拟合 核函数的选取，以及
并非已知点越多 精度就越高。
精度要求
平滑 因子都会对精度
产生较大影响一定要 多次尝试。
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二次曲面法高程拟合
其中
0 1 n1
求出正常高 H 。
a0 a 1 A an 1
1 x0 y0 x02 2 1 x1 y1 x1 X 2 1 xn 1 yn 1 xn 1
GPS高程拟合的基本理论
正常高与大地高之间的关系为：
高程异常 H H
因此求出高程异常进而求的正常高， 建立似大地水准面的过程就是GPS 高程拟合的过程。
二次曲面法高程拟合
曲面拟合法： 当GPS点布设成一定区域面时，可以用数学曲面拟合法求定待 定点的正常高。其原理是:根据测区中已知点的平面坐标x、y(或大地坐标B、 L)和高程异常值，用数值法拟合，拟合出测区似大地水准面，再内插出待求 点的高程异常，从而求出待求点的正常高。 多项式曲面拟合： 多项式曲面拟合法是近年来使用的主要拟合方法，其中二 次多项式曲面拟合最为常见。多项式曲面拟合的一般模型为:
0
根据最小二乘原理可知其模型参数： A (QT Q)1 QT 0 将模型参数代入函数模型可得高程异常值，进而求出未知点的正常高。
常用的核函数有正双曲面和倒双曲面两种，其函数模型如下： 1 2 2 正双曲面：Q [(x xi ) ( y yi ) ]2 其中 称为光滑因子，当其值为0时，正 双曲面退化为圆锥面。 倒双曲面： Q [(x xi ) ( y yi ) ]
12 L 20 L 30 L
注：L为已知点与检核点的距离（单位：公里）
实例分析
右图为某中型城 市的城市控制网，图 中共有37个GPS—E 级控制点。为了研究 GPS拟合原理，对以 上所有控制点都进行 了三等水准测量，并 应用稳健估计进行粗 差探测，未发现粗差。

为了保证试验数 据的可靠性，其具体 数据见下表。
根据最小二乘原理可求： A ( X T X )1 X T 0 高程异常，进而求出正常高。
带入模型公式可求出未知点的
二次曲面法高程拟合
在工程中应用较多的是二次曲面法拟合，其数学模型为：
a0 a1x a2 y a3 x2 a4 xy a5 y 2
在求模型参数时需要至少6个已知点的高程异常值。
实例分析
当核函数为锥面函数时C取1，当核函数为到双曲面时 2 取10000，以下是 这三种拟合模型的残差图。
实例分析
当选取1、7、9、10、11、13、19、20、22、26、28、33、34、36这 14个点作为已知点进行二次曲面拟合时其精度如下表： 序号 2 3 4 5 6 8 12 14 15 二次曲面拟合残差（14点） -0.050 0.002 -0.062 0.016 0.061 0.018 0.135 0.011 -0.055 二次曲面拟合残差（20点） -0.031 -0.047 -0.140 0.052 0.080 0.028 0.002 0.061 0.037
通过高斯消元法求出模型参数A，然后求出未知点的高程异常值，进而
二次曲面法高程拟合
当控制点个数多于多项式的项数时，为了充分利用己知数据，通常会采用最 小二乘法拟合。 设点的高程异常

与其平面坐标 x, y 存在以下关系式：
V XA 0
v0 v V 1 vn 1
实例分析
续表 序号
12 13
14 15 16 17
X坐标
2078.745 -9337.283
-14355.472 -17115.063 -18538.802 -15219.401
Y坐标
-38769.456 -39433.379
-39856.997 -49101.972 -52552.997 -53448.173
大地高
12.097 11.931
11.467 11.579 13.403 12.377
正常高
4.173 3.925
3.421 3.884 5.835 4.852
高程异常
7.925 8.005
8.046 7.695 7.569 7.525
18
19 20
-12601.594
-12173.846 -4986.383
关键词：大地高
正常高
二次曲面法
多面函数法
GPS高程拟合基本理论
二次曲面法拟合
目录
多面函数法拟合
实例分析
总结分析
GPS高程拟合基本理论
高程基准面：高程基准面是地面点的高程起算面，即水准零点。 测量中主要涉及三个高程基准面：地球的物理表面―大地水准面，地球的数 学表面―参考椭球面，还有一个抽象的曲面―似大地水准面。 高程系统：与三个高程基准面相对应有三个常用的高程系统，正高高程系统、 大地高高程系统、似大地高高程系统。 目前我国所用的高程系统为似大地高高程系统而GPS高程是大地高高程系统。 由于参考椭球面与似大地水准面不重合。大地高与正常高之间就存在一个高 程异常。如下图所示
1 x0 1 x1 X 1 xn 1 y0 y1 yn 1
2 x0 x12 2 xn 1
其中
a0 a A 1 an 1
10 0 0 2 0 n
M [VV ] n 1
多面函数法高程拟合
内符合精度与外符合精度都是从点的统计角度出发的，可以说是一种相对意 义上的绝对精度评定。垂直数据因参考基准的不同，会有不同的系统偏差， 所以在某种意义上相对精度的评定更有说服力。
水准限差 测量等级 三等几何水准测量 四等几何水准测量 普通几何水准测量 允许的最大限差（mm）
14.337 13.173 12.263 11.592
3.493
5.757 4.500 3.397 3.430
8.386
8.580 8.673 8.866 8.161
6
7 8 9 10 11
-8129.317
-4334.088 295.107 3802.651 -11790.336 -7892.980