分块矩阵的性质及其应用论文大学论文
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关键词：分块矩阵，性质，应用。
ABSTRACT
The partitioned matrix is linear algebra is animportant part of content, the nature of partitioned matrix is the most basic basis, solving all kinds of typical examples in this paper through the analysis and processing, discusses some properties of partitioned matrix and the application in higher mathematics.
(1)分块矩阵的加法与数量乘法
设 都是 矩阵，并且对 用同样的方法进行分块：
其中 ， 都是 矩阵，即 ， 是同型矩阵，那么
=
设 是 矩阵，把 进行分块：
，a为任意数，则a
(2)分块矩阵的乘法
下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法。
定理设 是 矩阵， 是 矩阵，若对 作如下分块：
… …
= = ①
注意：上例中 的列的分法与 的行的分法是一致的，也就是说我们遵循了以下规则：
a. 的列组数等于 的行组数。
b. 的每个列组所含的列数等于 的相应行组所含的行数。
3)分块矩阵的转置
先看一个例子：设
记
则 可以分块成： 因此我们有： =
一般地，设 是一个分块矩阵，那么
分块矩阵取转置的规则是：
第一步：把 的每一块都看成元素（数）取转置。
类似地，我们可以定义分块矩阵的初等列变换。
例设n阶矩阵 分块表示为： ，其中 ， 为方阵，且 和 可逆，证明： 可逆。
2)Baidu Nhomakorabea列分块
= 其中 = j=1,2,k,s
3)当n阶矩阵C中都集中在主对角线附近，有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）：
C= 其中 是 阶方阵（i=1,2，k，m =n）
如：
=
其中 = ， , ;
矩阵分块的第一个好处就是使得矩阵的结构显得更清楚，如上面的矩阵①中，A的左上角是一个3阶单位阵 ，左下角是 零矩阵。
第二个好处（也是最重要的好处）是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵的运算转换为低阶矩阵的运算，这在下面的研究会得到充分的体现。
矩阵分块的目的在于简化矩阵的运算，对矩阵进行分块时，要根据实际需要来进行。
1.1.2分块矩阵的几个运算性质
下面我们逐一对分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置以及初等变换这些性质进行介绍:
分类号单位代码11395
密 级学 号0704210116
学生毕业设计（论文）
题目
分块矩阵的性质及其应用
作者
王涛
院 (系)
数学与应用数学
专业
数学与应用数学
指导教师
高宏伟
答辩日期
2011年5月31日
摘 要
分块矩阵是线性代数中非常重要的一部分内容，分块矩阵的性质是解题最基本的依据，本文通过对各类典型例题的分析和处理，来论述分块矩阵的几个性质及其在高等数学中的应用。
这说明，矩阵G的（i,j）元素恰好等于矩阵AB的（i,j）元素，基于以上两点可得 G=AB
例设矩阵
= =
其中 = 为三阶单位阵， = 为二阶单位阵， = 0= 矩阵 = =
其中 = 为二阶单位阵。
在计算 时，把 的各小子块看作元素，然后按通常的矩阵乘法把它们相乘，于是AB= = =
=
容易验证，这个结果与按矩阵乘法法则直接计算的结果是一致的。
Keywords：The partitioned matrix, nature, applications.
引言
矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是研究数学的很多分支问题的工具之一，当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干个子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧，利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的矩阵。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的探讨。
例把一个5阶矩阵 ①
用水平和垂直的虚线分成4块，如果记：
= = =0 =
就可以把A看作由上面4个小矩阵所组成，写作：
并称它是A的一个 分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A的一个子块。
(2)矩阵的分块方法
常用的矩阵分块方法，除了上例中的4块矩阵，还有以下几种：
1)按行分块
=
其中 =［ … ］i=1,2,…m
1 分块矩阵的性质及其应用
1.1分块矩阵的基本知识及性质
下面我们逐一介绍分块矩阵的定义、分块方法及其它的运算性质。
1.1.1分块矩阵的定义及其分块方法
(1)分块矩阵的定义
定义把一个 矩阵A，在行的方向分成s块，在列的方向分成t块，称为A的 分块矩阵，记作A= ，其中 （k=1,2,K,s;l=1,2,K,t）称为A的子块，它们是各种类型的小矩阵。
第二步：对 的每一块取转置。
4)分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具，由文③我们可以推广得到如下定义：
定义以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换。
a.互换两块行的位置
b.用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行
c.把一块行的P（矩阵）倍（即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵P）加到另一块行上。
i= + +…+ +
j= + +…+ + ③
由②式有： = + +……+
可知 的（ ， ）元素应是 ， ，… 的第 行分别与 ， ，… 的第 列相应元素乘积的和。由③式可知， 的第 行元素位于A中第i行， 的第 列元素位于B中第j列（k=1,2，K,s）再注意到对A,B所作的分块，可得
= + +…+ =
则 = ，其中G= （i=1,2,…r;j=1,2,…t）②
证明记 …
G=
下面证明将G看作以数为元素的矩阵，有G=
首先， 为 矩阵，基于①的分块方式及②式， 为 矩阵，且有 + +…+ =m + +…+ =
故将G看作以数为元素的矩阵，也是一个 矩阵。
其次，G的（i,j）元 必位于分块矩阵G的某一子块 之中，不妨设 是 的（ ， ）元素，即有：
ABSTRACT
The partitioned matrix is linear algebra is animportant part of content, the nature of partitioned matrix is the most basic basis, solving all kinds of typical examples in this paper through the analysis and processing, discusses some properties of partitioned matrix and the application in higher mathematics.
(1)分块矩阵的加法与数量乘法
设 都是 矩阵，并且对 用同样的方法进行分块：
其中 ， 都是 矩阵，即 ， 是同型矩阵，那么
=
设 是 矩阵，把 进行分块：
，a为任意数，则a
(2)分块矩阵的乘法
下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法。
定理设 是 矩阵， 是 矩阵，若对 作如下分块：
… …
= = ①
注意：上例中 的列的分法与 的行的分法是一致的，也就是说我们遵循了以下规则：
a. 的列组数等于 的行组数。
b. 的每个列组所含的列数等于 的相应行组所含的行数。
3)分块矩阵的转置
先看一个例子：设
记
则 可以分块成： 因此我们有： =
一般地，设 是一个分块矩阵，那么
分块矩阵取转置的规则是：
第一步：把 的每一块都看成元素（数）取转置。
类似地，我们可以定义分块矩阵的初等列变换。
例设n阶矩阵 分块表示为： ，其中 ， 为方阵，且 和 可逆，证明： 可逆。
2)Baidu Nhomakorabea列分块
= 其中 = j=1,2,k,s
3)当n阶矩阵C中都集中在主对角线附近，有时也可以分块成下面的对角块矩阵（又称准对角矩阵）：
C= 其中 是 阶方阵（i=1,2，k，m =n）
如：
=
其中 = ， , ;
矩阵分块的第一个好处就是使得矩阵的结构显得更清楚，如上面的矩阵①中，A的左上角是一个3阶单位阵 ，左下角是 零矩阵。
第二个好处（也是最重要的好处）是矩阵的运算可以通过小矩阵的运算进行，从而把高阶矩阵的运算转换为低阶矩阵的运算，这在下面的研究会得到充分的体现。
矩阵分块的目的在于简化矩阵的运算，对矩阵进行分块时，要根据实际需要来进行。
1.1.2分块矩阵的几个运算性质
下面我们逐一对分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置以及初等变换这些性质进行介绍:
分类号单位代码11395
密 级学 号0704210116
学生毕业设计（论文）
题目
分块矩阵的性质及其应用
作者
王涛
院 (系)
数学与应用数学
专业
数学与应用数学
指导教师
高宏伟
答辩日期
2011年5月31日
摘 要
分块矩阵是线性代数中非常重要的一部分内容，分块矩阵的性质是解题最基本的依据，本文通过对各类典型例题的分析和处理，来论述分块矩阵的几个性质及其在高等数学中的应用。
这说明，矩阵G的（i,j）元素恰好等于矩阵AB的（i,j）元素，基于以上两点可得 G=AB
例设矩阵
= =
其中 = 为三阶单位阵， = 为二阶单位阵， = 0= 矩阵 = =
其中 = 为二阶单位阵。
在计算 时，把 的各小子块看作元素，然后按通常的矩阵乘法把它们相乘，于是AB= = =
=
容易验证，这个结果与按矩阵乘法法则直接计算的结果是一致的。
Keywords：The partitioned matrix, nature, applications.
引言
矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是研究数学的很多分支问题的工具之一，当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干个子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧，利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的矩阵。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的探讨。
例把一个5阶矩阵 ①
用水平和垂直的虚线分成4块，如果记：
= = =0 =
就可以把A看作由上面4个小矩阵所组成，写作：
并称它是A的一个 分块矩阵，其中的每一个小矩阵称为A的一个子块。
(2)矩阵的分块方法
常用的矩阵分块方法，除了上例中的4块矩阵，还有以下几种：
1)按行分块
=
其中 =［ … ］i=1,2,…m
1 分块矩阵的性质及其应用
1.1分块矩阵的基本知识及性质
下面我们逐一介绍分块矩阵的定义、分块方法及其它的运算性质。
1.1.1分块矩阵的定义及其分块方法
(1)分块矩阵的定义
定义把一个 矩阵A，在行的方向分成s块，在列的方向分成t块，称为A的 分块矩阵，记作A= ，其中 （k=1,2,K,s;l=1,2,K,t）称为A的子块，它们是各种类型的小矩阵。
第二步：对 的每一块取转置。
4)分块矩阵的初等变换
分块矩阵的初等变换是处理分块矩阵有关问题的重要工具，由文③我们可以推广得到如下定义：
定义以下三种变换称为分块矩阵的初等行变换。
a.互换两块行的位置
b.用一个行列式不为零的方阵左乘（右乘）分块矩阵的某一块行
c.把一块行的P（矩阵）倍（即这个块行里每一个小矩阵都左乘或右乘一个矩阵P）加到另一块行上。
i= + +…+ +
j= + +…+ + ③
由②式有： = + +……+
可知 的（ ， ）元素应是 ， ，… 的第 行分别与 ， ，… 的第 列相应元素乘积的和。由③式可知， 的第 行元素位于A中第i行， 的第 列元素位于B中第j列（k=1,2，K,s）再注意到对A,B所作的分块，可得
= + +…+ =
则 = ，其中G= （i=1,2,…r;j=1,2,…t）②
证明记 …
G=
下面证明将G看作以数为元素的矩阵，有G=
首先， 为 矩阵，基于①的分块方式及②式， 为 矩阵，且有 + +…+ =m + +…+ =
故将G看作以数为元素的矩阵，也是一个 矩阵。
其次，G的（i,j）元 必位于分块矩阵G的某一子块 之中，不妨设 是 的（ ， ）元素，即有：