谈函数的不动点与数列的单调性

谈函数的不动点与数列的单调性

江苏省灌云高级中学 翟洪亮 222200

若函数()y f x =的定义域为D ，0x D ∈，且0x x =满足()f x x =，我们则称0x 为函数()y f x =的不动点.若数列{}n a 满足*1()()n n a f a n N +=∈，

则把函数()f x 称为数列{}n a 的特征函数.若要考查数列{}n a 的单调性，一般是通过比较相邻两项n a 与1n a +的大小，也可以利用函数思想，由特征函数，转化为比较自变量x 与其对应函数值y 的大小，由不等考虑相等的界限，从而研究特征函数()y f x =与函数y x =的交点情况，即通过特征函数“不动点”的分界作用去考查数列的单调性问题，而考查数列的单调性问题在近年的高考试卷中常以压轴题频繁出现，本文根据特

征函数的不同类型对不动点与数列单调性的界定关系作探讨，总结如下以飨读者.

一、特征函数形如()(0,0)b

f x a a b x c

=+

≥>+ 例1.（2009年陕西高考理科试卷22题） 已知数列{}n x 满足， 11

2

x ＝，*11

,1n n

x n N x ∈+＋＝

()I 猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：1

112|()

65

n n n x x -+-|≤.

解析：参考解答是用数学归纳法来证明的，而当1n =时，无单调性可言.下用不动点方法来研究，由递推关系111n n x x +＋＝

得特征函数1()1f x x =+，再由其特征方程1

1x x

=+

得不动点A x =

，B x =， 当(1,)n A x x ∈-时，则111

11n A n A

x x x x >=++＋＝

; 当(,)n A x x ∈+∞时，则111

11n A n A

x x x x <=++＋＝

. 又因为11

2

x ∈＝(1,)A x -，所以13521,,,...,,...n x x x x -A x ，

2222221

211

1111n n n n n n

x x x x x x ++=++

+-＝--222210

2n n n

x x x +-=>+，同理

212121211n n n n x x x x -+-+-＝-2212121

102n n n x x x ---+-=<+，所以当11

2x ＝时，数列2{}n x 是单调递减，而数

列21{}n x -是单调递增.

(Ⅱ)因为

11

11||

|n n n n x x x x +-=--|1+1+11|()()

n n n n x x x x --=

-|1+1+，所以

1111

()()

n n n n n n x x x x x x +--=

|-||-|1+1+1111

1

112

1225

()()n n n x x x x ---=

=

≤=++1+1+1+，

所以

132********|||2...()|||5n n n n n x x x x x x x x x x x x -+-⨯⨯⨯≤-|-|-|-|-|-|，而223x ＝，所以11121212

|||()()565

n n n n x x x x --+≤=-|-.

评注：由于本题特征函数1

()1f x x

=

+在(1,)-+∞上是单调递减，特征方程()x f x ＝在(1,)-+∞上的不动点只有一个A x .当1(1,)A x x ∈-时，数列21{}n x -是单调递增，而数列2{}n x 是单调递减（如图1）；当1A x x =时，数列

{}n x 是常数列；当1(,)A x x ∈+∞时，数列21{}n x -是单调

递减，而数列2{}n x 是单调递增.不动点A x 是数列{}n x 的极限，如2004年湖北高考理科试卷22题，已知0>a ，数列}{n a 满足,1

,11n

n a a a a a +

==+n=1，2，…. （Ⅰ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求A=lim n n a →∞

(将A 用a 表示)； （Ⅱ）、（Ⅲ）略.

当首项的值不确定时，需要根据首项的范围进行讨论，如：

例2.（2005年福建高考理科试卷22题）已知数列{}n a 满足1a a = ，11

n n

a a ＋＝1+

，我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：

.0,1,2

1

:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a

（Ⅰ）、（Ⅱ）略

（Ⅲ）若

)4(22

3

≥<

x x

＝1+

得不动点

A x =

，B x =，

因为3(,2)2A x =

，并且当n a ∈时，则111

11n A n A

a x a x +>+=＋＝; 当(,)n A a x ∈+∞时，则11111n A n A

a x a x +<=+＋＝

.

所以当11(0,

2

a +∈时，所以13521,,,...,,...n a a a a -A x ， 2222221

2111111n n n n n n

a a a a a a ++-

=-

+

-＝--222210

1n n n

a a a --=>+，同

理

212121211n n n n

a a a a -+-+-＝-

2212121

10

1n n n a a a -----=<+，所以当

11(0,

)2

a ∈时，数列2{}n a 是单调递减，而数列21{}n a -是单调递增（如图2）.

同理当1)a ∈+∞时， 13521,,,...,,...n a a a a ->A x ，而2462,,,...,,...n a a a a

减（如图3）.

当1a =

时，数列{}n a 为常数列； 所以，

当1a ∈时，若)4(223≥<

a a ⎧

>⎪⎨⎪<⎩，即533

322

32221

a a a a +⎧>⎪⎪+⎨

+⎪<⎪+⎩

，解得102a <<；

当1a =

时，数列{}n a 为常数列满足要求；