保险精算-第6章-生存年金

n|
d
两者之间的关系
一、确定性年金（期初付）
2.延期m年的n年定期年金 • 现值
m
|
a n|
vm
v m1
v m n1 a a v m a
mn| m|
n|
• 终值
m
|
s n|
(1 i) (1 i) 2
(1 i) n
s n|
一、确定性年金（期初付）
3.递增型n年定期年金 • 现值
• 养老保险 • 伤残保险 • 抚恤保险 • 失业保险
二、生存年金
（一次性生存给付-精算折现因子）
• 现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年 末获得生存赔付的保险。
• 也就是上一章讲到的n年期生存保险。n年期生存保 险的趸缴纯保费为 A 1
• 在值生，存 且年 将金 其研 称究 为精中算习折惯现用x:n因n E子表x。示该保险的精算现
发生不确定，由其生命状态决定
一、确定性年金（图示）
1 1 1 ---- 1 1 1---- 期末付永久年金
1 1 1 ---- 1 1 1---- 期初付永久年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0---
期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0---
期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
E nt xt
1
现值
1
S
t Ex
1
二、生存年金（精算现值的求法）
• 现时支付法
• 以生存给付事件为考虑线索 • 考虑未来连续支付的现时值之和 • 将时刻 t 时的年金给付额折现至签单时的现值，再将所有的
现值相加或积分
• 总额支付法
• 以死亡事件发生为考虑线索 • 考虑年金在死亡或到期而结束时的总值 • 先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额现值，再求现
0
• 终值
s
n
(1
i)nt
dt
(1
i)n
1
(1
i)n
a
n|
0
n|
一、确定性年金（永续年金）
• 收付时间趋于无穷大 • 期初付永续年金
• 公式 a lim a 1 • 含义：若期| 初投n资 1/nd| 元，d则每年期初可获得1元的收益。
• 期末含义？ | n n | i
一、确定性年金（常用结论）
年金 期末付 期初付 连续型
有限年金
现值
终值
永续年金 现值
a 1vn
n
i
s (1 i)n 1
n
i
1 a i
a 1 vn
n
d
s (1 i)n 1
n
d
a 1 d
a 1 vn
n|
s (1 i)n 1 (1 i)n a
n|
n|
二、生存年金
• 生存年金：在已知某人生存的条件下，按预先 约定金额进行一系列的给付的保险， 且每次年金给付必须以年金受领人 生存为条件；一旦年金受领人死亡， 给付便立即中止。
n|
n|
一、确定性年金（期末付）
• n年定期年金
• 现值：
a v v 2 v n va
n|
n|
• 终值：
s (1 i)n1 (1 i)n2 (1 i) 1 vs
n|
n|
一、确定性年金（连续型年金）
• n年定期年金
• 现值
a n v t dt 1 v n
n|
第六章 生存年金
本章结构
• 年金简介（包括确定性 年金和生存年金）
• 年付一次生存年金 • 年付多次的生存年金
第一节 年金简介
一、年金的概念和种类 二、确定性年金简介 三、生存年金简介
年金的概念和种类
• 概念
• 按一定的时间间隔支付的一系列付款
• 种类
• 确定性年金：支付与否、支付的数额都是确定的 • 不确定性年金：未来相应的时间点上的支付是否
a nvn
(I a) 1 2v 3v2 nvn1 n|
n|
d
• 终值
(I s) (1 i)n (I a)
n|
n|
一、确定性年金（期初付）
4.递减型n年定期年金的现值与终值
• 现值
na
(D a) n (n 1)v v n1
n|
n|
d
• 终值
(Ds) (1 i)n(Da)
一、确定性年金（期初付）
1. n年定期年金
现值
a
1 v v2
v n1
1 vn
公式n| ：
d
含义：可期得初1投元资的a收n| 元益，。则之后的n年里，每年年初
终值
公式：s (1 i) n a
n s| (1n| i) (1 i) 2
(1 i) n
(1 i) n 1
值的数学期望。
• 两种方法是等价的（最终的结果相同） • 掌握现时支付法的计算公式
n Ex
A1 x:n
vn n px
• 精算折现因子的含义
(x)要在n年后生存时获得1元，此时需要存入 n E元x 。 与折现因子有何区别与联系？
二、生存年金
（一次性生存给付例题分析）
• 【例4.5】计算25岁的男性购买40年定期生存险 的趸缴纯保费。已知
• p 假定i＝460％ 25 0.78765825
• 假定i＝2.5％
(1)1000040E25 100001.0640 0.78765825 765.78 (1)1000040E25 100001.02540 0.78765825 2933.48
二、生存年金
（一次性生存给付-精算积累因子）
• 精算积累因子
S 1 (1 i)n
• (x)现在存入1元，仅其nn 年Ex后生存n 时px才获得给付，
分类 期初付年金/延付（期末付）年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 即期年金/延期年金
二、生存年金（与确定性年金关系）
• 确定性年金
• 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的 年金）
• 生存年金与确定性年金的联系
• 都是间隔一段时间支付一次的系列付款
二、生存年金（与确定性年金的区别）
年金
生存年金
支付期数是不确定 的，它以被保险人 生存为给付条件， 被保险人一旦死亡 ，给付就终止
确定性年金
支付期数是确定的 ，无论中间发生什 么事情，支付时期 都不可发生更改
二、生存年金（用途）
• 被保险人保费交付常使用生存年金的方式 • 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金
的方式，特别在：
则n年后生存时的给付额为
元。
1 n Ex
二、生存年金
（一次性生存给付相关公式及意义）
(1) lx n Ex (1 i)n lxn
(2)
S
1 n Ex
1 vn n px
(1 i)n
lx lxn
(3)
n Ex
t Ex nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t
x+n
n Ex