第九讲股票的价格行为
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•
一般维纳过程
• 连续性 • 独立增量性 • 正态性
•
另一种表示
• ITO微分的表示
– dX=adt+bdW
– 其中W(t)为标准维纳过程
– a为飘移率，b的平方为方差率
• 漂移率：收益率的时间度量
• 方差率：波动率与标准维纳过程波动率 的比例关系
•
,其中N(0,1)
•
一般ITO过程
• dX=a(X,t)dt+b(X,t)dW • 其中a、b与X、t有关 • 漂移率、方差率的解释
• 当W(t)t>=0,是标准维纳过程时，存在唯一 的ITO过程满足：
• 该过程是
•
ITO微分与Taylor级数微分
• 相差一个误差项
•
•
一个简单的ITO过程
• 股票价格行为的动态表示
• 表示为 • 近似为
•
对数正态分布
• 收益率服从正态分布
– 股价非负
• 股价服从对数正态分布
•
ITO定理
•
ITO定理的证明
• 根据Taylor展开式
• 因为
•
对数正态分布的形式证明
• 根据ITO定理
•
股价行为的模拟
• 正态分布模拟
• 对数正态分布
• 据Steven Fan说，美国以分形为分析工具 的基金只有一家了，人人畏之如虎。
•
概念的内涵与外延
• 内涵越丰富外延越窄
– 内涵是其条件严格 – 外延是适用性
• 减低其内涵
– 高斯过程：不满足独立增量条件 – 马尔可夫过程：不满足正态性，独立增量性 – 鞅过程：不满足正态性，独立增量性 – 二阶矩过程，ITO过程
•
现实而不真实
• 股价行为
– 无数个可能中的现实的一个
• 人生也是如此
– 无数个可能路径中的一个
• 投资者的素质
– 找到真实 – 找到遁去的一
•
巧合的意义
• 物理学上的各向同性
– 三维重建
• 数学上的遍历性
– 大数定律
• 经济学的路径依赖性 • 文字的解释
– 横看成岭侧成峰
•
最简单的随机过程是 WEINER 过程
– 回首过去Байду номын сангаас本不该踩出足印的 – 展望未来，风雨的归程还正长
•
随机过程的概念
• 以T1时刻看T2时刻（ T1<T2 ），未来是不可 知的，是随机变量
• 以T2时刻看T1时刻（ T1<T2 ），过去是确定 的
• 过去是无数个可能实现中的一种实现（样本轨 道）
• 存在合理吗？ – 只是一种巧合，不代表什么。 – 无数个巧合一定蕴含了某种规律。
•
马尔可夫过程
• 马尔可夫条件
– 在现在的条件下，过去与未来独立 – 与鞅性质类似
• 马尔可夫链
– 指标集非连续
•
概率空间
– 样本空间
• 可能集合
– F事件集类满足以下条件，则称为-域
• 存在加、积两种运算 • 满足分配率、结合率、交换率 • 有限可加性
– P概率测度
• 非负性 • 上连续性 • 规范性，全概率为1
• 数学上的维纳过程，物理学上的布郎运 动
• 三性质
– 连续性：维纳过程几乎所有的样本轨道都是 连续的
– 独立增量性：对于X1<X2<=X3<X4,W(X2)W(X1)与W(X4)-W(X3)独立
– 正态性：
• 维纳过程不可微:
•
维纳过程具有分形的性质
• 分形与混沌
– 自相似性 – 无限可分性
• 所以有一个分支是应用分形来研究股票 的价格行为
第九讲股票的价格行为
2020年7月26日星期日
第九讲
•股票的价格行为
•
标的资产价格
•
标的资产价格的正规表示
• X(t,)一个随机过程
– t固定， X(t,)是一个随机变量，例明天某股 票的收盘价是一个随机变量
– 固定， X(t,)是一个样本轨道，例如，过 去一段时间美元对欧元的比价如前图
• 你是一个随机过程
– 某股票初始价格为10元，期望收益每年＝ 20%，标准差＝25%
– S/SN(0.00164,0.0226), t=3天
•
股价行为的模拟（1年）
•
股价行为的模拟（20年）
•
平方可积过程
• 一阶不可微，不可积 • 积分包含了两个部分
– 一阶可积项 – 二阶可积项
•
标的资产的显式表示
•
B－S过程
一般维纳过程
• 连续性 • 独立增量性 • 正态性
•
另一种表示
• ITO微分的表示
– dX=adt+bdW
– 其中W(t)为标准维纳过程
– a为飘移率，b的平方为方差率
• 漂移率：收益率的时间度量
• 方差率：波动率与标准维纳过程波动率 的比例关系
•
,其中N(0,1)
•
一般ITO过程
• dX=a(X,t)dt+b(X,t)dW • 其中a、b与X、t有关 • 漂移率、方差率的解释
• 当W(t)t>=0,是标准维纳过程时，存在唯一 的ITO过程满足：
• 该过程是
•
ITO微分与Taylor级数微分
• 相差一个误差项
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一个简单的ITO过程
• 股票价格行为的动态表示
• 表示为 • 近似为
•
对数正态分布
• 收益率服从正态分布
– 股价非负
• 股价服从对数正态分布
•
ITO定理
•
ITO定理的证明
• 根据Taylor展开式
• 因为
•
对数正态分布的形式证明
• 根据ITO定理
•
股价行为的模拟
• 正态分布模拟
• 对数正态分布
• 据Steven Fan说，美国以分形为分析工具 的基金只有一家了，人人畏之如虎。
•
概念的内涵与外延
• 内涵越丰富外延越窄
– 内涵是其条件严格 – 外延是适用性
• 减低其内涵
– 高斯过程：不满足独立增量条件 – 马尔可夫过程：不满足正态性，独立增量性 – 鞅过程：不满足正态性，独立增量性 – 二阶矩过程，ITO过程
•
现实而不真实
• 股价行为
– 无数个可能中的现实的一个
• 人生也是如此
– 无数个可能路径中的一个
• 投资者的素质
– 找到真实 – 找到遁去的一
•
巧合的意义
• 物理学上的各向同性
– 三维重建
• 数学上的遍历性
– 大数定律
• 经济学的路径依赖性 • 文字的解释
– 横看成岭侧成峰
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最简单的随机过程是 WEINER 过程
– 回首过去Байду номын сангаас本不该踩出足印的 – 展望未来，风雨的归程还正长
•
随机过程的概念
• 以T1时刻看T2时刻（ T1<T2 ），未来是不可 知的，是随机变量
• 以T2时刻看T1时刻（ T1<T2 ），过去是确定 的
• 过去是无数个可能实现中的一种实现（样本轨 道）
• 存在合理吗？ – 只是一种巧合，不代表什么。 – 无数个巧合一定蕴含了某种规律。
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马尔可夫过程
• 马尔可夫条件
– 在现在的条件下，过去与未来独立 – 与鞅性质类似
• 马尔可夫链
– 指标集非连续
•
概率空间
– 样本空间
• 可能集合
– F事件集类满足以下条件，则称为-域
• 存在加、积两种运算 • 满足分配率、结合率、交换率 • 有限可加性
– P概率测度
• 非负性 • 上连续性 • 规范性，全概率为1
• 数学上的维纳过程，物理学上的布郎运 动
• 三性质
– 连续性：维纳过程几乎所有的样本轨道都是 连续的
– 独立增量性：对于X1<X2<=X3<X4,W(X2)W(X1)与W(X4)-W(X3)独立
– 正态性：
• 维纳过程不可微:
•
维纳过程具有分形的性质
• 分形与混沌
– 自相似性 – 无限可分性
• 所以有一个分支是应用分形来研究股票 的价格行为
第九讲股票的价格行为
2020年7月26日星期日
第九讲
•股票的价格行为
•
标的资产价格
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标的资产价格的正规表示
• X(t,)一个随机过程
– t固定， X(t,)是一个随机变量，例明天某股 票的收盘价是一个随机变量
– 固定， X(t,)是一个样本轨道，例如，过 去一段时间美元对欧元的比价如前图
• 你是一个随机过程
– 某股票初始价格为10元，期望收益每年＝ 20%，标准差＝25%
– S/SN(0.00164,0.0226), t=3天
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股价行为的模拟（1年）
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股价行为的模拟（20年）
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平方可积过程
• 一阶不可微，不可积 • 积分包含了两个部分
– 一阶可积项 – 二阶可积项
•
标的资产的显式表示
•
B－S过程