含有Berkson与经典测量误差的非线性模型估计

Ｑ（ｏ ） Ｅ［ １ Ｚ ， ｐ ） （ －Ｏ ， ） × ０， ＋ （（ ，ｏ 一ｐ Ｚ ，ｏ ） Ｄ Ｗ（ １ （ （ １ ， ） ｌＺ ， ， ） ≥ Ｑ（ｏ届） Ｚ ） Ｊ Ｚ ， 一 Ｄ １Ｏ ） ］ Ｄ （ ｏ Ｏ， ，
Ｖ １ ８ ． Ｎ． ６ ｏ ３ ＮＯ
Ｏ Ｖ．２０１ １
含 有 Ｂ ｒ ｓｎ与 经 典 测 量 误差 的 非线 性 模 型 估 计 ｅｋｏ
解 其 昌 赖 绍永弘 ，
（．西南 财 经 大学 金 融学 院 ，四川 成 都 ６ １ ３ ； ．西 南 财 经 大 学 经 济 数 学 学 院 ，四 川 成 都 ６ １３ ） １ １ １０ ２ １１ ０
Ｋｅ ｏ ｄｓ：ｎ ｌｎｅ ｒｍ ｏｄ ｌ ； ｍ ｅ ｓ ｒ ｍ ｅ ｒ ｏ ｓ ｍ ｉ ｍ ｕｍ ｉｔ ｎ ｅ；Ｆｏ ｉ ｎ ｌ ｓ ｓ ｙＷ ｒ ｏｎ ｉ ａ ｅｓ ａ ｕ ｅ ｎｔｅ ｒ ｒ ； ｎｉ ｄｓａ ｃ ｕｒｅｒａ ａ ｙ ｉ
的是 Ｂ ｒ ｓｎ测 量误 差 和经 典 线 性 测 量 误 差［ ． ｅｋ ｏ １ 现 ］
＊通 信作 者 ， ， 授 ， 士 ， 士 生 导 师 ， 大 利 亚 长 江 学 者 奋 斗 奖 获 得 者 ， 要 从 事 金 融 数 学 与 数 理 统 计 方 法 研 究 ， — ｉ ｌｉ ａ ｙ 男 教 博 博 澳 主 Ｅｍａ ：ａｓ ｏ ＠ ｌ ｈ
ｓ ｆ ｅ ｕ ＣＩ ｗｕ ． ｄ ． Ｉ．
第 ６期
解 其 昌 ， ： 有 Ｂ ｒ ｓｎ与 经 典 测 量 误 差 的 非 线 性 模 型 估 计 等 含 ｅｋｏ
得到 了未 知参 数 的一致 估计 及其 渐 近正态 性 ． 同时 ， 基于 傅里 叶分 析方 法 ， 给 出 了非 线 性 函数 的 一个 还 识别 方程 ．
，
定 理 １ 在假 设 １ 下 ， —６ 当 一 。 时 ， 。 有
关
键
词 ： 线 性 模 型 ；测量 误 差 ；最 小 距 离 ； 里 叶 分析 非 傅 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ８９ ９ （０ １ ０ —２—４ １ ０—４ ７ ２ １ ） ６６ ８０
中 图 分 类 号 ： １ ０２２
ＸＩ ｉ ｈ ｎ ，Ｌ Ｉ ｈ ｏ ｙ ｎ １ Ｓ ｈ ｏ ｉａ ｃ ， ｏ ｔｗｅｔ ｎＵ ｉｅｓ ｙ ｏ ｉｎ ｅ ｎ ｃ ｎ ｍｉｓ Ｃ ｅ ｇ ｕ Ｅ Ｑ — ａ ｇ Ａ ａ ～ ｏ ｇ（ ． ｃ ｏ ｌ ｆ Ｆ ｎ ｎ ｅ Ｓ ｕｈ ｓ ｒ ｎｖ ｒｉ ｆ Ｆ ａ ｃ ａ ｄ Ｅ ｏ ｏ ｃ ． ｈ ｎ ｄ ｃ Ｓ ｏ ｅ ｔ ６ １ ３ ， ｈ ｎ ； 。Ｓ ｈ ｏ １ １ ０ Ｃ ｉａ ２ ｃ ｏ ｌ ｆＥ ｏ ｏ ｃ ｔｅ ａ ｉｓ Ｓ ｕｈ ｓ ｒ ｎ ｖ ｒｉ ｆＦ ａ ｃ ｎ ｃ ｎ ｍｉｓ Ｃ ｅ ｇ ｕ ｏ ｃ ｎ ｍｉ Ｍａ ｈ ｍ ｔ ， ｏ ｔｗｅｔ ｎＵ ｉｅ ｓ ｙｏ ｉ ｎ ｅ ｄＥ ｏ ｏ ｃ ， ｈ ｎ ｄ ｃ ｅ ｔ ａ
第 ３ ８卷第 ６期
２ １ 年 １ 月 ０１ １
浙 江 大 学 学 报 （ 学版 ） 理 Ｊ ｕ ｎ ｔｏ ｈｊａ ｇＵ ｎｅｓｊ（ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒｈｌ ｆＺ ｅｉ ｊ ｕ ｉｌ．ｔ ．ｄ ．ｎ ｓ ｉ ｎ ａ ｐ：／ ／ ｗｗｗ． ｎｖ ｒｉｕＳ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒ ａｓｚ ｅ ｅ ｃ ／ ｃ ｉ ｙ ｕ ｔ
及 大数 定理 知 （ ｆ ＿ 一 Ｑ（ ，） 同时 ， ，） ＿ １ 二 ． 由第 １ 阶段
的最 小 二乘估 计 可知 一 卢 ． 过三角 不等 式有 。通
，） ｌ ｏ 一 Ｑ（，ｏ ≤ Ｉ ｏ 一 Ｑ（，）ｌ Ｇ Ｏｐ）ｌ ，） Ｑ（ Ｏ ＋
Ｉ ｏ 一Ｑ（ ， ）Ｉ ０ １ ， Ｑ（ ， ） ｏ 一 （ ）
和经典线性 测量误 差的非线性模型 估计． 并提 出两 阶 段最 小距 离矩估计 方法 ， 此方法推 广了文献 ［ —４ 的 ３ ］ 最小 距离 矩估计 ． 用两 阶段最 小距 离矩 估计 方 法 ， 使
误差 ， Ｔ定义 为 转 置运 算． 程 （）和 （ ）分别 对 应 方 ２ ３
收 稿 日期 ：０ 卜Ｏ —２ ２ １ ３２ ．
方面 ， 由上 式可 知
Ｑ（， ）一 Ｑ（，ｏ ＋ ２ （ｏ ） Ｅ （ １ ， Ｏｐ ｏ Ｏｐ） Ｑ Ｏ ， 一２ Ｚ ， ）×
ｑｏ ） Ｔｚ，ｆ ｚ） ｚ，ｆ． （ｆ 一 一∑Ｐ（ ，ｗ（ （ ｏ ） ， １ ｏ） １ Ｐ ， １
ｉ １ ＝
Ｗ （ １１ Ｚ ，ｏ ） Ｚ ） （ Ｏ ， ］一 Ｑ（ｏｐ） ｛ Ｏｐ ） ０ Ｏ ，ｏ ＋ Ｑ（ ，ｏ一 ２ （ ，， ｗ （ ）（ ， ， ］ Ｑ（ ， ） Ｅ［ ） ｌ Ｏ 届） ＋ Ｏ 届） 一 Ｄ ｏ ｏ
Ｖ （ Ｅ（（ Ｏ ， ）Ｉ — Ｚ ） Ｚ ） １ Ｚ ，ｏ Ｄ Ｚ ］一 ０ ．
一
Ｉ Ｘ Ｚ 一 ｌ ＋ｔ （Ｔ￣ ， （ｄ （ Ｙ１］ （ Ｅ［ ｐ ） Ｚｆ ） ｔｔ ５ ｇ ｌ ）． ）
定 义 ｐ Ｚ，，） （ －ｈ （ ０ｆ ， （ ０ｆ 一 Ｙ－ ｉＺ，，）Ｘｙ—ｈ （ ０ ） １ １ ｚＺ，， ，
ｐ ｓ ｄ ｅ ｔ ｔ ｒ ｉ ｃ ｎ ｉｔ ｎ ｎ ｓ ｍｐ ｏ ｉａ ｌ ｏ ｍａ ｌ ｉ ｔｉ ｕ ｅ ． Ｂ ｓｄ ｓ ａ ｄ ｎ ｉｉｂ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｂ ｓ ｄ ｏ ｏ ｅ ｓ ｉ ｏ ｓ ｏ ｓｓ ｅ ｔ ａ ｄ ａ ｙ ｍａ ｔ ｔｃ ｌ ｎ ｒ ｌ ｄ ｓ ｒ ｔ ｄ ｙ ｙ ｂ ｅ ｉ ｅ ， ｎ ｉｅ ｔ ａ ｌ ｑ ａ ｉ ａ ｅ ｎ ｆ ｏ Ｆ ｕ ｉｒａ ａｙ ｉ ｍｅ ｈ ｄ ｉ ｄ ｒ ｅ ｏ ｈ ｏ ｌ ｅ wk.baidu.comｆ ｎ ｔｏ ． ｏ ｒｅ ｎ ｌ ｓｓ ｔ ｏ Ｓ ｅ ｉ ｄ ｆ ｒｔ ｅ ｎ ｎ ｉ ａ ｕ ｃｉ ｎ ｖ ｎ
０ 引 言
考虑 协变 量带 有 Ｂ ｒ ｓ ｎ与经 典线 性测 量误 差 ｅｋ ｏ 的非线 性模 型
有 文献 中更 多 的是 考 虑只存 在一 种测 量误 差模 型 的 估计 ． 例如 ， 文献［ — ４ 检 验了只存在 Ｂ ｒｓ ｎ测 量 ２ ］ ｅｋ ｏ 误 差 的非线 性模 型估计 ； 献［ — ６ 文 ５ ］考虑 经典 测量 误 差 的非 线 性模 型估 计 ； 献 ［ ］讨 论 了密 度 函数 文 ７
摘
要 ： 用 一 个 两 阶 段 最 小 距 离矩 估 计 方 法 ， 出 了舍 有 Ｂ ｒｓｎ测 量 误 差 和 经 典 线 性 测 量 误 差 的 非 线 性 模 型 使 给 ｅｋｏ
估 计 ． 到 了参 数 的 一 致 估 计 及 其 渐 近 正 态 性 ． 外 ， 于 傅 里 叶 分 析 方 法 推 导 出 了非 线 性 函数 的 一 个 识 别 方 程 ． 得 此 基
其 中 ｈ （ ０ｆ ｚ， ，）一 Ｅｌ ｚ ， 且 ｈ （ ｆ １ Ｙｌ ］并 Ｚ，，）一 １
Ｅ（ Ｚ ． Ｘｙ ｌ ） 为方便 表达 ， 义 定
Ｑ（ ，）一 ｒＥ Ｚ ，，） （ ｜ Ｚ ， ｆ ］ ｏｆ １ ｐ （ ｆ ｗ ｚ ） （ ，） ， １ Ｄ １
Ｉ ｙｌ］ ｇ ＋ｔ） ｔｔ Ｅ［ Ｚ 一Ｉ（ 卢 （ｄ ９ ），
ｌ ｒ
（ ４ ）
即 ｑ（，） 一 Ｑ（， ）使用 迭代 期望公 式 得 ｏ ｏ ．
Ｑ（ｏ ） Ｅ［ ｚ ， ） ｚ ） （ Ｏ ，ｏ ］ Ｏ ， ～ ｐ （ ， Ｖ （ ｌ Ｚ ，ｏｆ ） 一 Ｄ ｌ Ｅ［ ｐ Ｚ ，ｏ ） （ １ ） （ × （ （ １Ｏ ， 一ｐ Ｚ ， ， ） Ｚ） ｌｚ ， ， ］一 Ｅ （（ ， －ｐｚ ，， ） Ｄ Ｏ ） （ ｏ ［ ＩＺ ， 届） （ ￣ ） × Ｄ
一
其 中“ 一 ” 示依 概率 收敛 ． 表 证 明 在 假设 ４ ５ ， 和 下 由文献 １ ］引理 ５ ６ － ４ 和
１ 两 阶段 最小距 离矩估计及 主要 结果
令 （ ）为 测 量 误 差 的 密 度 函 数 ． 模 型 ・ 从
（） ３ １ 一（ ）可得矩 方程
， ｒ
６１１ ３ １ ０，Ｃｈｉ ａ） ｎ
Ｅｓｉ ｔｏ ｆｎ ｎｉｅ ｒｍｏ ｅｓ ｔ ｒ ｓ ｎａ ｄｃａｓｃ ｌ ａｕ ｅ ｎ ｒｏ ｓ ｏ ｒ ａ ｆ ｈ ｊ ｎ ｉｅ ｓｔ （ ｃｅ ｃ ｔ ｍａｉｎｏ ｏ ｌ ａ ｄ ｌ ｈＢｅｋ ｏ ｎ ｌｓｉａ ｎ ｗｉ ｍｅ ｓｒｍｅ ｔ ｒ ｒ．Ｊ ｕ ｎ ｌ ｅｉ ｇＵｎｖ ｒｉｙ Ｓ ｉｎ ｅ ｅ ｏＺ ａ
基 金 项 目 ： 育 部 重 点 项 目资 助 （０ １０ ； 南 财 经 大 学 ２ １三 期 特 色项 目（ １ＤＴ ３ 资 助 ． 教 １９ ４ ）西 １ ２１ ０）
作 者 简 介 ： 其 昌（ ９ ３ ） 男 ， 士 生 ， 解 １８一 ， 博 主要 从 事 金 融 计 量 与 非 参 数 统 计研 究 ， — ｉ ｘ ｉ ａｇ ｏ ｃｒ． Ｅ ｍａｌ ｑｃ ｎ ＠ｔｍ． ｏ ： ｈ ｎ
Ｅ ｉｏ ） ０ １ ３ （ ） ６８ ６ １ ｄ ｔ ｎ ，２ ｌ ， ８ ６ ： ２ — ３ ｉ Ａ ｓｒ ｃ ：Ｂ ｓｎ ｗｏ ｓ ｅ ｓ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｎ ｍｕ ｄ ｓａ ｃ ｍｅ ｔｅ ｔｍａ ｉｎ，ｔ ｅ ｅ ｔ ｔｏ ｓ ｏ ｏ ｌ ｅ ｒ ｍｏ ｅ ｂ ｔ ａ ｔ ｙ ｕ ｉ ｇ ａ ｔ ｔ ｐ ｔ ｏ ｆｍｉ ｉ ｍ ｉ ｔ ｎ ｅ ｍｏ ｎ ｓ ｉ ｔ ｏ ｈ ｓ ｉ ｉ ｒ ｆｎ ｎ ｉ ａ ｄ １ ｍａ ｎ ｉ ｏ ｔ ｉ ｅ ，ｉ ｉｈ ｔ ｅ ｃ ｖ ｒ ｔ ｓ ｉ ｃｕ ｅ ｔ ｅ Ｂ ｒ ｓ ｎ ａ ｄ ｃａ ｓｃ １ ａ ｕ ｅ ｅ ｔｅ ｒ ｒ ． Ｉ ｉ ｐ ｏ ｅ ｈ ｔｔ ｅ ｐ ｏ Ｓ ｂ ａｎ ｄ ｎ ｗｈ ｃ ｈ ｏ ａ ｉ ｅ ｎ ｌ ｄ ｈ ｅ ｋ ｏ ｎ ｌｓ ｉａ ａ ｍｅ ｓ ｒ ｍ ｎ ｒｏ ｓ ｔ Ｓ ｒ ｖ ｄ ｔ ａ ｈ ｒ —
带 经典 测量 误差 的非参 数模 型估 计． 而 ， 然 笔者 考 虑
｛ —Ｘ Ｘ ＋ ，
ｌ 一 Ｚ８ Ｘ ＋ ，
（） ２
（） ３
的是 同时存 在 Ｂ ｒ ｓｎ测量误 差 和经典 线性 测 量误 ｅｋ ｏ
差 的非线性 模 型估计 ． 一思想 是受 文献 ［ 这 ８—９ ］启
发 的． 事实 上 ， 文献 ［ ８— ９ ］使 用正 交 级 数 方 法 考 虑 了式 （ ） 非参数 时 的上 述 混 合 Ｂ ｒ ｓ ｎ与经 典 测 １为 ｅｋ ｏ 量误 差模 型 的非参 数估计 ． 本文 检验 了协 变量 同时 含有 Ｂ ｒ ｓ ｎ测 量误 差 ｅｋ ｏ
这里 ｙ是实 值 响应 变量 ， 是 往往 不 能被 准确 测 Ｘ 出或 直接 观测 到 的预测 变 量 ， 和 Ｚ 是 已知 预 测变 ｘ 量 ， （ ， ）为 已知可测 函数 ， 口是未知参 数 向量 ， ｇ・・ 和 随机 误差 项 和测量误差 分别 满足 Ｅ（ ｚ，） ＝０ ｕｊ ＝ ， ＝ Ｖａ（ ＜ 。 ， （ Ｚ 艿 ） ， Ｖ ｒ￣ ，，） ｒ Ｚ， “ｌ ） 。Ｅ ｒ ，， 一０及 ａ（ Ｉ Ｍ ＜ ｌ Ｚ 。， 。 是与 Ｚ相互 独立 且期 望为 ０和有 限方 差 的测 量