第十章_温度应力

在各向同性体中，系数α 为常数，不随方向而变，所以这种正应变在所有各个方向都相同，因而也就不
伴随着任何剪应变。弹性体内各点由于温度产生的应变分量为：
ε x = ε y = ε z = αTv ， γ yz = γ zx = γ xy = 0
（g）
但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的相互约束，上述的应变并不能自由发生，于是 就产生了应力，即所谓的温度应力。这个温度应力又将由于物体的弹性而引起附加的应变，连同式（g） 所示的应变，总的应变分量是：
设该六面体的内部有热源，其强度为W （在单位时间、单位体积内供给的热量），则该热源在时间
dt 内所供给的热量为Wdxdydzdt 。在这里，供热的热源作为正的热源，例如金属通电时发热，混泥土
硬化时发热，水分结冰时发热，等等；吸热的热源作为负的热源，例如水分蒸发时吸热，冰粒溶解时吸
热，等等。
于是，根据热量平衡原则有：
∂x
∂x 2
由上下两面及前后两面传入的净热量分别为 λ ∂ 2T dxdydzdt 及 λ ∂ 2T dxdydzdt 。这样，传入六面体的
∂y 2
∂z 2
净热量总共是 λ(∂ 2T + ∂ 2T + ∂ 2T )dxdydzdt ，或简写为 λ∇2Tdxdydzdt 。 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
图 10-2
在同一时间 dt
内，由六面体左面传入热量 qx dydzdt
，由右面传出 (qx
+
∂q x ∂x
dx)dydzdt
。因此，
传入的净热量为 − ∂qx dxdydzdt ，并由热传导定律（10.2）式，可见其等于 λ ∂ 2T dxdydzdt 。同样，
(10.11)
当为绝热边界时，无热量流过表面 S，此时 qS (x, y, z,t) = 0 ，所以绝热边界条件为：
−λ ∂T (x, y, z,t) = 0
∂n
S
（10-12）
第三类边界条件：已知弹性体周边介质的温度为 Ta ，弹性体与其周边介质的热交换符合牛顿冷却定
律：
qn (x,
y, z,t) S
⎪ ⎪⎭
（10.17）
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（李遇春编）
（4） 边界条件
在应力边界 Sσ 上，不考虑外荷载情况下，应力边界条件为：
⎢⎡⎢τσyxx
τ xy σy
τ τ
xz yz
⎤ ⎥ ⎥
⎛ l ⎞ ⎛0⎞
⎜ ⎜
m
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
⎢⎣τ zx τ zy σ z ⎥⎦Sσ ⎜⎝ n ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
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（李遇春编）
第十章 温度应力
前面几章讨论了弹性体在外荷载或边界位移（基础沉降）作用下引起的应力及变形，本章将讨论弹 性体由于温度的改变而引起的应力与变形。当弹性体的温度改变时，它的每一部分都将由于温度的升高 或降低而趋于膨胀或收缩，但是，由于弹性体所受到的外在约束，以及弹性体自身各个部分之间的相互 约束，使得弹性体的膨胀或收缩并不能自由地发生，于是就产生了应力，这种由于温度改变所产生的应 力称之为温度应力。温度应力是混凝土结构产生裂缝的主要原因之一，温度裂缝对结构造成严重的危害， 对结构的安全性与耐久性产生重要影响。
将热传导定律(10.2)式用于弹性体表面，有： qn
s
=
−λ
∂T ∂n
，所以牛顿冷却定律又可表示为：
s
Байду номын сангаас−λ
∂T ∂n
s
=
β (Ts
− Ta )
(10.4)
（5）热传导微分方程 热传导微分方程的建立，是基于如下的热学基本原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部分由 于温度升高所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。
在位移边界 Su 上，有已知的位移 (u , v , w)T 时，位移边界条件为：
⎛u⎞ ⎛u ⎞
⎜ ⎜
v
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
v
⎟ ⎟
⎜⎝ w⎟⎠Su ⎜⎝ w⎟⎠
（10.18） （10.19）
§10-4 温度应力的等效荷载法 以平面问题为例说明温度应力的等效荷载法。假定在如图 10-3(a)所示的等厚度薄板及坐标系中，没
cρdxdydz ∂T dt = λ∇2Tdxdydzdt + Wdxdydzdt ∂t
（f）
除以 cρdxdydzdt ，移项后，即得热传导微分方程：
∂T − λ ∇2T = W
∂t cρ
cρ
对于稳定温度场，有：
∇2T + W = 0 λ
当无热源时：W (x, y, z) = 0 ，则：
(10.5) (10.6)
为了确定弹性体内的温度应力，需进行两方面的计算：（1）按照热传导理论，根据弹性体的热学性 质、内部热源、初始条件和边界条件，计算弹性体内各点在各瞬时的温度，即确定温度场，前后两个时 刻的温度场之差就是弹性体的温度改变。（2）按照“热弹性力学”，根据弹性体的温度改变来求出体内 各点的温度应力，即确定应力场。
（李遇春编）
σx
=E 1−ν 2
(ε x
+νε y ) −
EαTv 1−ν
=E 1−ν 2
( ∂u ∂x
+ν
∂v ) − ∂y
EαTv 1−ν
⎫ ⎪ ⎪
σy
=E 1−ν 2
(ε y
+νε x ) −
EαTv 1−ν
=E 1−ν 2
( ∂v ∂y
+ν
∂u ) − ∂x
EαTv 1−ν
⎪ ⎬ ⎪
τ xy
（或等温线）的法线方向，温度的变化率最大，这个最大的变化率可由温度梯度来表示：
∇T
=
∂T
ir +
∂T
rj +
∂T
r k
∂x ∂y ∂z
（d）
或：
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（李遇春编）
∇T = ∂T ir + ∂T rj (平面温度场) ∂x ∂y
温度梯度为向量场，方向总是指向温度增加的一方（见图 10-1）。
热量流动的方向与温度梯度相反，即热量总是从高温向低温方向流动。 （4）牛顿冷却定律 弹性体与其周边介质的热交换符合下列牛顿冷却定律：
qn s = β (Ts − Ta )
(10.3)
式中：Ts 为弹性体表面温度，Ta 为弹性体周边介质温度；qn s 为弹性体外法向表面流出的热流密度（这
里假定 Ts > Ta ）； β 为热交换系数。
（e）
图 10-1 平面温度场的等温线
（3）热传导定律
在弹性体内部，热量从弹性体的一个部位传到另一个部位，热量的传导符合下列热传导定律：
qr = −λ∇T
(10.2)
式中：qr 为热流密度，表示单位时间内通过单位等温面面积的热量，它的单位是[热量] [长度]-2 [时间]-1，
λ 为热传导系数，与弹性体的材料有关。(10.2)式表明热流密度与温度梯度成正比，方程中的负号表示
[ ] ε x
=
1 E
σx
−ν (σ y
+σz)
+
αTv
⎫ ⎪
⎪
[ ] ε y
=
1 E
σy
−ν (σ z
+σx)
+
αTv
⎪ ⎪
[ ] ε z
=
1 E
σz
−ν (σ x
γ
yz
=
2(1 + E
µ)τ
yz
+σy)
⎪
+
αTv
⎪ ⎪
⎬
⎪
⎪
γ
zx
=
2(1 + E
µ) τ zx
⎪ ⎪ ⎪
γ
xy
=
2(1 + E
µ) τ xy
仅考虑温度改变作用下的热弹性基本方程。 （1） 平衡方程
平衡方程仅从静力学的观点出发，研究弹性体内任一微体的平衡，与弹性体温度的改变无关。 与 §2-4 节的推导相同，不考虑体力作用下，平衡方程为：
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（李遇春编）
⎛∂⎞
⎡⎢⎢τσyxx ⎢⎣τ zx
τ xy σy τ zy
（3） 物理方程
（10.16）
设弹性体内各点的温变为 Tv ，为了与温度值 T 区分，这里将温变用符号 Tv （Temperature variation）
表示，即后一瞬时的温度减去前一瞬时的温度。规定升温为正，降温为负。由于温变 Tv ，弹性体内各点
的微小长度，如果不受约束，将发生正应变αTv ，其中α 是弹性体的热膨胀系数，它的单位是[温度]-1。
（1） 初始条件
T (x, y, z, t) t=0 = T0 (x, y, z)
（2） 边界条件 第一类边界条件：已知弹性体表面 S 上任意一点的瞬时温度，即
(10.8)
T (x,
y, z,t) S
= TS (t)
(10.9)
式中： TS (t) 为弹性体表面的温度，在最简单的情况下：TS (t) = 常数。
随时间而变化，即有： ∂T ∂t = 0 ，就称为稳定温度场。在稳定温度场中，温度只是位置坐标的函数，
即：
T = T (x, y, z)
（a）
如果稳定温度场只随着两个位置坐标而变化，即平面稳定温度场为：
T = T (x, y)
（b）
温度场的等温线可以表示为：
T (x, y) = C
（c）
式中：C 为常数，平面温度场的等温线如图 10-1 所示。 （2）温度梯度 沿着等温面（或等温线，见如图 10-1），温度不变；但沿着其他方向，温度都有变化，沿着等温面
τ xz τ yz σz
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
∂x ∂ ∂y ∂
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
⎞ ⎟ ⎟⎠⎟
⎜⎝ ∂z ⎟⎠
（10.15）
（2） 几何方程 几何方程纯粹从几何的角度出发研究弹性体内位移与应变之间的关系，并不考虑引起位移与应变的 原因，与弹性体温度的改变无关，与§2-5 节的推导相同，几何方程为：
=
−λ
∂T (x, y, z,t) ∂n
S
=
β
⎡⎣T (x, y, z,t) S
− Ta ⎤⎦
上式可以改写为：
（10.13）
⎡⎢⎣λ
∂T (x, y, z,t) ∂n
+
βT (x,
y, z,t)⎥⎤⎦
S
=
βT
a
（10.14）
§10-3 热弹性力学方程 现在讨论温度应力计算的第二部分，即根据弹性体内的已知温度改变来决定体内的温度应力。以下
=
E 2(1+ν
) γ xy
=
E 2(1+ν
)
( ∂v ∂x
+
∂u ) ∂y
⎪ ⎪ ⎭
再将上式代入平衡方程（3.2）式得：
（10.21）
∂2u ∂x2
+ 1−ν 2
∇2T = 0
(10.7)
同济大学结构工程与防灾研究所
（李遇春编）
即稳定的无热源温度场满足 Laplace 方程。
§10-2 温度场的定解条件 为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在初瞬时得温度分布，即初始条件；
同时还必须已知初瞬时以后弹性体表面与周围介质之间进行热交换的规律，即边界条件。初始条件和边 界条件合称为定解条件。
(b) 平面应力问题：等厚度薄板，有体力和面力的作用。
温度平面应力问题的物理方程为:
εx
=
1 E
(σ x
−νσ y ) + αTv
⎫ ⎪ ⎪
εy
=
1 E
(σ y
−νσ
x
)
+
α
Tv
⎪ ⎬
⎪
γ xy
=
τ xy G
⎪ ⎪⎭
将几何方程（3.2）代入上式，得到以位移表示的应力分量为：
（10.20）
同济大学结构工程与防灾研究所
有体力和面力的作用，但是有温变 Tv 的作用，而这个温变 Tv 只是 x 和 y 的函数，不随 z 而变化，且有
σ z = 0 ，τ yz = 0 ，τ zx = 0 。这个问题为温度平面应力问题。
(a)
(b)
图 10-3 (a)温度平面应力问题：等厚度薄板，无体力和面力的作用，有温变 Tv 的作用
第二类边界条件：已知弹性体表面 S 上任意一点的法向热流密度，即
qn (x, y, z,t) S = qS (x, y, z,t)
(10.10)
式中： qS (x, y, z, t) 为已知函数，将 (10-2)式用于弹性体表面，上式也可写为：
−λ
∂T (x, y, z,t) ∂n
S
=
qS (x,
y, z,t)
关于温度场的计算，在传热学中已有详细讨论，本章仅介绍传热学的基本方程及初始、边界条件。 本章将主要讨论温度应力的计算，暂不考虑荷载或边界位移对应力的影响，对于实际既有荷载作用、边 界位移作用以及温度改变作用的弹性力学问题，可分别单独计算单个作用因素下的应力结果，然后应用 叠加原理，将单个作用因素下的应力结果叠加起来，即可得到实际问题的解答。
§10-1 温度场和热传导方程 （1）温度场 一般情况下，在热传导的过程中，弹性体内各点的温度随位置和时间而变化，因而温度 T 是位置
坐标和时间 t 的函数：
T = T (x, y, z,t)
(10.1)
在任一瞬时，所有各点的温度值的总体称为温度场。 一个温度场，如果它的温度随时间而变化，如式(10.1)所示，就称为不稳定温度场；如果温度场不
取直角坐标系并取微小六面体 dxdydz ，如图 10-2 所示。假定该六面体的温度在 dt 时间内由T 升
高到T + ∂T dt 。由于温度升高了 ∂T dt ，它所积蓄的热量是 cρdxdydz ∂T dt ，其中 ρ 是物体的密度；
∂t
∂t
∂t
c 是比热系数，也就是单位质量的物体温度升高一度时所需要的热量。