电磁学4-电介质电容ed3汇总

D dS SD cosdS DS q
D q / S , E D / 0r / 0r
(3) V = E1 (d – b) + Eb
导体板
例2 一个带正电的金属球，半径为 R，电量为 q，浸在
油中，油的相对介电常数为 r，求球外的电场分布以及
贴近金属球表面上的束缚电荷 q'。(书中例8-3)
n1
0 E1
r1 r1
P1 cos
1
Q, S P1,
P2
r2 1 Q r2 S
2 P1 cos 0 P1
3 P2 cos P2, 4 P2 cos0 P2
1
2 (3) 每个金属板自身为等势体，所以
S 1 S
左右侧电压 V1 = V2, E1d = E2d,
r
E1
=
E2
线半径为 a，两导线轴间距为 d，且 d >> a。
P1
1
r r
1
联立上面三个着色方程，解得
1
r r 1
2Q S
,
2
1
r 1
2Q S
,
1
1r r 1
2Q S
例4 铜球的一半浸在相对介电常数为 r 的油中，球上
带电 q，问上下半球各带电多少？
解：在铜球外紧贴球面取同心高
斯球面
S，利用
D
的高斯定律
空气
SD
dS
q
D1, E1 铜球
高 斯 面
左侧 上半球D1 dS 下半球D2 dS
取柱形高斯面 S，有高斯定理
E dS
1
(q q)
S 0
由 P dS P dS dS q
S
'
E PD
S
得
下底面
(0E P) dS q
S
定义电位移矢量 D 0E P
得 D 的高斯定律
D dS
S
q自 由
穿过任一闭合曲面的电位移矢量
D
的通量等于闭合曲
V V 0
内部各处 P 相同
2. P 与束缚电荷 (极化电荷) 面密度 ' 的关系：
电介质沿 P 方向均匀极化。取底面积为 S，长为 l 的
细斜圆柱体，总电偶极矩为 p总 = ' Sl ，电极化强度
P p总 Sl
P
n
V Sl cos cos
因此
P cos
P n Pn
–' l +' S
E D Q
L r
0 r 2 0 r rL
V
R2
E
dr
R2
Q
1 dr
R1
R1 2 0r L r
R1 +Q –Q
Q ln R2
2 0rL R1
C Q 2 0rL
V ln( R2 R1)
当 R1 R2 时，转化为平行板电容器电容。
例1 半径为 R1 的金属球带电量 q，外面同心放置一内 外半径分别为 R3 和 R4 的金属球壳，它本身带电为Q。 两者之间有一层内外半径分别为 R2 和 R3 的电介质，
r
–Q
V
R2
E
dr
R1
R2 R1
Q
4 0rr2
dr
Q
4 0r
1 R1
1 R2
C Q 4 0rR1R2
V
R2 R1
当 R2 时，得到孤立球形导体的电容 C 4 0r R1
3. 圆柱形电容器：
圆柱形电容器由两个同轴的金属圆桶组成，忽略
两端边缘效应。
R2
D Q , 2r 2 rL
R1 r R2
(两导体分别带电+Q, –Q)
C 与导体几何形状、大小、介质有关。
(2) 导体之间有电介质和没有电介质的情况下电
容的关系为 C = rC0，所以 r 也叫相对电容率。
◎ 电容器的传统应用：i. 发射机中产生振荡电流；
ii. 接收机中的调谐；iii. 整流电路中的滤波等。
◎ 电容器的现代应用：i. 触摸屏；ii. 指纹识别；iii.
空气 S
高
斯
铜球
面
q
q1 1 2 R2 q (r 1) q2 2 2 R2 r q (r 1)
油 r S
D2 , E2
上下半球自由电荷密度不等；计入束缚电荷后，
总电荷密度相等。
六、电介质的击穿： 当外电场不太强时，引起电介质的极化。 当外电场很强时，电介质分子的正负电荷可能
被拉开而变成自由电荷，电介质的绝缘性能遭到破 坏。这种现象称为电介质的击穿。
D Q
S
V+
r
V–
S
+Q d
–Q
DQ E
0 r 0 r S
V
V
V
Ed
Qd
0 r S
C Q 0rS
V d
只决定于形状、尺寸、介质，与带电量无关。
2. 球形电容器： 球形电容器由两个同心的导 2
R1 r R2
R2 +Q R1
D
Q
E 0 r 4 0 r r 2
和形状。单位：C / V = F, F = 10-6 F, pF = 10-12 F。
例如球状导体 V Q ,
4 0R
所以
CQ V
4 0R
求得地球的电容仅为 0.71 mF。
二、电容器的电容：
(1) 为获得较强容纳电荷的能力 (电容)，一般不
用孤立导体做电容器。 对两导体电容器，定义电容
C Q Q Va Vb ΔV
例1 如图，求 (1) 导体板与电介质板之间空隙中的电
场强度 E1；(2) 电介质中的电场强度 E；(3) 两导体板 间的电势差。
解：(1) 取如图所示柱形高
斯面 (上)，应用高斯定律
D dS DS q
Dq S ,
b r
S
导体板
电介质 d
E1 D / 0 / 0 (2) 仍取柱形高斯面 (下)，
相对介电常数为 r 。求：(1) 内球电势；(2) 内外球电
势差；(3) 把外球壳接地，求该电容器的电容。
解：由高斯定理得
0,
D
q
4 r 2
0, Qq
4 r 2
, ,
r R1 R1 r R3 R3 r R4
r R4
r
R1 R2
R4 R3
电场强度
0,
q
4
0r
2
,
r R1 R1 r R2
钛酸钡
r= 103—104
+ + + + + +Q
E0 E
––––––
怎样解释？
三、电介质的极化： 分子电偶极矩模型：分子有正、负电荷分布中心，
根据它们是否重合划分为
±
– pi +
H2, CO2, CH4, He等 非极性分子
H2O, NH3, 有机酸等 极性分子
非极性 分子
无外电场
有外电场
S
按例 1 结果，D Q
S
E D Q
0 r 0 r S
P D
1
P
2 P
0
n1 n2
E
P P
r 1 r
cos
cos 0
Q S
P P
r1 r
2
D D
1 2 3 4
(2) Q
S
D Q
S
E1
D
0 r1
Q
0 r1S
,
E2
Q
0 r 2 S
P1
1
D P1
q
DdSq
D
D 0r E
E
P D0 E
P
Pn
+q –q'
D
+q' –q
导体
0E0 空隙
0E
P
电介质
0E0 空隙
导体
三、E, P, D 的总结：
1. 电场强度 E 的物理意义：单位正试验电荷的受力。
真空中关于静电场的所有讨论都适用于介质，包括
高斯定理、电势的定义、电场的环路定理等。
面内所包围的自由电荷电量的代数和。
D 0E P 0E 0eE 0(1e )E 0r E E 无电介质时，P 0, r 1, D 0E
注意由e自和由电r 无荷单q位或，而就可0 和决定 有D单, 位E,。P ，无需再知
道束缚电荷 q' 或 ' ，而且由 q 或 能够求出 q' 或 ' 。
pi 0 pi 0
正负中心重合 正负中心发生位移，产生
pi
0,
pi
0
电偶极矩，发生位移极化。
极性 分子
混乱取向
pi
0,
pi
0
pi 0 pi 0
pi
受力矩，向外电场方向
转动，发生取向极化。
四、电极化强度：
1. 定义：电介质极化后单位体积内电偶极矩矢量和
P
lim
pi
均匀极化各向同性电介质
由场强叠加原理求得 E 0 而且 P 0eE
E0 E
和极
–'
E E0 E E0 eE
+' –
E E0 E0
1 e r
r 称为电介质的相对介电常数 = 0r 称为 (绝对) 介电常数
此公式解释了电介质使外电场减小的实验结果，对其
他形状各向同性均匀电介质也适用。
二、有介质时的高斯定理：
解：利用 D 的高斯定律
D
S
D
dS q,
q
4 r2
D er ,
4 r E
2 q, D
0 r
q
D 4 r 2 , q
4 0r r2 er
q' q n
D
R
r
高
斯
面
可见，当带电体周围充满电介质时，场强减弱为真空
时的
1/r
倍。
P D0E D
P
n
P
cos
0 P,
D
0
1 r
n 的夹角，n 由介质内指向介质外。
0 ( / 2 / 2)
P
n
P
c os
0
( / 2 3 0 ( / 2)
/
2)
P ( 0)
P ( )
n
P
r P
nr
P
cos
均匀带电圆环轴线场强公式
E
qx
40 (x2
R2 )3/2
n
P
细圆环包含的束缚电荷在球心处生成
其中 n为外法向单位矢量（从介质内指向外）。
3.
电介质中
P 的与场强
E
的关系：
实验表明，各向同性介质，E不太强时 ，二者成正比
P 0(r 1)E 0eE
其中 e 为电极化率，无量纲。
例1 求均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，
并求极化电荷在球心处的场强。已知电极化强度
P
。
解：
为
P与
2. 电矩表极的面化 矢 束强 量 缚度 和 电。 荷P在的各 物向P理同 n意性，义均：P匀单由电位负介体束质积缚中内电P的荷电指0偶向e极正E，
束缚电荷，并且只分布于介质中，真空中 P 0 。
3. 电义通位量D移 只 矢 与0E量 面内PD自无由0物电rE理荷。意相穿义联过，系任只。意有真闭一空合个中曲数面D学的上的D0E定的。
，分别在左右两个同样的柱
形高斯面上利用
E
的高斯定律
E1 dS (1 1)S 0 ,
E2 dS 2S 0
因为两式左侧相等，所以 1 1 2
由电荷守恒，有 1S / 2 2S / 2 Q
D1 1, E1 D1 / 0 r 1 / 0 r0
P1
D1
0E1
r
r
1
1
,
1
击穿强度：电介质恰好不被击穿的最大场强。 当外电场为非均匀电场时，电介质承受电场最 大的地方最先被击穿。
8.4 电容与电容器
一、孤立导体的电容：
电容是指导体储存电荷的能力。
对一块带电导体，其电势 V（取无穷远为电势零
点) 与电量 Q 成正比，其比值是一个常数。
定义孤立导体的电容 C Q V
表示升高单位电势所需的电量，它依赖于导体的大小
d
的电场为
R
dE
4
0(R2
R cosdq sin2 R2
c os2
)3/ 2
R cos 2R sin Rd P cos2 sind
4 0R3
2 0
所以总电场为 E P cos2 sind P 方向向左
2 0 0
3 0
8.3 有电介质时的高斯定理
一、电介质中的电场：
化电场在外E加 ，电则场总E电0 场的作E用下E0，产E生束缚电+荷 '
E
4
q
0
r
r
2
,
R2 r R3
0,
Qq
4
0
r
2
,
R3 r R4 r R4
(1) 内球电势
r
R1 R2
R4 R3
(2) 内外球电势差
(3) 把外球壳接地，内球表面带电 q，外球壳内表面 带电 –q，外表面不带电，满足电容的定义。 电容器电容
例2 计算两根无限长平行导线间单位长度的电容。导
q
1
r
D
1
4R2 (1/ r
1
r
q
4 R
1)q, q
2 er
q
例3
在两平行金属板之间以不同方式插入电介质，试
讨论不同情况下的 D, E, P, , 。已知金属板带电量
+Q 和 –Q ，面积 S，忽略边缘效应。
n1
1
r D, E, P
2
n2
n1,
n2
由介质表面
指向介质外
(1) Q
q
2 R2 (D1 D2 ) 所以 D1 D2 q 2 R2
油 r
D2 , E2
由于铜球上下为等势体，故由对称性分析知 E1 = E2，
即
D1 D2
0 0 r
解得
D1
2
q
(r 1)R2
,
D2
2
rq (r 1)R2
在表面小柱体上利用高斯定律
D1, E1
即 所以
D1S = 1S D2S = 2 S D1 = 1，D2 = 2
薄膜测厚仪；iv. 键盘；v. 储电；vi. 电击心脏起搏等。
触摸屏
指纹识别
指纹识别
脊
谷
测厚仪
轧辊
工作极板 被测薄物
键盘
键 可动金属板
软绝缘体 固定金属板
键盘
储电
电击心脏起搏
三、典型电容器电容的计算： (+Q, –Q) D E V C
1. 平行板电容器： 设金属板带电 Q，则
8.2 静电场中的电介质
一、电介质模型： 1. 各向同性均匀绝缘体； 2. 电介质的价电子处于束缚状态，不导电。
二、电介质对电场的影响：
电介质使外电场减小 E E0
r > 1，相对介电常数 r
真空
r= 1
空气(0℃,1atm) r= 1.00059