函数一致连续性的判别

函数一致连续性的判别
一.函数一致连续性的定义
1.函数一致连续性的概念
定义：设函数)(x f 在区间I 有定义，若δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 有,)()(21ε<-x f x f 称函数)(x f 在I 上一致连续。

例1.证明：函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。

证 ：,0>∀ε由于'''')''()(x x a x f x f -=-，
取δ=a
ε
，则对任何),(,'''+∞-∞∈x x ，只要δ<-'''x x ，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数)0()(≠+=a b ax x f 在),(+∞-∞上一致连续。

例2. 证明：函数x
x f 1
)(=
在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续；在区间(]1,0上非一致连续。

证 ： （1）,0>∀ε由于'
''2'''''
'
'''''111)''()(x x a x
x x x x x x f x f -≤-=-=
-，取εδ2a =，则对任意[],1,,'''a x x ∈当δ<-'''x x 时，就有ε<-)()('''x f x f ，故函数x
x f 1
)(=在区间[]1,a （其中10<<a 为常数）上一致连续； （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛>∃>∀>=
∃δδε10,0210n ，取11'+=n x ，(]1,01'',11'
∈=+=n x n x ，虽然有 ,1
)1(11112'''δ<<+<-+=
-n
n n n n x x 但211)1()(0'''=>=-+<-εn n x x f ，故函数x
x f 1
)(=在区间(]1,0上非一致连续。

例3.（1）叙述)(x f 于区间I 一致连续的定义;(2)设)(x f ，)(x g 都于区间I 一致连续且有界，证明：)()()(x g x f x F =也于I 一致连续。

解： （1）若δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 有,)()(21ε<-x f x f 称函数)(x f 在
I 上一致连续。

（2）由题设)(x f ，)(x g 有界，从而存在0>M ，使I x M x g M x f ∈∀<<,)(,)(再由)(x f ，)(x g 都一致连续，则0,0,021>>∃>∀δδε使I x x x x ∈∀432,1,,且
243121,δδ<-<-x x x x 时有,2)()(,2)()(4321M
x g x g M
x f x f ε
ε
<
-<
-令{}
21,m in δδδ=则
δ
<-∈∀6565,,x x I x x 时
，
.
)()()()()()()()()()()()(656655665565x f x f x g x g x g x f x g x f x g x f x F x F -⋅+-⋅≤-=-.22εε
ε
=⋅
+⋅
<M
M M
M
所以)(x F 在I 上一致连续。

例4.函数)(x f 在[]b a ,上连续，又在[]c b ,上一致连续，c b a <<，用定义证明：
)(x f 在[]c a ,上一致连续.
证： 由)(x f 在[]b a ,上一致连续，故0>∀ε，存在01>δ 当 1x ，[]b a x ,2∈，且
121δ<-x x 时，有 2
)()(21ε
<
-x f x f ①
同理，)(x f 在[]c b ,上一致连续，对上述0>ε，存在02>δ， 当[]c b x x ,,,43∈，且243δ<-x x 时，有
2
)()(43ε
<
-x f x f ②
令{}21,m in δδδ=，则对0>ε，当[]c a x x ,,65∈且δ<-65x x 时， (1)若[]b a x x ,,65∈，由①式有
εε
<<
-2
)()(65x f x f .
(2)若[]c b x x ,,65∈，由②式也有
ε<-)()(65x f x f .
(3)若[]b a x ,5∈，[]c b x ,6∈时，则δ<-b x 5，δ<-b x 6
所以εε
ε
=+
<-+-≤-2
2
)()()()()()(6565x f b f b f x f x f x f .
从而得证)(x f 在[]b a ,上一致连续。

例5.证明：x x f 1
)(=在[)+∞,a 其中0>a 上一致连续，)(x g =x 1sin 在()1,0上不一致连续。

证
:
对
0>∀ε取
∈=2a δ区间，当δ<-'''x x 时，
εδ=≤-<-=-2'''''''''''''211a a x x x
x x x x x ，由一致连续的定义知x 1
在给定的区间中一致连续。

（2）x
x g 1sin )(=,在()1,0内取ππ)1(2,1'
+==n x n x n n 取2
1
0=
ε对任意的0>δ，只要n 充分大总有 δπ
<+=
-)1(2'
n n x x n n ，0'
12)1(sin 2sin )()(εππ>=+-=-n n x f x f n n . 所以)(x f 在()1,0上不一致连续。

例6．设函数)(x f 定义在区间()b a ,上。

（1） 用δε-方法叙述)(x f 在()b a ,上一致连续的概念；
（2） 设10<<a ,证明：x
x f 1
sin )(=在()1,a 上一致连续；
（3） 证明：函数x
x f 1
sin )(=在()1,0上非一致连续。

解:（1） 设函数)(x f 在区间I 有定义，若δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 有,)()(21ε<-x f x f 称函数)(x f 在I 上一致连续。

（2）0>∀ε，取εδ2a =，则当()δ<-∈2121,1,,x x a x x 时，
2
121212121211
11121sin 2211sin 211cos 21sin 1sin )()(x x x x x x x x x x x f x f -≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-•+=-=-εδ=<-<
--=
21221
2121
1a
x x a x x x x
所以x
x f 1
sin )(=在()1,a 上一致连续.
(3) 由 例5可知函数x x f 1
sin )(=在（0,1）上非一致连续.
例7.用定义证明x 在[)+∞,0上一致连续.
证 ：令)(x f =x ，先证)(x f 在[)+∞,1上一致连续. 设[)+∞∈,1,21x x 且21x x <
2
2
12
12121x x x x x x x x -<+-<
-。

,0>∀ε取εδ2=，当[)+∞∈,1,21x x 且δ<-21x x 时，有 ε<-<
-2
2
121x x x x 。

即证)(x f 在[)+∞,1上一致连续。

二.函数连续性的康托定理判别及其推论
(1)康托定理：函数)(x f 在[]b a ,上一致连续的充分条件是)(x f 在[]b a ,上连续. (2)有限非闭区间的定理1：函数)(x f 在()b a ,上一致连续的充分必要条件是
)(x f 在()b a ,上连续且)(+a f 与)(-b f 都存在。

(3)有限非闭区间的推论1：函数在[)b a ,上一致连续的充分必要条件是)(x f 在
[)b a ,上连续且 )(-b f 存在。

(4)有限非闭区间的推论2：函数 )(x f 在(]b a ,上一致连续的充分必要条件是
)(x f 在 (]b a ,上连续且)(+a f 存在。

(5)组合空间的定理1：（一致连续函数的区间可加性）函数)(x f 在21I I ，上一致连续，若φ≠⋂21I I ，则)(x f 在21I I ⋃上一致连续。

(6)无穷区间的定理1：函数)(x f 在[)+∞,a 上一致连续的充分条件是)(x f 在
[)+∞,a 上连续且)(+∞f 存在。

(7)无穷区间判别定理的推论：函数)(x f 在()+∞,a 上连续且)(+a f 和)(+∞f 都存在。

(8)无穷区间的定理2：函数在(]b ，∞-上一致连续的充分条件是)(x f 在(]b ，∞-上连续且)(-∞f 存在。

(9)无穷区间定理2推论：函数)(x f 在()b ，—∞上一致连续的充分条件是)(x f 在()b ，—∞上连续且()-b f 和)(-∞f 都存在。

(10)类似于有限开区间一致连续性判别法的定理：函数在)(x f 上一致连续的充
分条件是)(x f 在()∞+∞，
-上连续且)(-∞f 和)(+∞f 都存在。

(11)一般任意区间上的判别法即莱布希茨判别法：若对于定义在区间X 上的函数)(x f 和)(x g ，,,,0'''X x x L ∈∀>∃有)()()()(''''''x g x g L x f x f -≤-成立，而
)(x g 在X 上一致连续，则)(x f 在X 上也一致连续。

(12)一般任意区间上的判别法定理：设函数)(x f 在区间X 上连续，且满足)('x f 在X 上有界，则)(x f 在X 上一致连续。

例1.（1）()1,0,)(3∈=x x x f ； （2）),0(,11
)(2
+∞∈+=
x x
x f ； （3）),0(,sin )(π∈=
x x
x
x f 。

解：（1）()1,0,)(3∈=x x x f 在()1,0内连续，且1,0)(310lim lim ==-
+
→→x x f x x
即1,0)(310lim lim ==-
+
→→x x f x x 都存在，故)(x f 在()1,0一致连续。

(2)2
11
)(x x f +=在()+∞,0内连续，且0,1)(lim lim 0==+∞→→+
x x x f ， 故),0(,11
)(2
+∞∈+=
x x x f 一致连续。

（3）0,1)(lim lim _
0==→→+
πx x x f 满足定理条件，故)(x f 在区间内一致连续。

例2.若)(x f 在[)∞+，
0上连续，A x f x =+∞
→)(lim 存在，则)(x f 在[)∞+，0上一致连续。

证: 因为A x f x =+∞
→)(lim ，由柯西准则，0,0>∃>∀M ε当M x x >2,1s 时，有
,)()(21ε<-x f x f . a
又由于)(x f 在[]，，10+M 上连续，从而一致连续，故对上述001,>∃>δε，，当∈43,x x []，，10+M ，且143δ<-x x 时，有,)()(43ε<-x f x f b
取{}1,m in 1δδ=则[)+∞∈∀,0,'''x x 且δ<-'''x x 时，由a, b 俩式知
ε<-)()('''x f x f .此即证)(x f 在[)∞+，
0上一致连续. 例3.求证：x e
x x f 314
)(=在[)∞+，
0上一致连续。

证：因为)(x f 在[]∞+，
0上连续，又由罗比塔法则可证0314
lim =+∞→x x e
x 。

由上题 得)(x f 在[)∞+，
0一致连续。

例4．已知)(x f 在()b a ,上连续，证明：)(lim x f a x +
→存在。

证： 由假设0,0>∃>∀δε，对()δ<-∈2121,,,x x b a x x ,都有,)()(21ε<-x f x f 故当δδ+<<+<<a x a a x a 21,时，有,)()(21ε<-x f x f 由柯西准则知)(lim x f a x +
→
存在。

例5.设)(x f 在有限开区间()b a ,上连续，证明：)(x f 在()b a ,上一致连续的充要 条件是)(lim 0
x f a x +→及)(lim 0
x f b x -→都存在。

证: 充分性，设c x f a x =+→)(lim , b x f b x =-→)(lim 0 规定 1)1,0(0,),(,
)(=∈=⎪⎩
⎪
⎨⎧=x x x d x f c x F
则)(x F 在[]b a ,上连续，从而在[]b a ,上一致连续，所以)(x f 在()b a ,上一致连续。

再证必要性，由上题可证)(lim 0
x f a x +→存在，类似上题可证)(lim 0
x f b x -→存在。

例6.证明：如果一个函数)(x f 在区间（0,1）里一致连续，那么存在一个函数)(x F 在闭区间[]1,0里连续，并且对任何)()(),1,0(x f x F x =∈。

证：由例5可知c x f x =+→)(lim
存在，d x =→lim _
1存在，令1)1,0(0,),(,
)(=∈=⎪⎩
⎪
⎨⎧=x x x d x f c x F 则)(x F 在[]1,0里连续，且)(x F =)(x f ，).1,0(∈∀x 例7.讨论x
x
x f sin )(=
在π<<x 0上的一致连续性。

解：因为 ,0sin ,1sin lim 0sin ==→ππx x x 构造新函数ππ=<<=⎪⎩
⎪
⎨⎧=x x x x f x F 000)(1
)( 则)(x f 在[]π，0上连续，从而一致连续，所以)(x F 在[]π，0上连续，从而一致连续所以)(x F 在()π，0上连续，所以在其上一致连续。

例8.若函数)(x f 在区间I 上满足利普希茨条件：
,,,)()(2121'''I x x x x L x f x f ∈∀-≤-则)(x f 在I 上一致连续。

证：0>∀ε，取L
ε
δ<
，则当I x x ∈21,且δ<-21x x 时
,,,)()(2121'''I x x L
L x x L x f x f ∈∀=⋅
≤-≤-εε
所以)(x f 在I 上一致连续。

例9.证明：函数x x x f ln )(=在[)+∞,1上一致连续。

证： 因为 x x x f ln )(=， 所以022ln )('>+=
x
x x f ，[)+∞∈,1x ，
04ln )(''<=
x
x x x f ，[)+∞∈,1x .
故)('x f 单调递减，
0111
22ln )(lim lim
lim lim '===+=+∞
→+∞
→+∞
→+∞
→x x
x x
x x f x x x x . 122ln )(lim lim 1
'1
=+=→→x
x x f x x ,
所以)('x f 在[)+∞,1上有界，设
[)+∞∈<,1,)('x M x f .
0>∀ε,存在M
εδ=
，那么当21,x x ，[)+∞∈,1，且δ<-21x x 时，
εε
ξ=⋅<-<-=-M
M x x M x x f x f x f 2121'21))(()()( ①
其中ξ在21,x x 之间，
由①式x x x f ln )(=在[)+∞,1上一致连续。

例10.已知)(x f ==2x .
(1)证明：对任何实数0>a ，)(x f 在[]a ,0上一致连续； (2)证明：)(x f 在[)+∞,0上非一致连续。

证:（1）因为)(x f 在[]a ,0上连续，根据Cantor 定理知在[]a ,0上一致连续；
(2)令
1,1,'
'→=-+==n
x x n n x n x n n n n 但
2121)()(22
2>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=-n n n n x f x f n n ，所以2x 在[)+∞,0上非一致连续。

例11.设)(x f 在[)∞+，
1上可导，且+∞=+∞
→)('
lim x f x ，证明：)(x f 在[)∞+，1上非一致连续.
证：由+∞=+∞
→)('
lim x f x 知0>∀δ，取δ
2
=
M ，则存在N>0,当N x >时，有
δ
2
)('=
>M x f 。

再取N x x >21,，且21x x <和2
21δ
=
-x x 时，
()12
2)()()(12'21=⋅≥
-=-δ
δξx x f x f x f 。

所以)(x f 在[)∞+，
1上非一致连续。

三．函数一致连续的比较判别法和比值判别法 1.函数一致连续的比较判别法
定理1.函数)(x f ，[)+∞=∈,),()(a I I C x g ，若满足()B x Ag x f x =-+∞
→)()(lim 成立，
（其中：A 为非零定值，B 为定值），则)(x f ，)(x g 有相同的一致连续性。

推论1.设函数)(x f ，[)b a I I C x g ,),()(=∈，若满足()B x Ag x f b x =--
→)()(lim 成立，
（其中：A 为非零定值，B 为定值），则)(x f ，)(x g 有相同的一致连续性。

推论2.设函数)(x f ，(]b a I I C x g ,),()(=∈，若满足()B x Ag x f a x =-+
→)()(lim 成立，
（其中：A 为非零定值，B 为定值），则)(x f ，)(x g 有相同的一致连续性。

推论3.设函数)(x f ，()b a I I C x g ,),()(=∈，若满足
()b x ag x f a x =-+
→)()(lim ，()B x Ag x f b x =--
→)()(lim
成立（其中：A 为非零定值，B 为定值），则)(x f ，)(x g 有相同的一致连续性。

2.函数一直连续的比值判别法
定理1：函数)(x f ，[)+∞=∈,),()(a I I C x g ，)(),(x g x f 满足：
（1）∞==+∞
→∞
→)()(lim lim x g x f x x ；（2）)(x f ，)(x g 在I 上可导，且0)('≠x g ；（3）
)()('
'lim x g x f x ∞→存在，若)()
(''lim x g x f x ∞→=A （A 为非零定值），则)(x f ，)(x g 有相同的一致连续性。

证明: 首先证明)(x g 在I 上一致连续，则)(x f 在I 上一致连续。

有：
)()(lim x g x f x ∞→=)()
(''lim x g x f x ∞
→=A . 设已知)(x g 在I 上一致连续，则有：δδε<-∈∀>∃>∀212,1:,0,0x x I x x 时，
ε<-)()(21x g x g ，由)()(lim
x g x f x ∞
→=A ，因此εε<->∀∃>∀A x g x f M x M )
()
(,,,0，由Cauchy 微分中值定理知，),(21x x ∈∃ξ，使
)()()
()()()(221''1x g x g x f x f g f --=
ξξ， 因为
==--∞→∞
→)()
()()()()(''2121,lim lim
21ξξξg f x g x g x f x f x x )()(lim x g x f x ∞
→=A ， 所以 εε<--->>∀A x g x g x f x f M x x )
()()
()(,
,,0212121，
因此
[]
,)
()()()()()(212121ε<----x g x g x g x g A x f x f
)()()()()()(212121x g x g x g x g A x f x f -<---ε， )()()()()()(212121x g x g x g x g A x f x f -+-≤-ε，
即是M x M x >>>∀21,,0ε，当)()()(,2121εεδ+<-<-A x f x f x x ，因此)(x f 在()+∞,M 上一致连续，因为)(x f 在[]1,+M a 上连续，故在[]1,+M a 上一致连续，所以)(x f 在I 上一致连续。

同理可证明)(x f 在I 上一致连续，则)(x g 在I 上一致连续，因此定理得证，类似可以得到一下推论。

推论1.函数)(x f ，)()(I C x g ∈[]b I ，—∞∈，)(x f ,)(x g 满足：
（1）∞==∞
→∞
→)()(lim lim x g x f x x ；（2）)(x f ，)(x g 在I 上可导，且0)('≠x g ；
（3）)
()
(''lim x g x f x ∞→存在，若A x g x f x =∞→)()(lim （A 为非零定值），则)(x f ，)(x g 有
相同的一致连续性。

例1.判断函数x x x x f +=2ln )(的一致连续性。

解：选取函数x 为比较函数，有1ln 2lim
=++∞
→x
x
x x x ，函数x x g =)(在区间()+∞,0上一致连续，有定理1可知，函数x x x x f +=2ln )(在区间()+∞,0一致连续。

例2.讨论函数x e x x x f ++=ln )(的一致连续性。

解：选取函数x
e 作为比较函数，则有1ln lim =++∞
→x
x
x e e x x ，而x e 在()+∞,0上不一致连续，有定理1可知x e x x x f ++=ln )(也不一致连续。

例3．判断函数x x x x f sin )(24++=在[)+∞,0上的一致连续性。

解: 构造函数2
)(x x g =，则有：)()(lim x g x f x ∞→=1sin 4
24lim =+++∞
→x x x x x ，2
)(x x g = 在定义域上非一致连续，由定理1，x x x x f sin )(24++=在[)+∞,0上不一致连续。

例4.判断函数x x x x f sin 97
)(++=在区间[)+∞,1上的一致连续性。

解：构造函数x
x g 1
sin )(= ，则有
1971sin
1
sin
97)()(lim =++=++=+∞→x x x
x x x x g x f x ， 又因为x x g 1sin )(=在区间[)+∞,1上一致连续，由定理1，x x x x f sin 97
)(++=在区
间[)+∞,1上一致连续。

例5.设函数列{})(n x f 在区间I 上一致收敛于)(x f ，且)(x f n 在I 上一致连续
)(N n ∈.证明：)(x f 在I 上一致连续.
证： 0>∀ε，00>∃N ，当0N n ≥时，
3)()(ε
<-x f x f n ，I x ∈∀. ①
又)(0x f N 在I 上一致连续，对上述0,>∃δε，当I x x ∈21,且
δ<-21x x 时，3)()(2100ε<
-x f x f N N 。

②
则由①,②两式有 )()()()()()()()(222111210000x f x f x f x f x f x f x f x f N N N N -+-+-=-
)()()()()()(2221110000x f x f x f x f x f x f N N N N -+-+-≤
εε
ε
ε
=++<333。

即证)(x f 在I 上一致连续。

参考文献
[1] 常庚哲，史济怀，数学分析教程：上册[M]，北京：高等教育出版社，2008。

[2]大连交通大学数学系数学分析[M]，大连：大连交通大学出版社，2007。

[3] 钱吉林等主编数学分析题解精粹[M] 武汉：崇文书局，2003。

[4]熊昌平，驻军，唐国彬，函数一致连续的比较判别法[J] 北京：大学出版社，2009。