基于PSD的激光三角测距法原理、系统和精度分析

激光三角测距法原理、系统和精度分析
目录
1 三角测距方式 (2)
2 激光三角法原理分析 (4)
3 激光三角法距离计算 (5)
4 激光三角法精度分析 (6)
5 系统探测能力的影响因素 (9)
5.1 PSD接收光功率对系统探测能力的影响 (9)
5.2光能质心对探测能力的影响 (16)
5.3像点弥散斑对系统探测能力的影响 (19)
激光三角法作为目前一种非常重要的非接触式测量方法，广泛运用于物体位移、厚度和三维面形等方面的测量。

激光三角法利用一束激光经光学系统调节后照射到被测物体表面，形成一小光斑，经过被测物体表面散射后通过接收物镜聚焦成像在光电探测器的接收面上。

被测点的位移信息由该光点在探测器的光接收面上所形成的像点位置决定。

当被测物体移动时，光斑相对于接收物镜的位置发生变化，相应的其像点在光探测器接收面上的位置也将发生改变，根据其像点位置的变化和测量系统的结构参数可求出被测点的位移信息。

由于入射光线和反射光线构成一个三角形，所以该方法被称为激光三角法。

1 三角测距方式
系统三角结构方式初步选定采用直入射法垂直接收屏方式。

对于本系统，接收物镜面几乎与散射光光轴垂直，接收物镜光轴与入射光光轴的夹角θ角非常小，计算出只有约1.14度，在一般的机械零件加工和安装调试过程中这么小的角度是很难实现的，而且此时接收物镜也很难在普通光学支架上定位，故将垂直接收方式的结构设计为以下形式：
图1 改进型垂直接收屏方式原理图
改进型方式中，接收物镜光轴平行于入射光轴，并与物面散射光光轴成θ角，接收物镜与光电探测器接收面平行。

光束i垂直入射到移动物面上并与接收物镜的主光轴相交于位于M平面上的O点，称M平面为零参考平面，O点在像屏上的像点是O’点。

移动物面上的A点和参考平面上的O点经过漫反射和半漫反射后通过透镜分别成像在光电传感器P上的A’点和O’点。

A点相对于零参考平面M的位移量记为∆，A点的位移计算公式为：
θδ
θθcos sin cos 120+=∆d d (1) 与垂直接收屏接收方式相比，位移计算公式中多了一个系数θ2cos
此时，焦距公式为
s
d f 1111-= (2) 由此推导出精度公式：
)11()(cos sin )cos cos (2
22210220s f ds s s d d d d d +∆-=∆-=∆θθθθδ (3)
在相同焦距和系统宽度条件下，比垂直接收方式相对比，三种颜色曲线代表不同的接收物镜焦距，如图2。

-500-400-300-200-1000100
200300400500
工作距离(mm)精度
图2 改进型垂直屏接收方式与未改进对比
图中，三组曲线分别代表了三组不同的接收物镜焦距。

“＋”、“○”和“☆” 分别为mm f 15=、mm f 20=和mm f 25=，实线曲线代表垂直屏接收方式的精
度曲线，带符号曲线代表改进方式的精度曲线。

由图2可知，与垂直接收屏方式相比，改进后的系统测量精度与之前并无明显差异。

证明在此种结构方式下，系统精度满足项目要求。

假设PSD 最大分辨率为m μ3.0，接收物镜焦距为mm f 20=，系统测量的最低精度为mm m 1.23.07000=⨯μ，则在测量范围内均可以满足系统测量精度的要求。

激光三角法(Laser Triangulation)是激光近场探测技术的一种，也是激光技术在工业测试中的一种较为典型的测试方法。

由于该方法具有结构简单、测试速度快、实时处理能力强、使用灵活方便等特点，与其它非接触方法相比，这种探测方法具有更大的偏置距离和测量范围，对待测表面要求较低。

因此，激光三角法在长度、距离以及三维形貌等检测中有着广泛的应用。

2 激光三角法原理分析
光学三角法的基本原理是依据透镜的横向放大特性，如图所示，当物点由1
A 移动到2A ，对应像点由'1A 移动到'2A ，当透镜的横向放大率为β时，可以得到
''1212A A A A β=，利用透镜的这个特性，便可以对位移进行放大和缩小的转换。

A2'
图：透镜的光学成像特性
实际测量示意图如下所示，光源发出的光经会聚透镜投射到被测物体表面，其漫反射光经成像透镜形成光斑成像在传感器上。

散射光斑的中心位置由传感器与被测物体表面之间的距离决定。

被测物体的位移改变引起传感器上成像光斑产生位移，而光电检测器件输出的电信号与光斑的中心位置有关，通过对光电检测器件输出的电信号进行运算处理，就可获得传感器与被测物体表面之间的距离信息。

图：装置测量示意图
3 激光三角法距离计算
按照入射光线与法线夹角的不同，单点式激光三角法测量通常可分为直射式和斜射式两种结构，如图所示。

在图中a ，激光器发出的光线，经过会聚透镜聚焦后垂直入射到被测物体表面上，物体移动或者其表面发生变化，则会导致入射点沿入射光轴的移动。

入射点处的散射光经接收透镜入射到光电位置探测器上。

若光点在成像面上的位移为'x ，则被测面在沿轴方向的位移为
'
'sin cos ax x b x θθ
=- 式中，a 为激光束光轴和接收透镜光轴的交点到接收透镜前主面的距离；b 是接收透镜后主面到成像面中心点的距离；θ是激光束光轴与接收透镜光轴之间的夹角。

图所示为斜射式三角法测量原理图。

激光器发出的光线和被被测面的法线成一定角度入射到被测面上，同样地，物体移动或其表面变化，将导致入射点沿入射光轴的移动。

入射点处的散射光经接收透镜入射到光电位置探测器上。

若光点在成像面上的位移为'x ，则被测面在沿法线方向的移动距离为
()()
'1'1212cos sin cos ax x b x θθθθθ=+-+
式中，1θ是激光束光轴与被测面法线之间的夹角；2θ是成像透镜光轴与被测
面法线之间的夹角。

从图中可以看出，斜射式入射光的光点照射在被测面的不同点上，无法知道被测面中某点的位移情况，而直射式却可以。

因此，当被测面的法线无法确定或被测面面形复杂时，只能采用直射式结构。

x ’
’
4 激光三角法精度分析
激光三角法测量技术的测量精度受传感器自身因素和外部因素的影响。

传感器自身影响因素主要包括光学系统的像差、光点大小和形状、探侧器固有的位置检测不确定度和分辨率、探测器暗电流和外界杂散光的影响、探测器探测电路的测量准确度和噪声、电路和光学系统的温度漂移等。

测量精度的外部影响因素主要有被测表面倾斜、被测表面光泽和粗糙度、被测表面颜色等。

这几种外部因素一般无法定量计算，而且不同的传感器在实际使用时会表现出不同的性质。

因此在使用之前必须通过实验对这些因素进行标定。

下面对激光三角法的探测精度做定量的分析。

如下图所示，可将上面得到的距离公式细化，
当物距m x x ≤时 222()tan tan()m l m m m d x x d x y f f f f x x d x x x d δϕθ-∆=⋅=-⋅=
⋅=⋅⋅+-∆⋅+
当物距m x x ≥时 f d x x x x d f f y m m r 2)()tan(tan +⋅-⋅=
⋅-=⋅=ϕθδ
令0y =0，l y <0，r y >0得 y x d f d y x d f x m m ⋅-⋅⋅+⋅⋅=2
在理想成像条件下，探测器上所得光斑为一物点，对式求微分得：
222()()
m m df d x dx dy df yx +=⋅- 将1.1式代入1.3式，得：
222()()
m m xx d dx dy df d x +=⋅+ 上式即为理想成像条件下的成像精度表达式。

分析上式可以得到：
（1）1dx f
∝，精度与焦距成反比。

焦距越大的系统误差越小，精度越高； （2）2~dx x ∝，精度与物距的平方成正比，物距越大，精度近似平方倍数地下降；
（3）dx dy ∝，精度与位置探测器分辨率成正比，使用分辨率高的位置探测器可以获得更高的精度；
（4）当m x nx =时，期望在x 处获得dx 的最小值即最高的精度，则
221[3(1)2
m d n x =-⋅ 特别的，当要求在m x x =处的精度尽量好时，需要满足
m d x =
即位置探测器与光源的距离与物距相当。

通常条件下这一条件是很难满足的，这也对系统精度的提高带来了困难。

除此之外，组成测量系统的光学部件本身也会带来误差，这些误差主要来源于球差、像差、象散、场曲和畸变等，它们会使实际成像点偏离理想成像点。

而这些误差主要依靠制造工艺的提高来消除或减小。

除光学部件以外的其他影响测量精度的因素主要有这样几点：
（1）测量环境，测量环境的温度和湿度会使空气折射率分布不均匀，激光束发生弯曲；
（2）发射光强及光束直径大小，激光束光强分布不均匀会使散射光斑的信号强度分布出现毛刺、多峰和中心偏离等现象，使光敏元件的世纪成像中心与理论中心偏离，带来测量误差；激光束信号太强或太弱都会使散射光斑的光强超过光敏元件感知范围，造成测不到数据。

光束直径过大，被测物体表面的光斑受到被测物体表面特性影响大，散射光斑光能质心与光斑几何中心不重合；若光束直径过小，则散射光相对于反射光来讲，散射光能量分布若，光电检测器件将检测不到信号；
（3）被测物体表面特性，被测表面的光泽和粗糙度对测量结果的影响与发射光强相似，关系到散射光斑的形状和光强分布。

粗糙度值较低时，会使激光束
在产生漫反射的同时发生较强的镜面反射，反射光强常会引起较大测量误差；粗糙度过大，表面凸凹不平，则激光束照射到表面凹凸顶处或凹凸边界时，光斑形状发生较大的变化，会引起光敏元件输出值不稳定，甚至出错报警；
（4）表面颜色的变化会造成测量结果的差异；
（5）表面倾斜角，随着被测表面倾斜角的不同，入射光点所产生的散射光空间分布将发生变化，从而使接收透镜在单位立体角、单位时间内接收到的光能量发生变化。

这就使得光电接收面上的像光斑光能质心相对其几何中心产生偏移。

5 系统探测能力的影响因素
在建立了激光三角测距系统基本系统结构模型后，需要对可能影响系统探测能力的因素进行分析和讨论，并通过总结各个影响因素之间的相互关系，确定一个优化的系统参数和结构。

5.1 PSD接收光功率对系统探测能力的影响
PSD接收光功率的强弱直接决定了系统精度。

因为PSD存在暗电流和外界杂散光的影响，如果接收光功率过低，会导致信噪比减小，系统测量精度降低。

以下是通过光散射理论，对PSD接收光功率进行计算及PSD接收光功率与系统参数的关系进行理论计算和分析。

根据表面光散射理论，激光照射到参考物面上的O点处将产生散射光场。

接收物镜将入射到其上的散射光会聚到光电探测器的接收面上形成像光斑。

像光斑在非聚焦情况下成弥散斑形式且其光强分布是不均匀的。

弥散斑尺寸对系统探测能力的影响的讨论见下节。

对于光敏传感器PSD而言，PSD的光电输出由像光斑的等效光能质心决定。

被测物体的移动将使散射光场相对接收物镜的分布发生变化，PSD上的像光斑及其光能质心也将发生相应的移动，引起PSD的光电输出变化。

PSD接收光功率与系统参数的关系、被测物体位移和PSD上像光斑的光能质心之间的关系将在下节讨论。

首先建立激光器出射光功率与PSD 接收光功率的关系式：
激光在物体表面的散射非常复杂。

其散射光场与入射光角度、散射体的复折射率及物体表面特性包括粗糙度、颜色等因素有关。

设被测物表面为理想的漫反射面，散射体为不透明的无吸收介质。

被测物体为余弦辐射体如图2-10，根据朗伯定律(Lambert)，散射光场的光强分布为：
ϕϕcos )(0I I =
其中ϕ为散射光方向与物面法线间的夹角，)(ϕI 为ϕ方向单位立体角内的散射发光强度，0I 为法线方向的发光强度。

图 余弦辐射体
改进型激光三角测距系统结构图如下，
图 改进型激光三角测距结构图
图中，以α表示物面法线与入射光方向间的夹角。

并设物面法线位于入射光线右侧时0>α，反之，0<α。

θ,,10d d 为光学三角法结构参数，R 为接收物镜的通光半径，r 为物面上光点到接收物镜中心的距离，γ为参考物面和移动物面光点对接收物镜中心所成夹角，n 为被测物面表面的法线方向矢量，0β为r 与n 的夹角，β∆为接收物镜孔径对物面光点的半张角。

接着，为求解接收物镜接收的散射光能和光能质心光线，定义一个光辐射接收面元几何图，如图
图 光辐射接收面元几何定义图
在接收物镜上取与接收面垂直的条形面元ds 。

由于接收物镜半径R 远小于光路几何尺寸0d ，故可认为此面元上的散射光强与其中心处相同。

那么，ds 接收的光功率为：
Ω-=d I dP )cos(00ββ
其中Ωd 为ds 对物光点所张的立体角。

通过图2-12可推得：
ββ
ββ
d r r R r ds d cos tan 2)cos (2222-==
Ω 将此式代入，得到
ββ
β
ββd r
r R I dP cos tan )cos(222200--= 由图可知：
γθcos )cos (0∆-=d r
由于γ是一个很小角度的角，故可将上式化简为
θcos 0∆-=d r
对式进行积分，积分限为),(00ββββ∆+∆-，并作以下近似： 通过计算可得：
)cos()cos 2
1(0
2
2
αθθπ-∆
+=d d R I P 式中作了以下近似：
ββcos cos 2=，
1sin )(122=-βR r ，ββ=sin ，r
R =∆=∆ββtan sin ，γαθβ+-=0 因此PSD 接收光功率可以由上式决定，由此可见： 1．接收光功率与接收物镜孔径2R 成正比，与0d 成反比；
2．当θα=时即物面法线与接收物镜的主光轴一致时，接收光功率达到最大。

通过后面的实验将验证此影响；
随后对可能对PSD 接收光功率产生影响的因素进行分析：
1．考虑物面倾斜角对PSD 接收光功率的影响：
假设系统宽度为mm d 30=，工作距离为mm s 1500=，接收物镜孔径半径为
mm R 5=，光强0I 设为单位值，通过选取不同的物面倾角，得到PSD 接收光功
率与物面倾斜角之间的关系图
-500
-400-300-200
-100
0100200300400500
x 10
-5
Δ(mm)P
图 PSD 接收光功率与物面倾斜角α的关系曲线
工作距离(mm)
接收光功率
-30
-20
-10
10
20
30
3.35
3.4
3.45
3.5
3.55
3.6
x 10
Δ(mm)
P
图 局部放大
通过曲线可以看出，物面在远端的接收光功率约为近端时接收光功率的
6
1
， PSD 的输出信号在物面处于远端的时候可能会很微弱，导致系统测量出现误差，因此选择较大功率的半导体激光器可以改善远端时PSD 的输出信噪比。

物面倾斜角α的变化量不大时，可以基本上认为其对PSD 接收光功率的影响无关，通过放大截图可以看出，相同的工作距离，物面偏离参考物面越远，接收光功率越小。

再对接收物镜孔径和系统宽度对PSD 接收光功率的影响进行分析： 设激光器输出光功率分别为mw 1，mw 3和mw 10时
不考虑激光器光束照射到物体表面后的功率损失，假设以下参数：工作距离为物平面在参考平面时mm s 1500=，0=∆，物面倾斜度0=α，式化为：
2
22
d s R I P +=π
2．考虑系统宽度对PSD 接收光功率的影响，在这里假设接收物镜孔径半径为mm R 5=
工作距离(mm) 接收光
功率
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
d(mm)
P (m w )
图 PSD 接收光功率与系统宽度的关系曲线
由图可知，PSD 上接收光功率与系统宽度d 变化关系不大，虽然系统有体积限制，但在设计加工时应尽可能采用较大且合适的系统宽度以获得较大的像点动态范围。

而且激光器光功率应取较大情况考虑。

3．考虑接收物镜孔径对PSD 接收光功率的影响，在这里假设系统宽度
mm d 30
-3
R(mm)
P
(m w )
图 PSD 接收光功率与孔径的关系曲线
系统宽度(mm) 接收光功率(m w ) 孔径(mm)
接收光功率(m w )
由图可知，接收物镜孔径越大，PSD 的接收光功率越大。

因此选择较大孔径的接收物镜可以提高PSD 的接收光功率。

由此可得出结论，接收物镜孔径R 是影响PSD 接收光功率的重要因素，平衡其与系统宽度的两者关系是对系统设计的关键问题所在。

激光器和接收物镜的安装位置在同一平面内，系统宽度和接收物镜孔径尺寸相互约束，当系统宽度增大时，接收物镜尺寸必然要减小，而接收物镜尺寸太大时，将影响系统零件的安装。

从下一节弥散斑对系统测量精度的影响来看，接收物镜尺寸太大、系统宽度太小也会减小测量精度。

物面倾斜角α为非系统结构参数，对PSD 接收光功率的影响并不大。

物面倾斜角对系统测量结果的影响见下节讨论。

5.2光能质心对探测能力的影响
由于PSD 检测的是光斑光能质心，因此在建立工作距离和PSD 像点位移的对应关系时，应考虑光能质心在PSD 面上的位置。

首先讨论光能质心和像点弥散斑中心的位置关系。

由图，若在某角度1ββ=处将接收物镜面分成两部分，使得两部分的接收光功率相等。

则1β为接收物镜接收到的散射光锥中光能中心线的角位置，该角位置对应的像光斑中心为光能质心，由下面的积分方程决定：
⎰⎰∆∆
-=β
βββ1
1
dP dP
积分得到：
)tan()cos 2
1(0
2
21αθθβ-∆
+=
d d R 由几何关系推导出此时光能质心线在PSD 上的投射点坐标'δ为
)tan()cos 21(cos sin cos cos sin cos sin cos cos sin '02
30212011
2
301201αθθθ
θθθθβθ
θ
θθθδ-∆+∆-∆-∆=∆-∆-∆=
d d R d d d d d d d
'δ即为PSD 上像光斑的等效光能质心位置。

由像点位移计算公式(2-13)得出：
θ
θθ
δcos cos sin 2
01∆-∆=
d d 因此像光斑的光能质心位置公式(2-26)可以改写为
)tan()cos 2
1(cos sin '0
23
021αθθθ
θδδ-∆
+∆-
=d d R d 当αθ=时，即物面法线与接收物镜主光轴一致时，PSD 上像光斑的几何中心与光能质心重合。

当αθ≠时，像点弥散斑几何中心和光能质心将产生偏差。

下面计算该偏差。

假设工作距离为,1500
=s 系统宽度,30=d 接收物镜孔径5=R 。

-100
0100Δ(mm)δ(m m )
图几何中心和光能质心位置随工作距离变化的关系
由图可知，PSD 接收光斑的光能质心与实际肉眼所看到的几何中心相差无几。

故在此系统中可将光能质心等效看作成几何中心。

因此光能质心和系统参数的关系可以利用像点弥散斑与系统参数的结论。

随后对被测物面倾斜度对PSD 上光能质心的影响进行讨论： 通常情况下，入射光束垂直于被测物体表面，即0=α
像点位置(m m ) 工作距离(mm)
由公式可知：
θθθ
θδδtan )cos 2
1(cos sin '0
23
0210d d R d ∆
+∆-
= 若被测物面倾斜了α角，则光能质心的位置偏移量为：
)]tan()[tan cos 2
1(cos sin ''0
23
0210αθθθθ
θδδδ--∆
+∆=
-=∆d d R d -500-400-300-200
-100
0100
200300400500
-7
Δ(mm)Δδ(m m )
图光能质心偏移量随工作距离的变化关系
如图所示，物面倾斜角α在取不同角度时分别为︒︒︒︒-︒-10,5,0,10,5，光能质心偏移量与工作距离的关系，当︒=0α时，光能质心与像点弥散斑中心点重合，随着工作距离的增加，物面倾斜角越大，光能质心偏移量越大，PSD 上像点位置误差越大。

由此可得出结论：光能质心对应着PSD 上的探测位置信息，通过计算，本系统中光能质心与几何中心两者的位置基本重合，因此在测量过程中，若物面倾斜角为︒=0α时，PSD 上像点与物点的对应关系可以直接由几何光学关系得到，系统测量精度公式不用进行修正。

而当物面倾斜角存在时，虽然PSD 接收光功率不受影响，而光能质心发生了偏移，对PSD 和物面的物象位置关系有一定影响，在偏移量较大的情况下，随着工作距离的增大，偏移会逐渐增加并会对系统测量精度产生影响，后续实验中会开展物面倾斜角和PSD 像点位置关系的实验。

工作距离(mm)
质心偏移量(m m )
5．3像点弥散斑对系统探测能力的影响
由上一节的结论可知，当物面倾斜角为零度时，激光三角测距系统中的光能质心与几何中心两者在光电探测器接收面上的位置基本重合。

像点弥散斑的尺寸直接决定了光斑在光电探测器上的光能密度，弥散斑太大，范围超过了光电探测器的接收面，有可能导致光能太弱而不能被探测器所探测。

像点弥散斑的尺寸与系统参数的关系及像点几何中心在PSD面上的移动范围对系统探测能力的影响将在本节进行讨论。

物面位移的变化将导致像距的变化，而系统中接收物镜与PSD光敏面是平行的，不满足恒聚焦条件。

因此改进型垂直入射屏方式的PSD光敏面上就会产生弥散斑，这就影响了测量的精度。

为了保证系统测量的精度，需要找到弥散斑的中心。

在该系统中，激光作为光源，可以用高斯光束来描述它的性质。

在处理高斯光束时，认为其在光束截面的光强分布是对称的高斯分布。

激光经过接收物镜，到达PSD光敏面后，依然可以理解为高斯光束。

其光强分布为对称的高斯分布，在弥散斑的中心光强最强。

因此为简化光路，将高斯光束传递过程以几何光学方式描述。

如图
参考平面（对准平面）
'
图改进型系统光路图
假设物面上物光点为理想点光源。

在物方远心光路中，随着物平面偏离对准平面o的位置不同，像斑弥散斑大小会有改变。

首先讨论像点几何中心在PSD面上的移动范围，由系统结构图可知，垂直于入射光轴物面上的点都位于同一物高d。

计算物面偏离参考平面最近和最远距离时像光斑在像平面上的偏移量。

由几何关系，参考平面上光点在像平面上的相对于PSD 中心位置的偏移量为：
)
(222
21d s f s d s df s dd p +++==
最近处像点距离接收光路光轴中心的距离(像高)：
1
11'11
1∆-=∆-⋅=
s dd s d p p 最远处像点距离接收光路光轴中心(像高)：
2
22'21
1∆+=∆+⋅=
s dd s d p p 则，像点几何中心在PSD 上的移动范围是：
)
)(2)(1()21('2'12
2
2
2d s f s s d s df p p p ++∆+∆-+∆+∆=
-=∆
根据项目要求，物面移动范围在)2,1(m m ，则mm 50021=∆=∆
下面计算分析接收物镜焦距和系统宽度对像点在PSD 上移动范围的影响。

1．考虑系统宽度对像点在PSD 上移动范围的影响，在这里假设接收物镜焦距为f=20mm ，像点在PSD 上的移动范围与系统宽度的关系如图
10
12141618
202224262830
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
d(mm)
Δp (m m )
图PSD 上像点的移动范围与系统宽度的关系曲线
系统宽度(mm)
像点移
动范围(m m )
2．考虑接收物镜焦距对PSD 上的移动范围的影响，在这里假设系统宽度为d=30mm ，像点在PSD 上的移动范围与接收物镜焦距的关系如图
15
161718
19
202122232425
f(mm)
Δp (m m )
图PSD 上像点的移动范围与焦距的关系曲线
由以上两图可见，随着系统宽度增大，像点在PSD 上的移动范围增大；接收物镜焦距越长，像点在PSD 上的移动范围越大，动态范围较宽。

因此选择较长焦距的接收物镜和较宽的系统宽度，可以提高像点在PSD 上的移动范围，从而提高了系统测量精度。

当系统宽度为mm d 30=，接收物镜焦距为mm f 20=时，PSD 上像点几何中心的移动范围为mm p 3.0=∆，若PSD 分辨率为m d μδ3.0=，则物面从近端移动到远端，像点几何中心在PSD 上等效移动了大约1000个象元，在1m 的测量距离内可以分辨的尺寸为mm m 11000/1=的位移，因此可以满足系统测量精度。

其次讨论像点弥散斑的尺寸，其计算过程如下： 设物面偏离量为∆，则像平面横向偏离量为：
∆=∆2'βn
其中，n 为接收物镜折射率，β为接收物镜横向放大率。

由于像平面发生偏移，形成了像点弥散。

弥散斑直径'z 可用以下公式计算：
像点移动范围(m m )
焦距(mm)
∆=∆=
'
cos 2''cos 2'2
2ωβωβU
n U z 其中'ω为像方视场角，U 为物方孔径角。

2
2
)1(11cos '1cos d s s +∆+∆+=
=ωω
2
2
)2(22cos '2cos d
s s +∆-∆-==ωω
将s R U U =
=sin ，s
f f
n d d n +==1101β代入式得： )()1(]
)1[(12'2
221s f s s d s fR z +∆++∆+⋅∆⋅= )
()2(]
)2[(22'2
222s f s s d s fR z +∆-+∆-⋅∆⋅= 下面计算分析接收物镜焦距和系统宽度对像点像点弥散斑尺寸的影响。

当系统宽度为d=30mm 时，远近端弥散斑尺寸与焦距的关系如图
15
16171819
202122232425
0.045
f(mm)z (m m )
图PSD 上像点弥散斑直径与焦距的关系曲线
焦距(mm)
弥散斑
直径(m m )
当接收物镜焦距为f=20mm 时，远近端弥散斑尺寸与系统宽度的关系如图
10
12
14
16
18
202224
26
28
30
d(mm)z (m m )
图PSD 上像点弥散斑直径与系统宽度的关系曲线
由上述两图可以得出以下结论：
1．弥散斑的直径与系统宽度变化不大，当物面从近处移动到远处，弥散斑直径的变化量只有m μ02.0~01.0；
2．弥散斑的直径和接收物镜的孔径和接收物镜焦距均成正比；
3．弥散斑过大会导致光能质心出现偏移，光照度不均匀集中，影响测量精度；
为使弥散斑缩小，须减小接收物镜孔径或焦距，但是接收物镜孔径起到收集光线的作用，减小接收物镜孔径也就会减小PSD 的接收光功率，从而导致测量精度下降，而接收物镜焦距也会直接影响测量精度；而且在减小接收物镜焦距的同时，像点在PSD 光敏面上移动的范围也会缩短，根据上面的分析，也将影响系统的测量精度。

在本项目中，实际物点并不是理想点光斑，因此PSD 上弥散斑像点直径比理论计算的要大，因为半导体激光器的方向性比较差，而且两个方向的发散角不一样，物面上的散射光斑被焦距为mm f 20=的接收物镜聚焦时，通过焦面光斑直径的近似垂直放大倍率计算公式和式，可以计算得到像点弥散斑直径约为
弥散斑直径(m m )
系统宽度(mm)。