《高等代数》PPT课件
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Fn [x]中任意多项式f (x), g(x), h (x)及F中任意数a, b，有 1) f (x)+g(x)＝g(x)+f (x)；
2) [f (x)+g(x)]+h(x)＝f (x)+[g(x)+h(x)]；
3) 0+f (x)＝f (x), 0是Fn [x]中的零多项式；
4) 对任意f (x) Fn [x]，存在g(x),使f (x)+g(x)＝0；
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1ห้องสมุดไป่ตู้= .
二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
3) 0+X＝X，其中0是V2中的零向量； 4) 对任意XV2，存在Y，使X+Y＝0，其中Y是X的负向量； 5) a(X+Y)＝aX+aY；
例6 设V为正实数集，R为实数域，在V中 规定加法和数量乘法运算如下：
ˆ = （即与的积） kˆ = k （即的k次幂） 其中, V, kR. 对任意的 ， V , kR，有ˆ = V, ˆ = k V.
并且，对任意的 , , V，k,m R，有 1) ˆ = = = ˆ 2) ( ˆ) ˆ =()ˆ =() =( )= ˆ ( )= ˆ ( ˆ )
5) a·(f (x)+g(x))＝a ·f (x) +a·g(x)；
6) (a+b) ·f (x)＝a·f (x)+b·f(x)； 7) (ab) ·f (x)＝a·(b·f(x))； 8) 1·f (x) ＝f (x).
例4 设Mmn(F)是数域F上全体mn矩阵的集合，对任意的 A,BMmn(F) ，A+B Mmn(F), 对任意的k F，kA Mmn(F). 并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a，b，有
三、向量空间的例子
由例1、例2、例3、例4及向量空间的定 义知，复数域C作成实数域R上的向量空间； V2作成实数域R上的向量空间； Fn[x] 作成数 域F上的向量空间； Mmn (F)作成数域F上的 向量空间。
例5 令C [a, b]为闭区间[a, b]上所有实连 续函数的集合，R为实数域。则C [a, b]对函 数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数 域R上的向量空间.
1) a+b＝b+a； 2) (a+b)+c＝a+(b+c)；
3) 0+a＝a；
4) 对任意aC ，存在bC ，使a+b＝0； 5) k(a+b)＝ka+kb； 6) (k+l)a＝ka+la； 7) (kl)a＝k(la)； 8) 1a＝a. 这里a，b，c是任意复数，k，l是任意实数。
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
a ˆ .
3 上述加法和数量乘法满足下列运算规律：
1) ˆ= ˆ ； 2) ( ˆ) ˆ ＝ ˆ( ˆ) ； 3) 在V中存在一个元素0，使得对于任意V，都有 0 ˆ = ,（具有这个性质的元素0称为V的零元素）; 4) 对于V中的每一个元素，存在V中的元素，使得 ˆ ＝0,（具有这个性质的元素叫做的负元素）; 5) a ˆ( ˆ ) = a ˆ ˆa ˆ ； 6) (a+b)ˆ =aˆ ˆbˆ ； 7) (ab) ˆ =a ˆ(b ˆ) ； 8) 1ˆ = . 这里，，是V中的任意元素，a，b是F中的任意数.
3) Iˆ =1 = ，1是V中的零向量；
4) 对任意的 V，存在 -1 V，使得 ˆ -1 = -1 =1， -1是的负向量.
把F中的元素用a，b，c，…来表示. 如果下列条件 被满足，就称V是F上的一个向量空间：
1 V有一种加法运算. 即对V中任意两个元素和 ，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为 与的和，记为 ˆ .
2 有一个F中元素与V中元素的乘法运算. 即对于
F中的任意数a和V中的任意元素，在V中有一个唯 一确定的元素与之对应，称为a和的数量积，记为
6) (a+b)X＝aX+bX；
7) (ab)X＝a(bX)；
8) 1X＝X.
例3 设Fn [x]是次数不超过n的系数在F中的多项式连同 零多项式组成的集合. 对任意两个多项式f(x), g(x)Fn [x] ， f(x)+g(x)Fn [x]. 又对F中的任意数k, kf(x)Fn [x]. 并且，对
高等代数课件
第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
§5.1 向量空间的定义
一、向量空间概念的引入 二、向量空间的定义 三、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质
一、向量空间概念的引入
例1 设C是复数集合，R是实数域，对C中任意两个数a和 b，有a+bC, 对任意的kR ，kaC. 并且复数集合C对数的加 法和乘法运算, 满足下面的运算律：
1) A+B=B+A ； 2)(A+B)+C=A+(B+C) ； 3) 0+A=A ； 4) 对任意的A Mmn(F)，存在B，使得A+B=0 ； 5) a(A+B)=aA+aB ； 6) (a+b)A=aA+bA ； 7) (ab)A=a(bA) ；
8) 1A=A .
上面例子中涉及的数学对象不同，但它们有共同点， 即都有一个非空集合，一个数域，有两种运算，并且这两
种运算满足8条运算律。
例 1：
C, R a+b，ka
例 2 ： V2 ， R X+Y ，kX
例 3： Fn[x] ，F f(x)+g(x) , kf(x)
例 4： Mmn(F), F A+B，kA
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1) += + ； 2) ( +)+ ＝ + (+ )
2) [f (x)+g(x)]+h(x)＝f (x)+[g(x)+h(x)]；
3) 0+f (x)＝f (x), 0是Fn [x]中的零多项式；
4) 对任意f (x) Fn [x]，存在g(x),使f (x)+g(x)＝0；
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1ห้องสมุดไป่ตู้= .
二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
3) 0+X＝X，其中0是V2中的零向量； 4) 对任意XV2，存在Y，使X+Y＝0，其中Y是X的负向量； 5) a(X+Y)＝aX+aY；
例6 设V为正实数集，R为实数域，在V中 规定加法和数量乘法运算如下：
ˆ = （即与的积） kˆ = k （即的k次幂） 其中, V, kR. 对任意的 ， V , kR，有ˆ = V, ˆ = k V.
并且，对任意的 , , V，k,m R，有 1) ˆ = = = ˆ 2) ( ˆ) ˆ =()ˆ =() =( )= ˆ ( )= ˆ ( ˆ )
5) a·(f (x)+g(x))＝a ·f (x) +a·g(x)；
6) (a+b) ·f (x)＝a·f (x)+b·f(x)； 7) (ab) ·f (x)＝a·(b·f(x))； 8) 1·f (x) ＝f (x).
例4 设Mmn(F)是数域F上全体mn矩阵的集合，对任意的 A,BMmn(F) ，A+B Mmn(F), 对任意的k F，kA Mmn(F). 并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a，b，有
三、向量空间的例子
由例1、例2、例3、例4及向量空间的定 义知，复数域C作成实数域R上的向量空间； V2作成实数域R上的向量空间； Fn[x] 作成数 域F上的向量空间； Mmn (F)作成数域F上的 向量空间。
例5 令C [a, b]为闭区间[a, b]上所有实连 续函数的集合，R为实数域。则C [a, b]对函 数的加法和实数与函数的乘法运算作成实数 域R上的向量空间.
1) a+b＝b+a； 2) (a+b)+c＝a+(b+c)；
3) 0+a＝a；
4) 对任意aC ，存在bC ，使a+b＝0； 5) k(a+b)＝ka+kb； 6) (k+l)a＝ka+la； 7) (kl)a＝k(la)； 8) 1a＝a. 这里a，b，c是任意复数，k，l是任意实数。
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
a ˆ .
3 上述加法和数量乘法满足下列运算规律：
1) ˆ= ˆ ； 2) ( ˆ) ˆ ＝ ˆ( ˆ) ； 3) 在V中存在一个元素0，使得对于任意V，都有 0 ˆ = ,（具有这个性质的元素0称为V的零元素）; 4) 对于V中的每一个元素，存在V中的元素，使得 ˆ ＝0,（具有这个性质的元素叫做的负元素）; 5) a ˆ( ˆ ) = a ˆ ˆa ˆ ； 6) (a+b)ˆ =aˆ ˆbˆ ； 7) (ab) ˆ =a ˆ(b ˆ) ； 8) 1ˆ = . 这里，，是V中的任意元素，a，b是F中的任意数.
3) Iˆ =1 = ，1是V中的零向量；
4) 对任意的 V，存在 -1 V，使得 ˆ -1 = -1 =1， -1是的负向量.
把F中的元素用a，b，c，…来表示. 如果下列条件 被满足，就称V是F上的一个向量空间：
1 V有一种加法运算. 即对V中任意两个元素和 ，在V中有一个唯一确定的元素与之对应，称为 与的和，记为 ˆ .
2 有一个F中元素与V中元素的乘法运算. 即对于
F中的任意数a和V中的任意元素，在V中有一个唯 一确定的元素与之对应，称为a和的数量积，记为
6) (a+b)X＝aX+bX；
7) (ab)X＝a(bX)；
8) 1X＝X.
例3 设Fn [x]是次数不超过n的系数在F中的多项式连同 零多项式组成的集合. 对任意两个多项式f(x), g(x)Fn [x] ， f(x)+g(x)Fn [x]. 又对F中的任意数k, kf(x)Fn [x]. 并且，对
高等代数课件
第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
§5.1 向量空间的定义
一、向量空间概念的引入 二、向量空间的定义 三、向量空间的例子 四、向量空间的基本性质
一、向量空间概念的引入
例1 设C是复数集合，R是实数域，对C中任意两个数a和 b，有a+bC, 对任意的kR ，kaC. 并且复数集合C对数的加 法和乘法运算, 满足下面的运算律：
1) A+B=B+A ； 2)(A+B)+C=A+(B+C) ； 3) 0+A=A ； 4) 对任意的A Mmn(F)，存在B，使得A+B=0 ； 5) a(A+B)=aA+aB ； 6) (a+b)A=aA+bA ； 7) (ab)A=a(bA) ；
8) 1A=A .
上面例子中涉及的数学对象不同，但它们有共同点， 即都有一个非空集合，一个数域，有两种运算，并且这两
种运算满足8条运算律。
例 1：
C, R a+b，ka
例 2 ： V2 ， R X+Y ，kX
例 3： Fn[x] ，F f(x)+g(x) , kf(x)
例 4： Mmn(F), F A+B，kA
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1) += + ； 2) ( +)+ ＝ + (+ )