算法设计与分析习题与实验题(12.18)

《算法设计与分析》习题

第一章引论

习题1-1 写一个通用方法用于判定给定数组是否已排好序。

解答：

Algorithm compare(a,n)

Begin

J=1;

While (j

If j=n then return true

Else

While (j=a[j+1]) do j=j+1;

If j=n then return true else return false end if

End if

end

习题1-2 写一个算法交换两个变量的值不使用第三个变量。

解答：x=x+y; y=x-y; x=x-y;

习题1-3 已知m,n为自然数，其上限为k（由键盘输入，1<=k<=109）,找出满足条件(n2-mn-m2)2=1 且使n2+m2达到最大的m、n。

解答：

m:=k; flag:=0;

repeat

n:=m;

repeat

l:=n*n-m*n-m*n;

if (l*l=1) then flag:=1 else n:=n-1;

until (flag=1) or (n=0)

if n=0 then m:=m-1

until (flag=1) or (m=0);

第二章基础知识

习题2-1 求下列函数的渐进表达式：

3n 2+10n ; n 2/10+2n ; 21+1/n ; log n 3; 10 log3n 。

解答： 3n 2+10n=O （n 2）， n 2/10+2n =O （2n ）， 21+1/n=O （1）， log n 3=O （log n ），10 log3n =O （n ）。

习题2-2 说明O (1)和 O (2)的区别。

习题2-3 照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：!n ，

3/22,2,20,3,log ,4n n n n n 。

解答：照渐进阶从低到高的顺序为：!n 、 3n

、 2

4n 、23

n 、20n 、log n 、2

习题2-4

（1） 假设某算法在输入规模为n 时的计算时间为n n T 23)(⨯=。在某台计算机

上实现并完成该算法的时间为t 秒。现有另外一台计算机，其运行速度为第一台计算机的64倍，那么在这台新机器上用同一算法在t 秒内能解输入规模为多大的问题？

（2） 若上述算法的计算时间改进为2)(n n T =，其余条件不变，则在新机器上用

t 秒时间能解输入规模多大的问题？

（3） 若上述算法的计算时间进一步改进为8)(=n T ,其余条件不变，那么在新机

器上用t 秒时间能解输入规模多大的问题？

解答：

（1） 设新机器用同一算法在t 秒内能解输入规模为1n 的问题。因此有

64/23231n n t ⨯=⨯=，解得61+=n n 。

（2） n n n n 8641221==>=。

（3） 由于=)(n T 常数，因此算法可解任意规模的问题。

习题2-5 XYZ 公司宣称他们最新研制的微处理器运行速度为其竞争对手ABC 公司同类产品的100倍。对于计算复杂性分别为n ，2n ，3n 和!n 的各算法，若用ABC 公司的计算机能在1小时内能解输入规模为n 的问题，那么用XYZ 公司的计算机在1小时内分别能解输入规模为多大的问题？

解答：

n n 100='。

n n n n 1010022='=>='。

n n n n 64.41001003

33==>='。

64.6100log !100!+=+<'=>='n n n n n 。

习题2-6对于下列各组函数)(n f 和)(n g ，确定))(()(n g O n f =或

))(()(n g n f Ω=或))(()(n g n f θ=，并简述理由。

（1）5log )(;log )(2+==n n g n n f 。 （2）n n g n n f ==)(;log )(2。 （3）n n g n n f 2log )(;)(==。 （4）n n g n n n n f log )(;log )(=+=。 （5）10log )(;10)(==n g n f 。 （6）n n g n n f log )(;log )(2==。 （7）2100)(;2)(n n g n f n ==。 （8）n n n g n f 3)(;2)(==。

解答：

（1）)5(log log 2

+=n n θ。

（2）)(log 2

n O n =。

（3）)(log 2

n n Ω=。 （4）)(log log n n n n Ω=+。 （5）)10(log 10θ=。 （6）)(log log 2

n n Ω=。 （7）)100(22

n n

Ω=。

（8）)3(2n

n O =。

习题2-7 证明：如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性为))((n f θ，则该算法在最坏情况下所需的计算时间为))((n f Ω。

证明：

)

(),()(),()

,(max )(),()()(max **N T I N T I P I N T I N T I P I N T I P N T N

N

N N

D I D I D I D I avg ==='≤

=

∑∑∑∈∈∈'∈

因此，))(()))((())(()(max n f n f N T N T avg Ω=Ω=Ω=θ。

习题2-7 求解下列递归方程: s 0=0

s n =2s n -1+2n -1 解答：

步骤: 1应用零化子化为齐次方程，

2解此齐次方程的特征方程， 3由特征根构造一般解，

4再由初始条件确定待定系数，得到解为：

习题2-8 求解下列递归方程:

01122844n

n n h h h h h

--=⎧⎪

=⎨

⎪=-⎩ 解 h n =2n +1(n +1)

第三章 递归与分治策略

习题3-1 下面的7个算法都是解决二分搜索问题的算法。请判断这7个算法的正确性。如果算法不正确，请说明产生错误的原因。如果算法正确，请给出算

(1)21

n n s n =-+