第二型曲线积分

0
1
® 此积分沿两条不同路径的积分值相同。
例4 计算沿有向闭路 ABCDA的线积分： y 2 2 ( x 2 xy ) dx ( y 2 xy )dy C 1
ABCDA
B
1
方向如图。
解
1
2
O
x
ABCDA
(x
2 xy )dx ( y 2 xy )dy D
2
1
A
一、第二型曲线积分 1. 物理背景与概念
典型问题——“力场沿曲线 C 的作功问题”.
设场力(向量值函数)：
F ( x, y, z ) { P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )} 3 ( x , y, z ) (曲线)C R
求场力 F ( x, y, z )沿曲线 C从 A到B所作的功。 An B 分四步解： 细分 sk Ak 1 Ak Ak 1 Ak
1 CD
x 1, dx 0
1 2
1 DA
y 1, dy 0
x
( y 2 y )dy
1
1
2 ( x 2 x )dx 1
D
1
A
( y 2 y )dy
2 1
1
® 此例环路积分为零,但各分段路径的积分
不为零。
1
2 ( x 2 x )dx
(a cos t a sin t )( a sin t ) (a cos t a sin t )(a cos t ) dt 2 a
2 2 2
2


0
(sin t cos t )dt
0
2
0
dt 2
®
二型曲线积分不仅与始、终点有关, 还与
积分路径有关. 当始、终点一样时, 沿不同
1
0
( x y )dx ( x y )dy 例5 计算 I 其中 C 为 2 2 x y C
圆周: x 2 y 2 a 2 方向沿逆时针(正向).
解 C : x a cos t , y a sin t , (0 t 2 ).
( x y )dx ( x y )dy I 2 2 x y C
C1
A ds
C2
A
M
C1
A ds
B
N
3. 第二型曲线积分的计算法
第二型曲线积分的基本计算法也是通过
转化为定积分进行计算的。
设曲线 C ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ给定方向，其参数方程为
C : r r ( t ) x ( t ) i y( t ) j z ( t ) k
参数 t ： (对应始点) (对应终点) . 则二型线积分有计算式
L
其中L为椭圆： x 2 y 2 1, x z 1 , 方向是：
站在 x 轴正向看为逆时针方向。 解1(基本算法) 椭圆L的参数方程为： x cos t (0 t 2 ) L : y sin t x z 1 cos t
L
z
L
o
y
( y z )dx ( z x )dy ( x y )dz { y z , z x , x y} ds A e ds L
P ( M k )xk Q( M k )yk R( M k )zk
求和 (得总功近似值)
W W k F ( M k ) s k
k 1 n
n
k 1
取极限令 d 0 (得总功精确值)
W lim F ( M k ) sk
d 0 k 1 n
I
0
BO
xydx ( y x )dy

x 0dx 0 0
2
例3 计算 I
AB
( x y )dx ( x y )dy 其中L为
B
1 0.8 0.6 0.4
(1)从 A(1,0)沿上半单位圆至 B( 0,1); (2)从 A(1,0)沿 折线 AOB 到 B( 0,1).
R 中
2
C C
C
C
C
C
C
C
C
都是第二型曲线积分。
2. 第二型曲线积分性质


AB
A ds

BA
A ds
A
设 A, B, P 为曲线 C 上任意三点，则
AB
A ds
AP
A ds
PB
对于二型环路积分
A ds P
B

C
C
A ds
C2
2 2


C
(1) C 为折线段 y 1 1 x , (0 x 2),
方向从 B(2, 0) A(1, 1) O(0, 0)；
(2) 沿 x 轴由 B( 2, 0) O(0, 0).
解 (1) 对折线:
y 1 1 x , ( 0 x 2)
y
A(1,1)

R[ x( t ), y( t ), z( t )] z( t )dt


®
计算式中可能只出现一、二项，但仍是 二型线积分，不是定积分；
对应始终点的上下限, 并非一定是 ； 曲线 C 若给其它形式的方程，只要全力
找出它的等价参数方程，问题即可迎刃 而解。
例1 计算 I C yzdx xzdy 2 z dz 其中 C
A B
F

ds
二型线积分概念的一般表示
P ( x , y , z )dx Q( x , y , z )dy R( x , y , z )dz
C
A ds lim C (定向)
d 0 k 1
n
A ( M k ) s k
® 有向线段 C分段光滑并可求长，A(M ) 在 C
因此两型线积分有以下关系：
二型

C

Pdx Qdy Rdz A ds A e ds
( P cos Q cos R cos )ds
C
C
C
一型
例6 计算
( y z )dx ( z x )dy ( x y)dz ,
Ak
An1
{ x k x k 1 , y k y k 1 , z k z k 1 }
{xk , yk , zk }
A
F (Mk )
k 1
记
d max { sk }
1 k n
A1
A A0
近似代替
Wk F ( M k ) sk
L
A r ( t ) dt

L 2
2
0
( y z ) xt ( z x ) yt ( x y)zt dt
(cos t sin t ) (sin t )]dt
[(sin t 1 cos t ) ( sin t ) (1 cos t cos t ) cos t
上有定义； 第二型曲线积分是对坐标的线积分； 被积表达式是两向量的点积， A(M )可以有
一个或两个分量为零，如
R
3
A ds P( x, y)dx Q( x, y)dy 或 P ( x , y )dx ， Q( x , y )dy 中 A ds P ( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz 或 P ( x , y, z )dx Q( x , y, z )dy ， P ( x, y, z )dx , R( x, y, z )dz
x cos y sin
x 0 y y
解(1)
I
2
0
沿AB弧
0.2 0.4 0.6 0.8

( x y )dx ( x y )dy
0.2
x x, y 0
A
1
[(cos sin )( sin ) (cos sin )(cos )]d
ds e ds ,
dS e n dS
被积函数：第一型积分为数量值函数的积分
z f ( x, y ), 或 u f ( x, y, z ),
第二型为向量值函数(不排除有的分量为零)：
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k

1 (cos 2 sin 2 )d cos 2 2 0
2
/2
0
1
解(2) I

沿折线AOB

( x y )dx ( x y )dy
AO
( x 0)dx ( x 0)dy (0 y )dx (0 y )dy
OB
xdx ydy 1 1 0
BA
2
1
y
A(1,1)
y 2 x
y 0, dy 0
[ x x ( x x )]dx
1
1 AO
0
yx
O
x
B( 2,0)
( x 4 x 2)dx x dx 2
2
2
0
1
2
1
(2) 沿 x 轴由 B( 2, 0) O(0, 0).
y 2 x
y 0, dy 0
应该分段考虑，
xx x : 从 2 1, BA : y 2 x
O
yx
1
x
B( 2,0)
x x AO : y x
x : 从 1 0,
于是，
I
BAO
xydx ( y x )dy
[ x( 2 x ) ( 2 x x )( 1)]dx
r ( t ) 其方向余弦 e {cos , cos , cos } || r ( t ) ||
则因
|| ds || dx dy dz ds,
2 2 2
r ( t ) r ( t ) ds e ds ds || r ( t ) || dt r ( t )dt || r ( t ) || || r ( t ) ||

AB BC CD DA
(x
2
2 xy )dx ( y 2 xy )dy
2

1
1 AB

1
( y 2 1 y )dy ( x 2 2 x 1)dx
2
1
x 1, dx 0
1
1 BC
y
1
y 1, dy 0
C
1
O
B
1
[ y 2 2 ( 1) y )]dy [ x 2 2 x ( 1)]dx
沿不同路径的线积分值有的相同(例3), 有
的不同(例2)。
二型环路(闭路)上的线积分有时为零(例4),
有时不为零。—— 有什么规律吗？
4.两类线积分的联系
设曲线C：r r (t ) { x(t ), y(t ), z(t )}, t [t A , t B ]
其上点点切向量： r (t ) { x(t ), y(t ), z(t )}

C定向

A ds C P ( x, y, z )dx Q( x, y, z )dy R( x, y, z )dz

P[ x( t ), y( t ), z( t )] x( t )dt
Q[ x( t ), y( t ), z( t )] y( t )dt
第二型曲线积分
The Line Integrals
with Respect to Coordinate Variables
第二型曲线积分与曲面积分
®
两型线面积分的三点根本差异：
不同，二型线面积分涉及场论；
作为用积分来研究的整体量的物理背景 第一型线面积分的 ds、 dS不考虑方向， 并总取非负值； 第二型线面积分则不同， 曲线要定向, 曲面要定侧, 且微元是向量
2
为螺旋线 x a cos t , y a sin t , z kt
上对应 t 0 至 t 的有向弧段。
解
I yzdx xzdy 2 z dz
2

C
a sin t kt ( a sin t )dt
0
a cos t kt (a cos t )dt 0 2 k t k dt 0 2 3 3 2 2 3 2 ( a k t 2k t )d t a k k 0 3 例2 计算 I xydx ( y x )dy 其中