工程力学 第9章 应力状态分析 习题及解析

习题9-1图 x

15-'x x'

σy'x'τ 1.25MPa

15 (b-1)

15a 4MP

15-y'x'τx'x'σa

1.6MP x (a-1) 习题9-2图

30

2MPa 0.5MPa

-60

x'

σ'x ''y x τ 工程力学（工程静力学与材料力学）习题与解答

第9章 应力状态分析

9－1 木制构件中的微元受力如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂方向的夹角。试求： 1．面内平行于木纹方向的切应力；

2．垂直于木纹方向的正应力。

知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析 难度：易 解答：

（a ）平行于木纹方向切应力

6.0))15(2cos(0))15(2sin(2

)

6.1(4=︒-⨯⋅+︒-⨯---=

''y x τMPa 垂直于木纹方向正应力

84.30))15(2cos(2

)

6.1(42)6.1(4-=+︒-⨯---+-+-=

'x σMPa （b ）切应力

08.1))15(2cos(25.1-=︒-⨯-=''y x τMPa

正应力

625.0))15(2sin()25.1(-=︒-⨯--='x σMPa

9－2 层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。若已知胶层切应力不得超过1MPa 。试分析是否满足这一要求。

知识点：平面应力状态、任意方向面上的应力分析 难度：易 解答：

55.1))60(2cos(5.0))60(2sin(2

)

1(2-=︒-⨯⋅+︒-⨯---=

''y x τMPa 1MPa 55.1||>=''y x τMPa ，不满足。

9－3 结构中某点处的应力状态为两种应力状态的叠加结果。试求叠加后所得应力状态的主应力、面内最大切应力和该点处的最大切应力。

知识点：平面应力状态分析 难度：难 解答：

习题9-2图

y

σx

σxy

τ=

y

σx

σxy

τx

=

y

σx

σxy

τ=

左微元⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧-='-='-=-='+=--+='000000022cos 122sin )2sin(222cos 10)2cos(22σθ

σσσσθθστσθ

θσσσx y xy x 叠加 ⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

-=+'=-=+=+=+'=''000022cos 1022sin 02

2cos 3σθ

σσσθττσθσσσy y y x xy x x

0)cos 1()cos 1( )2

2sin (4)22cos 122cos 3(21222cos 122cos 330

020202021=⎩⎨⎧-+=-+--+±-++=

⎭⎬⎫σσθσθσθσθθσθ

θσσ 面内最大切应力：θσσστcos 2

02

1max

=-='

该点最大切应力：031max

2

cos 12σθσστ+=-=

左微元0023))30(2sin()(ττσ=

︒-⨯-='x ，02

3

0τσσ-='-='x y ，2))30(2cos(00τττ=︒-⨯='xy 右微元0023)302sin()(ττσ=︒⨯-=''x

，0

2

3

0τσσ-=''-=''x y ，2))30(2cos()(00τττ-=︒⨯-=''xy 叠加 03τσσσ='+'=y x x ，03τσσσ-=''+'=y y y ，0=''+'=xy

xy xy τττ 013τσ=，02=σ，033τσ-= 面内03

1max

32

||τσστ=-='

x

A

B

O

σO

σαα

(a)

习题9-4图

A

60C

B

60100

-x σx

σyx

τxy

τ92MPa

(a)

习题9-5图

该点03

1max 32

||τσστ=-=

叠加[]⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡︒-⨯--+==--+==⎥⎦⎤

⎢

⎣⎡︒-⨯--+-++=MPa 30))45(2sin(2)30(5070MPa 1010)3050(0MPa 90))45(2cos(2)30(502)30(5080xy y x σσσ

主应力0

MPa 0MPa

100304)]100(90[212109022231=⎩⎨⎧=⨯+-±+=

⎭⎬⎫σσσ

面内及该点：502

1002

||||3

1max max

=-=

-=='σσττMPa

9－4 已知平面应力状态的最大正应力发生在与外力作用的自由表面AB 相垂直的面上，其值为0σ。试求应力分量x σ、y σ和xy τ。

知识点：微元的截取与微元平衡 难度：一般 解答：

ασα

σσσ200

cos 2

2cos 10))2(2cos(2

2=+=

+-⨯+

=

x ασσα

σσσ2000sin 2

2cos 1=-=-=x y ασαστ2sin 2

))(2sin(2

-

=-⨯=

xy

9－5 从构件中取出的微元受力如图所示，其中AC 为自由表面（无外力作用）。试求x σ和xy τ。

知识点：微元平衡方法的应用 难度：一般 解答：

)602cos(2

)

100(02

100

100︒⨯⋅--+

-=

-x x σσ

α