图像重建方法的理论体系

图像重建方法的理论体系
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代数重建法迭代法联合迭代重建法基于统计学的优化方法图像重建方法直接傅里叶重建法二维变换傅里叶切片定理解析法滤波反投影法平行束投影重建扇束投影重建锥束投影重建三维变换
迭代法：迭代重建中首先假设断层截面是由一个未知的数字矩阵组成的，然后由测量投影数据建立一组未知向量的代数方程式，通过方程组求解图像向量。

迭代重建算法由于计算代价大、普适性较差，仅在少数场合应用。

统计迭代重建算法：统计迭代重建质量被普遍认为要优于 FBP 算法，但其仍未得到推广，一个原因是由于统计迭代自身仍然存在不足，主要是重建时间较长和适应性较差。

傅里叶重建算法：傅里叶重建算法仅具备理论意义未在实际中应用。

滤波反投影算法（FBP 算法）：FBP 算法在绝大部分情况下重建质量好且运算量小，几乎被所有的 X 射线 CT 系统所采用。

在过去的几十年中，CT 扫描系统发生了一次又一次的大变革，然而采用的重建算法本质上没有太多变化，基本上都是二维 FBP 算法的改进和推广，FBP 算法是 CT 重建的金标准。

FBP 算法的缺陷：FBP 算法在 CT 领域占有举足轻重的地位，但自身一直存在很多缺陷。

1) 需要在均匀且密集的角度下获取大量投影数据才能达到良好的重建效果，通常在2π 扫描中需要采集 1000 个以上角度下的投影，投影角度偏少会导致明显的条状伪影。

这导致了 CT 扫描需要的时间很长，带来了剂量大以及运动伪影等相关问题。

2) 对投影数据集要求非常高，投影数据集必须精确且连续。

探测器故障、长物体扫描或者被检测物体的运动等很多因素都可能导致数据损坏，金属物体会导致投影数据不连续，从而引起各种伪影。

3) 它对噪声较为敏感，因此需要高剂量才能保证信号的高信噪比。

二维Radon 变换：Radon 变换是一种直线积分的投影变换。

其定义如图1所示，直线l 是 o -xy 平面内任意一条直线，ρ 是原点到直线l 的距离，则二维 Radon 变换为
其中 ( x ,y)是像素点的直角坐标， ( r ,θ)是像素点 ( x ,y)的极坐标，β表示旋转角，δ(x)
为
采样函数, f ( x,y)或()ˆ,f
r θ表示图像中像素点 ( x ,y)(或 ( r ,θ))的灰度值(对应于断面内点 ( x ,y)处的密度)。

图1 二维Radon 变换
二维 Radon 逆变换：
其中x=rcos θ，y=rsin θ，r =，ρ=xcos β+ysin β。

如果知道物体内某点( x ,y)所有方向的投影 p( ρ,β)，可用二维 Radon 逆变换公式重建出函数f(x,y)，这正是 CT 重建的理论基础。

傅里叶切片定理：图像 f ( x,y)在视角为β时投影()()=p r p x βρβ，的一维 Fourier 变换，给出 f ( x,y)的二维 Fourier 变换 F (u ,v)的一个切片。

切片与 u 轴相交成β角，且通过坐标原点。

定理指出：密度函数 f ( x,y)在某一个方向上的投影函数()p r x β的一维傅立叶变换函数()p w β是原密度函数 f ( x,y)的二维傅立叶变换函数 F (ω ,β) （其中 u = ω cos β,v=ωsin β）在 (ω ,β)平面上沿同一方向且过原点的直线上的值(切片)。

图 1 给出了该定理的一个示意图。

图2傅里叶切片定理示意图。