几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
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n
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
故当 |A|0时，A可逆，且
A1 1 A* | A|
定理：
An可 逆 | A | 0, 且A1
1 A* | A|
推论：An , Bn , AB E,则BA E,即A, B均可逆 ，且A, B互为逆 矩阵。
例：运用伴随矩阵求下列A的逆矩阵
1 2 3 A 2 2 1
3 4 3
An1 b1 An2 b2 Ann bn
b1
1
xj
| A|
A1 j
A2 j
Anj
b2
bn
1 | A|
bk Akj
Dj D
( j 1,2,...,n)
其中D=|A|, Dj是b代替|A|中第j列所得的行列式
定理（Cramer)
当D | A | 0时，线性方程组Ax b存在唯一解， x j Dj / D ( j 1,2,..,n)
M
1
j
为a1
的
j
余
子
式
（
划
去
第
一
行，
第j列
）
A1
j
为a1
的
j
代
数
余
子
式
注：Dn共有n!项（递归）正负号各占一半，每一个是不同 行、列的n个元素之积。
例：
1 4 2
设
A 3
5
1
,
求
a11
,
a21的
余
子
式
、
代
数
余
子
式,
2 1 6
和| A|
例： 求 行 列 式
0 0 0 a1 0 0 0 a2 0 0
n
| A | ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik , (i 1,2,, n) k 1 称为按第i行展开
n
或 | A | a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj , ( j 1,2,, n) k 1
称为按第j列展开
ai1 bi1 ain bin ai1 ain bi1 bin
***
*** ***
性质4： 两行互换，行列式相反
性质5：两行对应元素相等，则D=0 推论：两行对应元素成比例，则D=0
性质6：
*
*
*
*** ***
ai1 ka j1 ain ka jn ai1 ain k a j1 a jn
n阶矩阵的行列式运算性质
性质： A, B为 两 个n阶 矩 阵 ， 则 (1) AT A; (2) kA k n A (3) | AB || A || B |
第三节 逆矩阵
引： 数 ：a 1 1 1 a
a
a
矩 阵 ：A A1 E A1 A
一、逆矩阵的概念和性质
定义: 对An，如果存在Bn，使得AB BA E,则称A是 可逆矩阵。B为A的逆矩阵，记作A1,即A1 B
0 3 0
20 00 00
0
0 4
A1 0
0 A2
第四节 克拉默（Cramer）法则
线性方程组简写 Ax b. 先假设A是n阶方阵，且| A | 0，
由Ax b两 边 左 乘A1可 得x A1b,即
x1
A11
x2
xn
|
1 A
|
A12
A1n
A21 A22
A2n
an1 0 0 0 0 0
00 0 an
例：
求 下 三 角 矩 阵的 行 列 式
a11
A
a21
0
a22
0 0
an1 an2 ann
三、拉普拉斯展开定理：
n阶 矩 阵 的A行 列 式 它 的 任 一 行 （ 列 ） 的 各元 素 与 其 对 应 的 代 数 余 子 式 乘积 之 和 ， 即
An1 An2
A2n Ann
伴随矩阵的元素是矩阵A的代数余子式
伴随矩阵的性质：
对n阶方阵A, AA* A* A | A | E
例：运用伴随矩阵求下列A的逆矩阵
A
1 3
14
三、方阵可逆的充要条件
由于： 于是有：
AA* | A | E
A* A | A | E
A ( 1 A* ) ( 1 A* ) A E
例：求解下列线性方程组
x1 2 x2 x3 3 3 x1 x2 3 x3 1 2 x1 3 x2 x3 4
A~
(
Ab)
1 3
2 1
1 3
3 1
2 3 1 4
初等变换后：
1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 4
定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
上述定理可保证，经过一系列的初等变换，可将
*
*
*
*** ***
| A | 0 | A |
n阶行列式的计算
关键: （1）试图化为上（下）三角行列式； （2）一行（列）只有一个不为0。
例：
x aa
a xa Dn
a ax
例：范得蒙 (Vandermonde）行列式
1 11
Dn
a1
a2 an
a n1 1
a n1 2
a n1 n
定义 （三阶行列式）
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
A1
0
0
0 A21
0
0
0
As1
（2）高阶矩阵的逆可化为低阶来算
设Ann , Bmm , Cmn , 则 ：
（a）
D
A 0
0 B
D1
A1 0
0 B 1
（b）
D
0 B
A0
D1
0 A1
B 1 0
（c）
A 0 D Cmn B
D1
A1 B 1CA1
0 B1
例：
0 0 1 0
A
定理： A可逆|A|0, r(A)=n
问题:如何计算A的秩？？？
二、秩的计算
1）定义法 例：运用定义法
求下列矩阵的秩
A
2 1
23 ,
B
2 1
4 2
,
C
a c
b d
2）矩阵的初等变换
目标：阶梯形矩阵的秩=其非零行数 定义（矩阵的初等变换）
行（3 种） 列（3种） 依据 ： 初等变换不改变矩阵的秩。
4）有无穷多解的充要条件 r( A) r( A~) n
推论： n个方程的n元线性方程组有唯一解的 充要条件是A 0
n元 齐次 线性 方程 组Ax 0
1）有非零解的充要条件 r( A) n 2）只有零解的充要条件 r( A) n
例：讨论λ为何值时，方程组有唯一解？无解？
A1 1 A* | A|
计算量太大！
已知A可逆，则A经过一系列初等变换可得E
定理：A可逆，则A可写成有限个初等矩阵的乘积。
初等变换求矩阵的逆的方法：
( A E ) 行变换( E A1 )
A E
列变换
E A1
例：运用初等变换方法求下列A的逆矩阵
A
1 3
14
例：运用初等变换方法求下列A的逆矩阵
证明：略
例： 求 00010 00200
D 0 3 8 0 0 49070 60005
第二节、行列式的性质和计算 一、行列式的主要性质
性质1：行列式的行与列（按原顺序）互换，其值不变。 即：|AT|=|A|
证明：运用数学归纳法和拉普拉斯展开定理
注：在此结论下，下述的性质只需将“行”改为“列”均成立
（1）
i ↑
1
k(i)
Ei
(k
)
k
→i
1
（2）
(i) ( j)
iˆ ˆj
ij
1 0
1
i
Eij
1
0
j
1
1
（3）
( j) k(i)
iˆ kˆj
i
j
1
1
Eij
(k
)
k
1
i
j
1
初等矩阵的性质：（左行右列）
（1） Ei (k ) A _____ A的第i行乘k
Eij A
_____ A的第i行和第j行互换
Eij (k ) A _____
AEi (k) AEij
AEij (k)
_____ _____ _____
A的第i行乘k加到第j行 A的第i列乘k A的第i列和第j列互换 A的第j列乘k加到第i列
（2）初等矩阵都是可逆的，而且其逆矩阵是同类型的初等矩阵
用初等变换求逆矩阵
第三章 行列式与矩阵
第一节 行列式 一、二阶和三阶行列式
由求解
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
定义 （二阶行列式）
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
由求解
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
例：证明 A为n阶方阵，当| A | 0时,| A* || A |n1
四、抽象矩阵的逆矩阵的计算
例： 设An满足A2 A 2E 0, 证明A和A 2E都可逆，并求其逆。
五、分块矩阵的求逆 (1)分块对角
| A | 0 | Ai | 0
A1
A
0
0
A2
0 0
0 0 As
A11
例：Gramer法则求解下面方程组 2x1 x2 3x3 1 4x1 2x2 5x3 4 2x1 2x3 6
第五节 矩阵的秩
一、秩的定义
定义（k 阶子式） A (aij )mn的任意k个行(i1,...,ik）行和任意k个列（j1,..., jk ) 列的交点上的k 2个元素按原顺序排成的k 阶行列式。
注1：若A可逆，则 |A|0； 注2：若 |A|0，则A可逆。
例：运用定义求下列A的逆矩阵
A
1 3
14
二、可逆矩阵的性质
若A，B可 逆 ， 则 （1） ( A－1 )－1＝A
(2) ( AB)－1＝B－1 A－1 (3) ( AT )－1＝ （A1）T (4) (kA)1 1 A－1 , k 0
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11
a12
a21
a22
a31
a32
二、n阶行列式
定义：由n2个数 aij (i, j 1,2,.., n) 组成的n阶矩阵的行列式
a11 a12 a1n
Dn
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
是一个数，当n=1时，D=|a11|= a11
0 1 2 A 1 1 1
2 4 0
定义矩阵的等价： 设A经一系列的初等变换变为B,则称 A与B在初等变换下是等价的，简称A与B等价。
矩阵的等价性质： 自反性； 对称性； 传递性
注：
任
意
的
矩
阵A都
与
形
如
Er 0
0 0
的
矩
阵
等
价
称
Er 0
0 0
为
矩
阵的
等
价
标
准
型
例：
检 验 矩 阵A与B是 否 等 价
1 0 1 1 A 1 2 1 3,
2 1 2 3
2 1 7 0 B 0 1 1 2
1 1 4 1
第七节 线性方程组解的判断 n元非齐次线性方程组Ax b
1）有解的充要条件 r( A) r( A~)
2）无解的充要条件 r( A) r( A~) 3）有唯一解的充要条件 r( A) r( A~) n
A
Er 0
0 0
注1、r(A)=n|A|o 标准型E
2、A的秩等于A的阶梯形矩阵中拐角元素1的个数 3、Ax b有 解 r( A~) r( Ab) r( A)
例：运用初等变换
求下列矩阵的秩 1 1 1 2
A 1 2 1 0 2 0 5 1
第六节 初等变换的矩阵解释
定义：将单位矩阵作一次初等变换所的的矩阵称为初等矩阵
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
故当 |A|0时，A可逆，且
A1 1 A* | A|
定理：
An可 逆 | A | 0, 且A1
1 A* | A|
推论：An , Bn , AB E,则BA E,即A, B均可逆 ，且A, B互为逆 矩阵。
例：运用伴随矩阵求下列A的逆矩阵
1 2 3 A 2 2 1
3 4 3
An1 b1 An2 b2 Ann bn
b1
1
xj
| A|
A1 j
A2 j
Anj
b2
bn
1 | A|
bk Akj
Dj D
( j 1,2,...,n)
其中D=|A|, Dj是b代替|A|中第j列所得的行列式
定理（Cramer)
当D | A | 0时，线性方程组Ax b存在唯一解， x j Dj / D ( j 1,2,..,n)
M
1
j
为a1
的
j
余
子
式
（
划
去
第
一
行，
第j列
）
A1
j
为a1
的
j
代
数
余
子
式
注：Dn共有n!项（递归）正负号各占一半，每一个是不同 行、列的n个元素之积。
例：
1 4 2
设
A 3
5
1
,
求
a11
,
a21的
余
子
式
、
代
数
余
子
式,
2 1 6
和| A|
例： 求 行 列 式
0 0 0 a1 0 0 0 a2 0 0
n
| A | ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain aik Aik , (i 1,2,, n) k 1 称为按第i行展开
n
或 | A | a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj akj Akj , ( j 1,2,, n) k 1
称为按第j列展开
ai1 bi1 ain bin ai1 ain bi1 bin
***
*** ***
性质4： 两行互换，行列式相反
性质5：两行对应元素相等，则D=0 推论：两行对应元素成比例，则D=0
性质6：
*
*
*
*** ***
ai1 ka j1 ain ka jn ai1 ain k a j1 a jn
n阶矩阵的行列式运算性质
性质： A, B为 两 个n阶 矩 阵 ， 则 (1) AT A; (2) kA k n A (3) | AB || A || B |
第三节 逆矩阵
引： 数 ：a 1 1 1 a
a
a
矩 阵 ：A A1 E A1 A
一、逆矩阵的概念和性质
定义: 对An，如果存在Bn，使得AB BA E,则称A是 可逆矩阵。B为A的逆矩阵，记作A1,即A1 B
0 3 0
20 00 00
0
0 4
A1 0
0 A2
第四节 克拉默（Cramer）法则
线性方程组简写 Ax b. 先假设A是n阶方阵，且| A | 0，
由Ax b两 边 左 乘A1可 得x A1b,即
x1
A11
x2
xn
|
1 A
|
A12
A1n
A21 A22
A2n
an1 0 0 0 0 0
00 0 an
例：
求 下 三 角 矩 阵的 行 列 式
a11
A
a21
0
a22
0 0
an1 an2 ann
三、拉普拉斯展开定理：
n阶 矩 阵 的A行 列 式 它 的 任 一 行 （ 列 ） 的 各元 素 与 其 对 应 的 代 数 余 子 式 乘积 之 和 ， 即
An1 An2
A2n Ann
伴随矩阵的元素是矩阵A的代数余子式
伴随矩阵的性质：
对n阶方阵A, AA* A* A | A | E
例：运用伴随矩阵求下列A的逆矩阵
A
1 3
14
三、方阵可逆的充要条件
由于： 于是有：
AA* | A | E
A* A | A | E
A ( 1 A* ) ( 1 A* ) A E
例：求解下列线性方程组
x1 2 x2 x3 3 3 x1 x2 3 x3 1 2 x1 3 x2 x3 4
A~
(
Ab)
1 3
2 1
1 3
3 1
2 3 1 4
初等变换后：
1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 4
定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
上述定理可保证，经过一系列的初等变换，可将
*
*
*
*** ***
| A | 0 | A |
n阶行列式的计算
关键: （1）试图化为上（下）三角行列式； （2）一行（列）只有一个不为0。
例：
x aa
a xa Dn
a ax
例：范得蒙 (Vandermonde）行列式
1 11
Dn
a1
a2 an
a n1 1
a n1 2
a n1 n
定义 （三阶行列式）
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
A1
0
0
0 A21
0
0
0
As1
（2）高阶矩阵的逆可化为低阶来算
设Ann , Bmm , Cmn , 则 ：
（a）
D
A 0
0 B
D1
A1 0
0 B 1
（b）
D
0 B
A0
D1
0 A1
B 1 0
（c）
A 0 D Cmn B
D1
A1 B 1CA1
0 B1
例：
0 0 1 0
A
定理： A可逆|A|0, r(A)=n
问题:如何计算A的秩？？？
二、秩的计算
1）定义法 例：运用定义法
求下列矩阵的秩
A
2 1
23 ,
B
2 1
4 2
,
C
a c
b d
2）矩阵的初等变换
目标：阶梯形矩阵的秩=其非零行数 定义（矩阵的初等变换）
行（3 种） 列（3种） 依据 ： 初等变换不改变矩阵的秩。
4）有无穷多解的充要条件 r( A) r( A~) n
推论： n个方程的n元线性方程组有唯一解的 充要条件是A 0
n元 齐次 线性 方程 组Ax 0
1）有非零解的充要条件 r( A) n 2）只有零解的充要条件 r( A) n
例：讨论λ为何值时，方程组有唯一解？无解？
A1 1 A* | A|
计算量太大！
已知A可逆，则A经过一系列初等变换可得E
定理：A可逆，则A可写成有限个初等矩阵的乘积。
初等变换求矩阵的逆的方法：
( A E ) 行变换( E A1 )
A E
列变换
E A1
例：运用初等变换方法求下列A的逆矩阵
A
1 3
14
例：运用初等变换方法求下列A的逆矩阵
证明：略
例： 求 00010 00200
D 0 3 8 0 0 49070 60005
第二节、行列式的性质和计算 一、行列式的主要性质
性质1：行列式的行与列（按原顺序）互换，其值不变。 即：|AT|=|A|
证明：运用数学归纳法和拉普拉斯展开定理
注：在此结论下，下述的性质只需将“行”改为“列”均成立
（1）
i ↑
1
k(i)
Ei
(k
)
k
→i
1
（2）
(i) ( j)
iˆ ˆj
ij
1 0
1
i
Eij
1
0
j
1
1
（3）
( j) k(i)
iˆ kˆj
i
j
1
1
Eij
(k
)
k
1
i
j
1
初等矩阵的性质：（左行右列）
（1） Ei (k ) A _____ A的第i行乘k
Eij A
_____ A的第i行和第j行互换
Eij (k ) A _____
AEi (k) AEij
AEij (k)
_____ _____ _____
A的第i行乘k加到第j行 A的第i列乘k A的第i列和第j列互换 A的第j列乘k加到第i列
（2）初等矩阵都是可逆的，而且其逆矩阵是同类型的初等矩阵
用初等变换求逆矩阵
第三章 行列式与矩阵
第一节 行列式 一、二阶和三阶行列式
由求解
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
定义 （二阶行列式）
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
由求解
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
例：证明 A为n阶方阵，当| A | 0时,| A* || A |n1
四、抽象矩阵的逆矩阵的计算
例： 设An满足A2 A 2E 0, 证明A和A 2E都可逆，并求其逆。
五、分块矩阵的求逆 (1)分块对角
| A | 0 | Ai | 0
A1
A
0
0
A2
0 0
0 0 As
A11
例：Gramer法则求解下面方程组 2x1 x2 3x3 1 4x1 2x2 5x3 4 2x1 2x3 6
第五节 矩阵的秩
一、秩的定义
定义（k 阶子式） A (aij )mn的任意k个行(i1,...,ik）行和任意k个列（j1,..., jk ) 列的交点上的k 2个元素按原顺序排成的k 阶行列式。
注1：若A可逆，则 |A|0； 注2：若 |A|0，则A可逆。
例：运用定义求下列A的逆矩阵
A
1 3
14
二、可逆矩阵的性质
若A，B可 逆 ， 则 （1） ( A－1 )－1＝A
(2) ( AB)－1＝B－1 A－1 (3) ( AT )－1＝ （A1）T (4) (kA)1 1 A－1 , k 0
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11
a12
a21
a22
a31
a32
二、n阶行列式
定义：由n2个数 aij (i, j 1,2,.., n) 组成的n阶矩阵的行列式
a11 a12 a1n
Dn
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
是一个数，当n=1时，D=|a11|= a11
0 1 2 A 1 1 1
2 4 0
定义矩阵的等价： 设A经一系列的初等变换变为B,则称 A与B在初等变换下是等价的，简称A与B等价。
矩阵的等价性质： 自反性； 对称性； 传递性
注：
任
意
的
矩
阵A都
与
形
如
Er 0
0 0
的
矩
阵
等
价
称
Er 0
0 0
为
矩
阵的
等
价
标
准
型
例：
检 验 矩 阵A与B是 否 等 价
1 0 1 1 A 1 2 1 3,
2 1 2 3
2 1 7 0 B 0 1 1 2
1 1 4 1
第七节 线性方程组解的判断 n元非齐次线性方程组Ax b
1）有解的充要条件 r( A) r( A~)
2）无解的充要条件 r( A) r( A~) 3）有唯一解的充要条件 r( A) r( A~) n
A
Er 0
0 0
注1、r(A)=n|A|o 标准型E
2、A的秩等于A的阶梯形矩阵中拐角元素1的个数 3、Ax b有 解 r( A~) r( Ab) r( A)
例：运用初等变换
求下列矩阵的秩 1 1 1 2
A 1 2 1 0 2 0 5 1
第六节 初等变换的矩阵解释
定义：将单位矩阵作一次初等变换所的的矩阵称为初等矩阵