高等几何

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高等几何

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.

1.下列哪个量不是．．仿射不变量( )

A.共线三点的简比

B.两条平行线段的比

C.任意两个图形的面积之比

D.两个三角形边长之比

2.直线(2,i ,3-4i )上的实点的齐次坐标是( )

A.(3,8,-2)

B.(3,8,2)

C.(3,-8,2)

D.(3,-8,-2)

3．中心投影具有性质( )

A.保持平行性质

B.保持单比不变

C.保持交比不变

D.保持面积不变

4.若线束S 的四直线a ,b ,c ,d 被任何一条直线s 截于四点A ,B ,C ,D ，且(ab ,cd )=-1，则(AC ,DB )=( ) A.-2

1 B.

2 C.-1 D.2

1 5.平行四边形的仿射对应图形是( )

A.长方形

B.四边形

C.菱形

D.平行四边形

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.

6.完全四线形调和性质的内容是_________.

7.无穷远直线的坐标是_________.

8._________叫做迷向直线.

9．仿射几何的变换群是_________，其基本不变图形是_________.

10.几何公理的三个基本问题中，第三个基本问题是_________.

三、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)

11.设P 1(1,1,1),P 2(2,-1,1),P 4(5,-1,3)为共线三点，且(P 1 P 2, P 3 P 4)=2，求P 3的坐标.

12.求二次曲线011246322

32

221=+--x x x x x 过点（1，2，1）的切线方程．

13.求二次曲线x 2-y 2+3x +y -2=0平分与直线2x +y =0平行的弦的直径方程.

第 2 页 14.求直线l 到自身的射影变换式，使P 1(0),P 2(1),P 3(3)分别对应点'1P (1)，'2P (-2),'3P (0)，并求出无穷远点的对

应点.

15.求由两个成射影对应λ’λ+2λ-λ’=0的线束x 1+2x 2-λx 3=0和x 1+λ’x 2=0所构成的二阶曲线的方程.

16.经过A （-3，2）和B （6，1）两点的直线被直线x +3y -6=0截于P 点，求简比（ABP ）.

四、作图题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

17.已知：一条非退化二阶曲线c 上五点1，2，3，4，5；利用帕斯卡定理，求作点5处的切线.（要求写出作法）

18.已知直线L 上对合Φ的二个二重点m ，n ，作出任意点x 的像x ’.（要求写出作法）

五、证明题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)

19.在内接于椭圆的两个三点形ABC 与A ’B ’C ’中，设AB ∩A ’B ’=P ,BC ∩B ’C ’=Q ,CA ’∩C ’A =R ,证明P ,Q ,R 三点共线.

20.证明：三角形的三条中线共点.

21．证明射影变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=3'33

2'221'1ax x x ax x x ax x ρρρ(1)只有一个二重点及通过该点的一条二重直线.