(整理)椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的解析解

椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的解析解
摘要：聚焦线圈能够在被测导体内产生更加集中的涡流，脉冲激励能够使得检测信号包含更多的信息量，本文提出了椭圆聚焦线圈脉冲涡流检测方法以提高无损检测的灵敏度，推导了椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的解析解。

建立了半无限大导体上斜置椭圆线圈瞬态脉冲涡流场电磁模型，给出了该涡流场满足的初边值问题并进行了拉氏变换和傅里叶变换，采用尺度变换技术将椭圆线圈转换为圆线圈进行求解，最后采用拉氏反变换、傅里叶反变换和尺度反变换得到了椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的时域解析解。

本文所得解析解与利用Ansoft电磁仿真软件计算所得结果一致，通过解析解的计算，验证了该椭圆聚焦线圈具有较好的涡流聚焦效果。

关键词：瞬态脉冲涡流场；解析解；椭圆聚焦线圈；尺度变换
中图分类号：TM15
文献标识码：A
Analytical solutions of transient pulsed eddy current
problem due to elliptical concentrative coils
Abstract:More concentrative eddy current within conducting medium can be generated by concentrative coils and more information can be contained in the detected signal by using pulsed exciting current, so the pulsed eddy current testing method using elliptical concentrative coil which can enhance the testing sensitivity is proposed in this paper, and analytical solutions of transient pulsed eddy current due to elliptical concentrative coils are derived. The model of elliptical coil placed in an arbitrary position above a half-infinite conducting plate is built. The initial-boundary value problem is provided, transfer them by Laplace’s transform and Fouier’s transform, and elliptical coil is transformed to loop coil by sacle-transformation. Analytical solution of transient pulsed eddy current due to elliptical concentrative coils in the time domain is obtained by inverse Laplace’s transform, inverse Fouier’s transform and inverse sacle-transform. The results of analytical solution agree with the numerical calculation result by ANSOFT software. By the means of analytical computation, the good concentrative effect of elliptical concentrative coil is validated.
Key words:transient eddy current, analytical solution, elliptical concentrative coil, scale-transformation
引言
涡流检测大多采用水平圆环线圈，其在导体中激励出的涡流分布不具有集中性，而采用具有聚焦作用的激励线圈能够使涡流集中分布，从而提高检测的灵敏度。

传统的涡流检测通常采用正弦信号作为激励，检测线圈的阻抗变化，而脉冲涡流检测的时域分析方法将获得更多的信息。

因此具有聚焦作用的线圈的瞬态脉冲涡流场解析解的研究对于提高检测的灵敏度，设计新型电磁传感器具有重要作用。

聚焦线圈最早被用于功能磁刺激中[1]，为了对指定的部位进行电流刺激而对其它部位尽量避免不必要的电流刺激，需要磁刺激器有字形线圈的设计方案。

“8”字线圈是由两个斜置的圆形线圈构成，其产生的涡流场有一定的聚焦作用[2]。

斜置圆形线圈在正弦激励下的时谐涡流场的解析解已经得到[3]。

对于脉冲激励下的瞬态涡流场的解析解只给出了圆形线圈与导体面平行和垂直两种特殊情况下的解析解[4]，目前尚未得出斜置椭圆形线圈脉冲激励下的瞬态涡流场的解析解。

本文将推导椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的解析解。

首先建立斜置椭圆线圈瞬态脉冲涡流场的电磁模型，写出该涡流场的初边值问题；然后采用尺度变换技术将椭圆形线圈转换为圆形线圈求解，并采用拉氏变换与反变换技术得出椭圆斜置线圈瞬态脉冲涡流场的时域
焦线圈，将所得解析解与利用Ansoft 软件计算所得的数值结果相比较验证解析解的正确性，并选定不同参数进行解析计算，验证线圈的聚焦效果。

1斜置椭圆线圈瞬态涡流场的电磁模型
斜置椭圆线圈指的是法线与被测物体表
面法线既不平行又不垂直的截面为椭圆的线圈。

建立的斜置椭圆线圈的电磁模型如图1所示，图中给出了直角坐标系O xyz -，其中曲线C 表示由细导线绕成的线圈，线圈中通有电流()i t ，电流t i 的波形如图2所示，幅值为0I ；α是线圈法线与z 轴正向的夹角，称为线圈的倾斜角；h 是线圈几何中心与平面xOy 距离；R 是椭圆线圈横轴半径；η为椭圆纵轴与横轴的比例系数。

区域1（0z >）为空气，区域2（0z <）为导体。

图1 斜置线圈的电磁模型
图2 激励电流波形
2 斜置椭圆线圈瞬态脉冲涡流场的求解
求解思路如下：首先将原坐标系下的椭圆
线圈转换为新坐标下的圆线圈；然后写出拉氏变换后的电流表达式及所求涡流场矢量磁位所满足的约束方程及边值条件，并求出矢量磁位的拉氏变换表达式；接下来变换回原坐标系下，并求得相关电磁场量；最后拉氏反变换得到电磁场量的时域表达式。

2.1 椭圆线圈及激励电流表达式
椭圆形线圈C 可表示成两曲面的交线
()(
),,0
:,,0m x y z C q x y z ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ （1） 其中方程(),,0m x y z =表示线圈所在平面，函数m 的表达式为
()(),,sin cos m x y z x z h αα=-- （2） 方程(),,0q x y z =表示倾斜的椭圆柱面方程，柱面的中心轴穿过线圈的几何中心且垂直于线圈所在平面，函数q 的表达式为
()
,,q x y z R
=（3）
激励电流()i t 的函数表达式为
()()()00i t I u t u t t =--⎡⎤⎣⎦ （4）
其拉氏变换为
()()
001e
t s
s I L i t I s -==-⎡⎤⎣⎦ （5）
2.2斜置椭圆线圈脉冲涡流场矢量磁位的求解 以下采用尺度变换技术[5]将场源和介质分
布变换到新的坐标系O x y z ''''-下，在新坐标系下求解出各电磁场量，然后再变换回到原来坐标系下。

将椭圆斜置线圈变为新坐标系下的圆环线圈C '
，变换后的表达式为 ()sin cos 0:0x z h C R αα''--=⎧'=（6） 真空区域中任意一点),,P x y z '''的电流密度可表示成
()()()()
()()()()
,,,δδq P m P x y z t i t m q q P m P ''∇⨯∇'''''=''∇⨯∇J
()()()
()
cos ,,sin δδy y i t m q αχαρ'''--''='
（7）
其中()cos sin x z h χαα
'''=+-，ρ'=。

采用尺度变换技术后，电磁场量和媒质的
电磁参数都发生变化，'=⋅A T A ，'=⋅H T H , '=⋅B M B ，1-'=⋅⋅μμM T ，1-'=⋅⋅σσM T 。

其中变换矩阵:
10000001η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦T ，0001000ηη⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦M 由于变换后的电磁介质不再是各向同性，
因此原库仑规范0'∇⋅=A 不再成立，而采用新的规范0'''∇⋅=μA 。

在区域1（0z '>）中的矢量磁位1'A 可看作是斜置线圈在无限大真空中
产生的场11
'A 和导体中的涡流在区域1中产生的场12
'A 的叠加，即11112'''=+A A A ，对矢量磁位'A 和()i t 进行拉氏变换后的约束方程如下。

1º约束方程
区域1满足的约束方程为：
()()()10
11δδs s I m q -''''''∇⨯∇⨯=⋅μA ()
cos ,,sin y y αχαρ'''--'
（8）
()1
12
s -''''∇⨯∇⨯=μA 0 （9） 区域2满足的约束方程为:
()12
2s s s -''''''∇⨯∇⨯=-μA σA （10） 2º分界面上的边界条件
()2
111200
0xs xs xs z z A A A '='='''-+= （11）
()2
11
120
0ys ys ys z z A A A '='='''-+= （12）
2111200
zs zs zs z A A A x ημμ'='
''⎛⎫+∂- ⎪'∂⎝⎭ 2111200xs xs xs z A A A z ημμ'='''⎛⎫+∂=- ⎪'∂⎝⎭（13）
2
111200
1zs zs zs z A A A y ημμ'='''⎛⎫+∂- ⎪'∂⎝⎭
2111200
1ys ys ys z A A A z ημμ'='''+⎛⎫∂=- ⎪'∂⎝⎭（14） 3º无限远条件
2
lim 0s z '→-∞
'=A （15） 12
lim 0s z '→∞
'=A （16） 根据所引入的规范，在两个区域中分别有
11
0'''∇⋅=μA ,120'''∇⋅=μA 和20'''∇⋅=μA 。

下面采用与文献[3]相似的求解思路求解以上边值问题方程（8）~（16），并采用尺度变换技术将在新坐标系下求得的电磁场量变换后原坐标系得：
()111j cos I xs s v
A I R k γαψψ
+∞+∞
-∞-∞=⋅⎰⎰
()()
j e
d d k z h ux vy u v -++ (17) (
)()111j cos sin I ys s
u k A I R k ααγψψ+∞
+∞-∞
-∞
=-⋅⎰⎰
()()
j e
d d k z h ux vy u v -++ (18)
()111j sin I zs
s v
A I R k γαψψ+∞+∞
-∞-∞=⋅⎰⎰
()()
j e
d d k z h ux vy u v -++ （19）
12sin j cos 2jcos xs s
r r u k A I k αα
γμαμλ+∞+∞
-∞
-∞
⎛⎫+=-⋅
⎪+⎝⎭
⎰⎰
()()()
j 111
I e
d d k z h ux vy v R u v k ψψ-+++ （20）
12sin j cos 2+j cos ys s
r
u k A I u k αα
γμ
αμλ+∞+∞
-∞
-∞
⎛+=-+ +⎝⎰⎰
)
()()()
j 111
1sin I e
d d k z h ux vy k R u v k αψψ-+++（21）
()()()
j 12111
j sin I e
d d k z h ux vy zs s v A I R u v
k γα
ψψ+∞+∞
-+++-∞
-∞
=⎰⎰
（22）
()2sin j cos 1
2xs r s
r
v u k A I k k ααμγμλψ+∞
+∞-∞-∞+=⋅
+⎰⎰
()()
j 11I e
d d z kh ux vy R u v λψ-++ (23)
()21
sin j cos 1
2ys r s r u u k A I k k ααμγμλψ+∞+∞
-∞
-∞
+=-⋅
+⎰
⎰
()()
j 11I e
d d z kh ux vy R u v λψ-++ (24)
20sz A = (25)
其中k =
λ=04πR γμη=，
j sin(2ku ψ，
)+j sin(2ku ψα=，其中的1I x 为第一类修正贝塞尔函数[6]
，“–”
号对应s i n z h R α->的区域，“+”号对应s i n z h R α-<-的区域。

2.3 电磁场量的时域表达式
由求得的矢量磁位A 的拉氏变换形式可得任意电磁场量的拉氏变换形式，经拉氏反变换后可得其时域表达式。

下面求解区域1中的磁感应强度1B 和区域2中的涡流密度2J 。

()()()111121112111
sin j cos I xs s s x s s x
r s
r B k u u k I R k k μλαα
γψμλψ+∞+∞
-∞
-∞
=∇⨯+⋅=∇⨯+∇⨯⋅⎡-+=-⋅⋅⎢
+⎣⎰⎰
A A e A A e ()()1s i n j c o s e
I e k
z h
k z h
u k R
α
αψψ
---+⎤
-
⋅⎥⎦
(
)
j e d d ux vy u v + (26)
()1111
sin j cos I r ys s r k v u k B I R k k μλαα
γψμλψ+∞
+∞
-∞-∞⎡-+=-⋅⋅⎢
+⎣⎰⎰
()()1s i n j c o s e
I e k
z h
k z h
u k R
α
αψψ
---+⎤
-
⋅⎥⎦
(
)
j e d d ux vy u v + (27) ()1111
sin j cos j I r zs s r k u k B I R k μλαα
γψμλψ+∞+∞
-∞-∞⎡-+=-⋅⋅⎢
+⎣⎰⎰
()
()1j cos sin e
+
I e
k z h
k z h k u R αα
ψψ
---+⎤
⋅⎥⎦
()
j e d d ux vy
u v + (28) ()221sin j cos 1
2xs
xs
r s
r J sA v u k sI k k σααμσγμλψ+∞+∞
-∞
-∞
=-+=-⋅⋅
+⎰⎰
()()
j 11I e
d d z kh ux vy R u v λψ-++ (29)
()21
sin j cos 12ys r s
r u u k J sI k k ααμσγμλψ+∞
+∞
-∞
-∞
+=⋅⋅
+⎰⎰
()()
j 11I e
d d z kh ux vy R u v λψ-++ (30)
20zs J = (31)
对B 和J 进行拉氏反变换，并根据参考文献[7](式549、式543.5)和参考文献[8]（式46）得：
()10111sin j cos *I x u u k B I U m
R k αα
γψψ+∞+∞
-∞-∞⎡+=-⋅⎢⎣
⎰⎰
()()1s i n j c o s e
I e k
z h
k z h
u k U
R
α
αψψ
---+⎤
-⋅⎥⎦
(
)
j e d d ux vy u v + (32) ()10111sin j cos *I y v u k B I U m R k αα
γψψ+∞+∞
-∞-∞⎡+=-⋅⎢
⎣
⎰⎰
()()1s i n j c o s e
I e k z h
k z h
u k U
R
α
αψψ
---+⎤
-⋅⎥⎦
(
)
j e d d ux vy u v + (33) ()10111sin j cos j *I z u k B I U m R αα
γψψ+∞+∞
-∞-∞⎡+=-⋅⎢
⎣
⎰⎰
()
()1j cos sin e
I e
k z h
k z h k u U
R αα
ψψ
---+⎤
+⋅⎥⎦
()
j e d d ux vy
u v + (34) 其中()()0U u t u t t =--，
(
)(
)2222212δe erfc r k t k t r k m t μμσ
μσ
μμσ
--=--。

当0z <
时，()
201
sin j cos x r v u k J I n
k ααμσγψ+∞
+∞
-∞-∞
+=-⋅⎰
()()
j 11I e
d d kh ux vy R u v ψ-++ (35)
()
201
sin j cos y r u u k J I n
k ααμσγψ+∞+∞
-∞
-∞
+=⋅⎰
()()
j 11I e
d d kh ux vy R u v ψ-++ (36)
20z J = (37) 其中，
()
()222222200()4()4e e erfc r k t k t r k t t z t t k t z t k n μμσμσμσμσμσμσμμσ-------⎧⎫⎤⎪⎪=*⎥⎨⎬⎥⎪⎪⎦⎩⎭
⎡⎤当0z =时，
()
201sin j cos 2x r v u k J I n k ααμσγψ+∞+∞-∞-∞
+'=-⋅⎰⎰
()()
j 11I e
d d kh ux vy R u v ψ-++ (38)
()
20
1
sin j cos 2y r u u k J I n k ααμσγψ+∞+∞
-∞
-∞
+'
=-⋅⎰⎰
()()
j 11I e
d d kh ux vy R u v ψ-++ (39)
20z J =
(40)
(
)()
2222202
00()0()0e erfc e e erfc e r r k t k t r k t t r k
t t k n u t k u t t μμσμσ
μμσ
μσ
μμσμμσ----⎤⎛'=⋅-⎥ ⎥⎝⎦
⎤⎛⋅⎥ ⎥⎝⎦-3 解析解的验证
椭圆聚焦线圈的结构和放置方式如图3所
示，它由两个相同横轴半径R 的椭圆线圈1C 和2C 关于平面yOz 对称放置组成，角度2β为线圈的两翼张角。

令半无限大导体为铝块，其相对磁导率1r μ=，电导率63710S/m σ=⨯，横轴半径5mm R =，聚焦线圈最低点距导体表面的距离即提离高度11mm h =，线圈中心高度1cos h h R β=+，01A I
=，01ms t =。

图3 椭圆聚焦线圈的涡流检测模型
为验证所求解析解的正确性，采用了
Ansoft 软件进行数值计算，并比对了计算结果。

表1给出一些点的B 在0.9ms t =时的值。

表1 B 的值()510T -⨯
位置（mm ）
B 解析解 B 数值解 (0, 1, 0) 22.6 22.2 (0, 2, 0) 15.7 15.4 (0, 3, 0) 11.9 11.9 (0, 4, 0) 9.6 9.6 (0, 5, 0) 8.0 7.9 (0, 6, 0) 6.7 6.6 (0, 7, 0) 5.6 5.5 (0, 8, 0) 4.6 4.5 (0, 9, 0) 3.7 3.5 (0,10, 0) 2.9 2.8
由表1可知，所得解析解与数值结果基本一致，因此所得结果为正确的。

4 椭圆聚焦线圈电磁场量的计算
（1）导体表面的涡流分布图
张角o 2120β=，0.8η=，0.01ms t =时，导体表面()0z =的部分区域中涡流分布如图4所示，涡流方向如图中箭头所示。

图4 涡流分布图
涡流主要分布在聚焦线圈正下方的中心区域，有很好的聚焦效果。

（2）涡流电流密度J 时域响应
图5是张角o 2120β=，0.8η=时，坐标点
()0,0,0涡流电流密度J 随时间变化的波形。

图5涡流电流密度J 变化曲线
涡流电流密度J 在激励的上升沿和下降沿有个很大的尖峰值，随后快速衰减。

（3）磁感应强度B 时域响应
在涡流无损检测中，通常将区域1中的磁感应强度B 作为被检测量，以获得导体中的缺陷信息。

图6是张角o 2120β=，0.8η=时，
(,0,0)R 、(,,0)R R 和(2,0,0)R 三个不同位置
（分别与图中曲线①、②和③对应）的磁感应强度z 方向分量z B 随时间变化的波形。

图6 磁感应强度z B 随时间变化的波形
磁感应强度
B 在激励电流的上升沿快速
由零上升到稳态值，在下降沿快速由稳态值下降为零。

（4）比例系数η对聚焦作用的影响
图7各曲线为线圈在张角o 2120β=，t = 0. 01ms 时，不同比例系数η下所激励的涡流密度大小沿x 和y 轴的变化情况。

图中曲线①至⑤分别对应比例系数0.6,0.8,1,1.2,1.4η=。

(a) 涡流密度沿x 轴的分布
(b) 涡流密度沿y 轴的分布
图7 不同比例系数η下涡流密度的分布
1η>的长椭圆比1η<扁椭圆产生的涡流幅值更大，在y 轴方向的聚焦区域更宽。

(5) 张角对聚焦作用的影响
图8是在比例系数0.8η=，0.01ms t =时，不同张角下所激励的涡流密度大小沿x 和y 轴的变化情况。

图中曲线①至④分别对应张角2β=o 0，o 60，o 120，o 180。

(a) 涡流密度沿x 轴的分布
(b) 涡流密度沿y 轴的分布 图8 不同线圈张角下涡流密度的分布
随着张角2β的增大，涡流的幅值增大，当 o 2180β=时除在中心有聚焦外，在x 轴上中心两侧有另外两个聚焦区域。

5 结 论
本文得到了椭圆聚焦线圈瞬态脉冲涡流场的解析解，并对电磁场量进行了计算，可得如下结论。

1）涡流主要分布在聚焦线圈正下方的中心区域，有很好的聚焦效果。

2）在脉冲电流激励的上升沿，导体内的涡流密度有个尖峰值，随后快速衰减至零，磁感应强度则从零快速上升至稳态值；在脉冲电流激励的下降沿，导体内的涡流密度有个反向尖峰值，随后快速衰减至零，磁感应强度则从稳态值快速衰减至零。

3）1η>的长椭圆比1η<扁椭圆产生的涡流幅值更大，在y 轴方向的聚焦区域更宽。

4）随着张角2β的增大，涡流的幅值增大，当 o 2180β=时除在中心有聚焦外，在x 轴上
中心两侧有另外两个聚焦区域。

参考文献 References
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