新课标高考数学二轮复习专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质学案理新人教A版

新课标高考数学二轮复习专题六函数与导数第1讲函数的
图象与性质学案理新人教A 版
第1讲 函数的图象与性质
[做真题]
题型一 函数的概念及表示
1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，
2x －1，x ≥1.
则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9
D ．12
解析：选C ．因为－2<1，
所以f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. 因为 log 212>1，所以f (log 212)＝2log 212
－1＝122＝6.
所以f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C ．
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，
则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的
x 的
取值范围是________．
解析：当x ≤0时，由f (x )＋f (x －12)＝(x ＋1)＋(x －12＋1)＝2x ＋32>1，得－1
4<x ≤0；当
0<x ≤12时，f (x )＋f (x －12)＝2x ＋(x －12＋1)＝2x ＋x ＋12>1，即2x ＋x －12>0，因为2x
＋x －12>2
0＋0－12＝12>0，所以0<x ≤12；当x >12时，f (x )＋f (x －12)＝2x ＋2x －12>212＋20
>1，所以x >12
.综上，
x 的取值范围是(－14
，＋∞)．
答案：(－1
4
，＋∞)
题型二 函数的图象及其应用
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋x
cos x ＋x
2在[－π，π]的图象大致为( )
解析：选D．因为f(－x)＝
sin(－x)－x
cos(－x)＋(－x)2
＝－
sin x＋x
cos x＋x2
＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；
因为f(π)＝
sin π＋π
cos π＋π2
＝
π
－1＋π2
>0，所以排除C；
因为f(1)＝
sin 1＋1
cos 1＋1
，且sin 1>cos 1，
所以f(1)>1，所以排除B．故选D．
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数y＝
2x3
2x＋2－x
在[－6，6]的图象大致为( ) 解析：选B．因为f(x)＝
2x3
2x＋2－x
，所以f(－x)＝
－2x3
2－x＋2x
＝－f(x)，且x∈[－6，6]，所以函数y＝
2x3
2x＋2－x
为奇函数，排除C；当x>0时，f(x)＝
2x3
2x＋2－x
>0恒成立，排除D；因为f(4)＝
2×64
24＋2－4
＝
128
16＋
1
16
＝
128×16
257
≈7.97，排除A．故选B．
3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝
x＋1
x
与
y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则
i＝1
m
(x i＋y i)＝( ) A．0 B．m
C．2m D．4m
解析：选B ．因为f (x )＋f (－x )＝2，y ＝
x ＋1x ＝1＋1x ，所以函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1
x
的图象都关于点(0，1)对称，所以∑i ＝1m
x i ＝0，∑i ＝1
m
y i ＝m
2×2＝m ，故选B ． 题型三 函数的性质及应用
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则( )
A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－3
2)>f (2－2
3)
B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314>f (2－2
3)>f (2－3
2) C ．f (2－32)>f (2－2
3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314 D ．f (2－23)>f (2－3
2)>f ⎝
⎛⎭⎪⎫log 314 解析：选C ．根据函数f (x )为偶函数可知，f (log 314)＝f (－log 34)＝f (log 34)，因为0<2－
3
2
<2－23<20<log 34，且函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，所以f (2－32)>f (2－
2
3)>f (log 314)．故选
C ．
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )
A ．[－2，2]
B ．[－1，1]
C ．[0，4]
D ．[1，3]
解析：选D ．因为函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－
f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，所以1≤x ≤3，故选D ．
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝
f (1＋x )，若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )
A ．－50
B ．0
C ．2
D ．50
解析：选C ．因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )＝f (2－x )，f (－x )＝f (2＋x )，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且一个周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1＋1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (1－2)＝－f (1)＝－2，所以f (1)
＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C ．
[明考情]
1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题的形式考查，一般出现在第5～10题或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．
2．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新型问题结合命题，难度较大．
函数及其表示 [考法全练]
1．函数y ＝log 2(2x －4)＋
1
x －3
的定义域是( ) A ．(2，3) B ．(2，＋∞) C ．(3，＋∞)
D ．(2，3)∪(3，＋∞)
解析：选D ．由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧2x －4>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1
x －3的定
义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D ．
2．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．－3
解析：选B ．由题意得，f (－2)＝a －2
＋b ＝5.①
f (－1)＝a －1＋b ＝3，②
联立①②，结合0<a <1，得a ＝1
2
，b ＝1，
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧log 3x ，x >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ≤0，
则f (－3)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－3
＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，
故选B ．
3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，
x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝
，那么f 2 019(2)的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选C ．因为f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2，所以f n (2)的值具有周期性，且周期为3，所以f 2 019(2)＝f 3×672＋3(2)＝f 3(2)＝2.
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，
2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．
解析：当x ≥1时，f (x )＝2
x －1
≥1，
因为函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，
2x －1，x ≥1的值域为R .
所以当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，
则⎩
⎪⎨⎪⎧1－2a >01－2a ＋3a ≥1，解得0≤a <1
2.
答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫0，12
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，
x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．
解析：当x ＋1<0，即x <－1时，f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x ，不等式变为x －x (x ＋1)≤1，即－x 2
≤1，解得x ∈R ，故x ∈(－∞，－1)．
当x ＋1≥0，即x ≥－1时，f (x ＋1)＝x ＋1－1＝x ，不等式变为x ＋x (x ＋1)≤1，即x 2
＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，故x ∈[－1，－1＋ 2 ]．
综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋ 2 ]． 答案：(－∞，－1＋ 2 ]
(1)函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略 求函数值 弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算
求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小
解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提
求参数
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程
利用函数性质求值 依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解
函数的图象及其应用
[典型例题]
命题角度一 函数图象的识别
(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x
－e
－x
x
2
的图象大致为( )
(2)已知定义域为[0，1]的函数f (x )的图象如图所示，则函数f (－x ＋1)的图象可能是( )
(3)(一题多解)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，
CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为关于x 的函数f (x )，则f (x )
的图象大致为( )
【解析】 (1)当x <0时，因为e x
－e －x
<0，所以此时f (x )＝e x －e
－x
x
2
<0，故排除A 、D ；又f (1)＝e －1
e
>2，故排除C ，选B ．
(2)因为f (－x ＋1)＝f (－(x －1))，先将f (x )的图象沿y 轴翻折，y 轴左侧的图象即为
f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位长度就得到函数f (－x ＋1)的图象，故选B ．
(3)法一：当点P 位于边BC 上时，∠BOP ＝x ，0≤x ≤π4，则BP
OB ＝tan x ，所以BP ＝tan x ，
所以AP ＝4＋tan 2
x ，
所以f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ⎝
⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π4，
可见y ＝f (x )图象的变化不可能是一条直线或线段，排除A ，C ． 当点P 位于边CD 上时，∠BOP ＝x ，π4≤x ≤3π
4，
则BP ＋AP ＝BC 2
＋CP 2
＋AD 2
＋DP 2
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1tan x 2
＋
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1tan x 2
. 当点P 位于边AD 上时，∠BOP ＝x ，3π
4≤x ≤π，
则
AP
OA
＝tan (π－x )＝－tan x ， 所以AP ＝－tan x ，所以BP ＝4＋tan 2
x ， 所以f (x )＝－tan x ＋4＋tan 2
x ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3π4≤x ≤π，根据函数的解析式可排除D ，故选B ．
法二：当点P 位于点C 时，x ＝π
4，此时AP ＋BP ＝AC ＋BC ＝1＋5，当点P 位于CD 的中
点时，x ＝π2，此时AP ＋BP ＝22<1＋5，故可排除C ，D ，当点P 位于点D 时，x ＝3π
4，此
时AP ＋BP ＝AD ＋BD ＝1＋5，而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故可排除A ，故选B ．
【答案】 (1)B (2)B (3)B
(1)由函数解析式识别函数图象的策略。