含绝对值不等式证明方法综述

含绝对值不等式证明方法综述
1 引言
由于含绝对值不等式证明是中学数学内容的重要组成部分，也是近年来数学竞赛命题的一个重要知识点，而且含绝对值不等式证明对中学生解题能力的提高也很有帮助，因此探讨含绝对值不等式证明方法对中学数学教学以及数学竞赛的训练具有一定的指导意义．
2 基本概念和基本结论
2.1 基本概念
绝对值定义[6](11)P ：数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做a 的绝对值.
由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用式子表示为：
（1）a =a (a >0) （2）a =a - (a <0)（3）a =0（a =0）．
2.2 基本结论
（1）x <a （a >0）⇔x 2<a
2⇔a -<x <a ． x >a (a >0) ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x <a -．
（2）m x -<a （a >0）⇔a -<x m -<a ⇔m a -<x <+a m ．
m x ->a (a >0) ⇔x >a 或x m -<a -⇔x >m +a 或x <m a -．
（3）m x -=x m -, 2x =x
2． 2.3 有关定理
2.3.1 一个重要不等式
)9](2[P 如果a ，b ∈R 那么a 2+b 2≥2a b （当且仅当a =b 时取“=”号）
． 2.3.2 算术平均数与几何平均数定理
)9](2[P 如果a ，b 是正整数，那么 2
b a +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）． 2.3.3 关于绝对值不等式的定理及推论
定理1)21](2[P a -b ≤b a +≤a +b ．
推论1)22](2[P c b a ++≤a +b +c ．
推论2)22](2[P -a b ≤b a -≤a +b ．
2.4 去绝对值的方法
（1）根据绝对值的意义及有关同解定理．
（2）两边平方法．
（3）零点分区法．
3 含绝对值不等式证明方法举例
3.1 两边平方法
对于形式简单的含绝对值不等式，可以考虑两边平方法去绝对值符号，然后再证明．
例1 已知 1<a ，1<b ，求证 11<++ab
b a ． 证明 要证 11<++ab
b a ． 需证 2
2
)1()(ab b a ++<1． 因为 0)1(2>+ab ，
所以 a 2+2a b +b 2<1+2a b +a
2b 2， 所以 (--21a b 2)+a 2b 2>0，即 (-1a 2)(-1b 2)>0．
由 1<a ，1<b ，知 （-1a 2)(-1b 2)>0成立．
所以 11<++ab
b a 成立． 3.2 零点分区法
绝对值符号的存在是证明含绝对值不等式的一大障碍，对此常采取划分区间逐段讨论法先去掉绝对值符号转化为一般不等式再证明．
例2)140](3[P 已知 x 2+y 2≤1，其中x ，y 为实数．
求证 3≤y x ++1+y +42--x y 7≤．
证明 根据已知条件x 2+y 2≤1，
得 y 2≤ x 2+y 2≤1，
即 1-≤y ≤1．
所以 y +1≥(1-) +1=0，
因此 1+y =y +1．
再由 x 2≤ x 2+y 2≤1，得1-≤x ≤1．
由此 2×(1-)1-≤2-y x
≤2⨯-1(1-)，即323≤-≤-x y ． 所以 014342<-=-≤--x y ．那么
42--y x =42)42(++-=---x y x y ．
下面分两种情况讨论：
(1) x +y ≥0时，
y x ++1+y +42--x y
=(x +y )52)42()1(+=---++x x y y ，
所以 7512525)1(23=+⨯≤+≤+-⨯=x ．
(2) x +y <0时，
y x ++1+y +42--x y
=52)42()1()(+-=---+++-y x y y y x ，
所以 3(2)1525(2)(1)57y =-⨯+≤-+≤-⨯-+=．
综合（1）、(2)得3≤y x ++1+y +42--x y ≤7．
3.3 综合法
综合法是由因导果，即从已知的条件或已知的真命题出发一步步推出结论成立的一种方法． 例3)22](2[P 已知 x 3ε<，y 6ε<，z <9
ε，求证 z y x 32-+<ε． 证明 z y x 32-+≤x +y 2+z 3-
=x +2y +z 3-
=x +2y +3z ．
因为 x 3ε<，y 6ε<，z <9
ε， 所以 x +2y +3z 3ε<+62ε+93ε=ε． 所以 z y x 32-+<ε．
3.4 分析法
分析法是执果索因，即从结论开始，一步步寻求上一步成立的条件，直至得出一个真命题为止，对于含绝对值不等式不好入手，常采用分析法．
例4 求证 b a b a b
a b
a +++≥+++11． 证明 要证
b a b a b a b
a +++≥+++11，
只需证 )1()1)((b a b a b a b a +++≥+++，
只需证 b a b a b a b a b a b a ++++≥++++)()(，
只需证 b a b a +≥+，此式显然成立．所以原式成立．
3.5 比较法
在证明不等式的各种方法中，比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明的，其应用非常广泛．
例5)29](2[P 已知 a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2+b 2=1， 22d c +=1，求证 bd ac +≤1． 证明 显然有 bd
ac +≤1⇔1-≤ac +bd ≤1．
先证 ac +bd ≥1- 因为 ac +bd )1(--=ac +bd +21+2
1 =ac +bd +2
22
222d c b a +++ =02
)()(2
2≥+++d b c a ， 所以 1-≥+bd ac ．
再证 1≤+bd ac ．
因为 1)(bd ac +- =
21+21)(bd ac +-
=2
22
222d c b a +++cd ac -- =02
)()(2
2≥-+-d b c a ， 所以 1≤+bd ac ．
综上得 bd
ac +≤1． 3.6 放缩法
在证明含绝对值不等式过程中，有时需要对不等式进行适度的放缩，但放缩时要根据题目要求及时调整放缩形式．
例6 已知函数 f ()x =21x +，设a ，b ∈R ．证明 ()()b f a f -<b a - 证明 因为 ()()f a f b -=2211b a +-+
b a b a +-<22b a b a b a b a -=+-+<))((．
所以原不等式成立．
3.7 归纳法
对于与自然数n 有关的不等式问题，往往采用归纳法进行证明．应用归纳法时，先假设k n =时不等式成立，然后推证1+=k n 时不等式也成立．从而使命题得证．
例7 已知n 是自然数，R b a i i ∈,（n i ,,2,1Λ=），求证
22221n a a a +++Λn a a a +++≤Λ21．
证明 （1）当1=n ，2=n 时，不等式显然成立．
（2）设k n =时，不等式成立，即
122221a a a a k ≤+++Λ+k a a ++Λ2．
(3) 当1+=k n 时，
有 2
122221+++++k k a a a a Λ ≤121++++k k a a a a Λ
121+++++≤k k a a a a Λ．
所以当1+=k n 时，不等式仍成立．
所以原命题成立．
3.8 构造函数法
构造法的基本思想是通过构造中介性的辅助元素，沟通不等式的条件与结论的内在联系，从而得以证明．对于不等式两边结构完全相同或相似的，可以联想利用函数知识及不等式特点，构造辅助函数，将不等式证明转化为函数增减性来研究．
例8 a ，b ，c R ∈，求证 ≤+++++c b a c
b a 1
c c
b b
a a
+++++111．
分析 由于不等式四个式子中出现的形式相似相当于函数()x x x f +=
1在相应四个点的函数值，因此设置辅助函数证明这个不等式．
证明 构造函数 ()x x x f +=
1，[)+∞∈,0x ，则当012x x ≤<时， ()()0)1)(1(112112112212>++-=+-+=
-x x x x x x x x x f x f ， 所以函数 ()x
x x f +=1在[)+∞,0上是严格递增的， 由 c b a c b a ++≤++，
有 ()()
c b a f c b a f ++≤++， 即 )(11c b a c b a c
b a c
b a +++++≤+++++ =)
(1)(1)(1c b a c c b a b c b a a +++++++++++ ≤a a
+1 +c c
b b
+++11．
所以原不等式成立．
3.9 换元法
换元法的基本思想，就是根据不等式的结构特征，选取能以简代繁、化难为易的变量代换，使不等式得到证明的方法．通过合理换元可以达到事半功倍的效果．
例9 设x ，y R ∈，且122≤+y x ，求证 222x xy y +-≤．
证明 设222λ=+y x ，则由题设可知，
1≤λ，并可设θλcos =x ，θλsin =y ，于是 )sin sin cos 2(cos 222222θθθθλ-+=-+y xy x
=)4
2sin(2)2sin 2(cos 22∏+=+θλθθλ． 所以 222222≤
≤-+λy xy x ．
3.10 积分法 积分法是利用积分学的知识来证明不等式的一种方法，它的主要依据是积分学基本公式和基本性质．
例10 已知1>x ，求证 5()151145-<-<-x x x x ．
证明 由1>x 可先去掉绝对值符号，得5()1-x <15
-x ()451x x <- 取 ()x t ,1∈，则4
441x t <<， 有 54455x t <<，
所以 ⎰⎰⎰<<x x
x dt x dt t dt 1
4141
555．
因为 )1(551-=⎰x dt x ，155
14-=⎰x dt t x ，()155414-=⎰x x dt x x
， 所以 5()1-x <()1514
5-<-x x x ． 4 综述
由于含绝对值不等式的形式是多种多样的，所以证明含绝对值不等式的方法也是很多的．上文只是总结了含绝对值不等式的几种最常用的证明方法．一般而言，证明含绝对值不等式，是没有固定模式可以套用的，其方法灵活多变，技巧性强，综合性强．只有熟练掌握绝对值的意义、不等式的基本性质，扎实掌握含绝对值不等式证明的常规方法，不断总结绝对值不等式证明的规律和技巧，才能在证明时根据绝对值不等式的特点选择适当的证明方法．。