经济数学基础—微积分及应用第三章导数的应用

《微积分》 课程教案（十一 ）
课题：第三章 导数的应用
课时：2
§3.1-§3.2 洛必达法则与函数曲线的切线 周次：9
授课日期：
地点： 授课方式及手段： 课堂讲授
教学目标：掌握洛必达法则与函数曲线的切线和法线，能用洛必达法则求函数的
极限，会求曲线的切线和法线方程
教学重难点：洛必达法则及其应用 教学过程与内容：
第三章导数的应用
一、洛必达法则 引入洛必达法则
例：解一：()()()()222222356
31lim lim
lim 42224
x x x x x x x x x x x x →→→---+-===--+-+ 解二：()()
'
22
'
22
222
5656
251
lim
lim lim
4
24
4x x x x x x x x x x x
→→→-+-+-===---
由上面的例子得出洛必达法则（90p ） 应用洛必达法则求极限 例：用洛必达法则求下列极限
（1）用洛必达法则求函数的极限时要先判断所求极限是否为00型或∞
∞
型，然后再求解
()()
'
'32000003sin cos sin cos sin 2lim lim lim lim lim sin 3sin cos 3sin cos 3sin 2sin x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x →→→→→--===== 0111
lim
sin 233
2x x x
→=
()()'
22'222222221tan tan cos 36cos3sin 3sin 6cos lim lim lim lim lim lim 3tan 33cos 6cos sin sin 2tan 3cos 3x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
ππππππ→→→→→→-=====- 2
6c o s 6
l i m
3
2c o s 2
x x x π
→
==
1ln 111lim lim 1x
x
x x
x x x e e e e -→∞→∞+++===
例2（90p ） 例3（90p ） 例4（91p ） 例5（91p ） 例6（91p ）
（2）洛必达法则可以连续使用 例10（92p ） 例11（92p ） 例12（92p ）
二、曲线的切线和法线 1．切线方程：()()'
00y y f x x x -=-
2.法线方程：()
()00'01
y y x x f x -=--
例2 （96p ） 例3 （97p ）
课后练习：习题三 3.01（1）（3）（5）（7） 3.04 阅读参考书目：
教学小结：（1）应用洛必达法则时要注意它的条件（2）洛必达法则可以连续使用
（3）已知曲线方程和切点可以求切线方程
《微积分》 课程教案（十二）
课题：§3.3函数的单调区间与极值 课时：2 周次：9
授课日期：
地点：
授课方式及手段： 课堂讲授
教学目标：理解函数的单调区间与极值，会求函数的单调区间与极值
教学重难点：函数的单调区间与极值 教学过程与内容：
函数的单调区间与极值 1.函数的单调区间
由函数的单调性与导数的几何意义得定理3.1 （99p ） 2.驻点
若函数()f x 在点0x 处的一阶导数值为0，即()'00f x =，则称点0x 为函数()f x 的驻点，()
100p 定义
画出课本的图3-4 （100p ） 说明对于可导函数，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点
3.函数的极值
由图3-4引出定理3.2（100p ）
定理3.2 已知点0x 为可导函数()f x 的驻点，当点x 从驻点0x 的左方变化到右方时，那么：
（1）如果一阶导数()'
f
x 变号，且从正号（或负号）变化到负号（或正号）
，则驻点0x 为可导函数()f x 的极大值点（或极小值点）；
（2）如果一阶导数()'
f x 不变号，则驻点0x 不为可导函数()f x 的极值．
证：略
求函数极值的方法一 （1）求定义域 （2）求驻点
（3）求极值 （根据驻点左右两边导数符号求出极值） 例3，例5，例6，（1
02103p -
）
求函数极值的方法二，（定理3.3 105p ） （1）若()"00f x <，则0x 为函数的极大值点 （2）若()"00f x >，则0x 为函数的极小值点
课后练习：习题三 （123p ）7.（1）（2）（3）
阅读参考书目：
教学小结：求函数极值有两种方法
《微积分》 课程教案（十三）
课题：§3.4-§3.5函数的最值、函数曲线的凹向区间与拐点 课时：2 周次：10
授课日期：
地点：
授课方式及手段： 课堂讲授
教学目标：会求函数的最值、函数曲线的凹向区间和拐点
教学重难点：函数的最值、函数曲线的凹向区间和拐点 教学过程与内容：
一、函数的最值
1.复习求函数极值的方法二
若()"00f x <，则0x 为函数的极大值点 若()"00f x >，则0x 为函数的极小值点 2.函数的最值 （1）最值点
函数在区间I 内有惟一极大值点0x ，那么0x 也是函数的最大值点，（最大值点也一样） （2）求函数最值的方法 1)开区间内可导函数的最值 ⅰ求定义域 ⅱ求驻点
ⅲ求驻点的二阶导数值，根据二阶导数值符号，确定惟一极值点，从而求出最值点 例1.（105p ） 解：略
2)闭区间上可导函数的最值 ⅰ求驻点
ⅱ求驻点及区间端点的函数值
ⅲ比较驻点及区间端点的函数值，得到函数的最值 例3，（107p ）
解：略 例4（108p ）
二、函数曲线的凹向区间与拐点
1.引导学生讨论函数曲线的弯曲情况，如图3-7（109p ）,得出：
（1）函数曲线()y f x =在开区间（,a c ）内向上弯曲，曲线弧AC 在其切线的上方 （2）函数曲线()y f x =在开区间（,c b ）内向下弯曲，曲线弧AC 在其切线的下方 定义3.2（110p ）
2.判断函数曲线的凹向区间 定理
3.5（110p ） 推论（110p ） 3.函数曲线的拐点 定义3.3（110p ） 定理3.6（110p ）
4.求函数曲线的凹向区间与拐点
步骤：（1）确定二阶可导函数()f x 的定义域 （2）计算一阶导数()'
f
x 和二阶导数()"f x
（3）在定义域D 内，若二阶导数()"
f
x 恒非负
（或恒非正），则函数曲线()y f x =的上凹区间（或下凹区间）为定义域D ，这时无拐点．否则令二阶导数()"
0f x =，
求出全部根，并转入步骤（4）
（4）二阶导数()"
0f
x =的全部根将定义域D 分成几个开区间，列表判断在这
几个开区间内二阶导数()"
f
x 的正负号，于是确定函数曲线()y f x =的凹向区间、拐
点横坐标，计算拐点横坐标处的函数值即为拐点的纵坐标． 例2（111p ） 例4（112p ）
课后练习：习题三 3.09 3.10（1）（2）（3） 3.11（1）（2）阅读参考书目：
教学小结：略
课题：§3.7几何方面函数的优化 时间：2 周次：10
授课日期：
地点：
授课方式及手段： 课堂讲授
教学目标：掌握几何方面函数优化的方法
教学重难点：几何方面函数优化的方法 教学过程与内容：
一、函数的优化
求函数的最值点称为函数的优化 二、求函数优化的方法 （1）建立目标函数 （2）求目标函数的最优解 例1（118p ） 例2（119p ） 例3（119120p ）
课后练习：习题三 3.15 3.16 阅读参考书目： 教学小结：略
课题：第三章 导数的应用复习 课时：2 周次：11
授课日期：
地点：
授课方式及手段： 课堂讲授 教学目标：巩固导数的应用
教学重难点：函数的优化 教学过程与内容：
二、主要内容 1.洛必达法则
()()()
()
''
lim lim u x u x v x v x = 2.曲线的切线与法线
（1）切线 ()()'000y y f x x x -=- （2）法线 ()
()00'01
y y x x f x -=-
-
3.函数的单调区间与极值 （1）函数在开区间内可导，且()'
0f x >，则开区间为函数的单调增区间 （2）函数在开区间内可导，且()'
0f x <，则开区间为函数的单调减区间
（3）求函数极值的方法 1)求定义域 2)求驻点
3)列表求出函数极值与单调区间
4)在定义域内()()()
''
0,0f x f x ><或，函数无极值
4.函数的最值 （最值的概念课本127p ） （1）开区间内可导函数的最值 1)求定义域
2)求驻点
11 3)求驻点的二阶导数值，由二阶导数值的正负，确定惟一极值点，从而求出最值点
（2）闭区间上可导函数的最值
1)求驻点
2)求驻点及区间端点的函数值
3)比较以上函数值，得出函数的最值
5.函数曲线的凹向区间与拐点
6.几何方面函数的优化
（1）建立目标函数
（2）求目标函数的最优解
二、例题
习题三 （122125p ）
3.01 （7）（8）
3.02 （5）（6）
3.03 （3）（4）
3.06
3.07 （5）
3.09 （1）
3.10 （3）
3.11 （3）
3.12 （3）
课后练习：
阅读参考书目：
教学小结：略。