经济数学基础—微积分及应用第三章导数的应用

《微积分》 课程教案（十一 ）

课题：第三章 导数的应用

课时：2

§3.1-§3.2 洛必达法则与函数曲线的切线 周次：9

授课日期：

地点： 授课方式及手段： 课堂讲授

教学目标：掌握洛必达法则与函数曲线的切线和法线，能用洛必达法则求函数的

极限，会求曲线的切线和法线方程

教学重难点：洛必达法则及其应用 教学过程与内容：

第三章导数的应用

一、洛必达法则 引入洛必达法则

例：解一：()()()()222222356

31lim lim

lim 42224

x x x x x x x x x x x x →→→---+-===--+-+ 解二：()()

'

22

'

22

222

5656

251

lim

lim lim

4

24

4x x x x x x x x x x x

→→→-+-+-===---

由上面的例子得出洛必达法则（90p ） 应用洛必达法则求极限 例：用洛必达法则求下列极限

（1）用洛必达法则求函数的极限时要先判断所求极限是否为00型或∞

∞

型，然后再求解

()()

'

'32000003sin cos sin cos sin 2lim lim lim lim lim sin 3sin cos 3sin cos 3sin 2sin x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x →→→→→--===== 0111

lim

sin 233

2x x x

→=

()()'

22'222222221tan tan cos 36cos3sin 3sin 6cos lim lim lim lim lim lim 3tan 33cos 6cos sin sin 2tan 3cos 3x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

ππππππ→→→→→→-=====- 2

6c o s 6

l i m

3

2c o s 2

x x x π

→

==

1ln 111lim lim 1x

x

x x

x x x e e e e -→∞→∞+++===

例2（90p ） 例3（90p ） 例4（91p ） 例5（91p ） 例6（91p ）

（2）洛必达法则可以连续使用 例10（92p ） 例11（92p ） 例12（92p ）

二、曲线的切线和法线 1．切线方程：()()'

00y y f x x x -=-

2.法线方程：()

()00'01

y y x x f x -=--

例2 （96p ） 例3 （97p ）

课后练习：习题三 3.01（1）（3）（5）（7） 3.04 阅读参考书目：

教学小结：（1）应用洛必达法则时要注意它的条件（2）洛必达法则可以连续使用

（3）已知曲线方程和切点可以求切线方程

《微积分》 课程教案（十二）

课题：§3.3函数的单调区间与极值 课时：2 周次：9

授课日期：

地点：

授课方式及手段： 课堂讲授

教学目标：理解函数的单调区间与极值，会求函数的单调区间与极值

教学重难点：函数的单调区间与极值 教学过程与内容：

函数的单调区间与极值 1.函数的单调区间

由函数的单调性与导数的几何意义得定理3.1 （99p ） 2.驻点

若函数()f x 在点0x 处的一阶导数值为0，即()'00f x =，则称点0x 为函数()f x 的驻点，()

100p 定义

画出课本的图3-4 （100p ） 说明对于可导函数，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点

3.函数的极值

由图3-4引出定理3.2（100p ）

定理3.2 已知点0x 为可导函数()f x 的驻点，当点x 从驻点0x 的左方变化到右方时，那么：

（1）如果一阶导数()'

f

x 变号，且从正号（或负号）变化到负号（或正号）

，则驻点0x 为可导函数()f x 的极大值点（或极小值点）；

（2）如果一阶导数()'

f x 不变号，则驻点0x 不为可导函数()f x 的极值．

证：略

求函数极值的方法一 （1）求定义域 （2）求驻点

（3）求极值 （根据驻点左右两边导数符号求出极值） 例3，例5，例6，（1

02103p -

）

求函数极值的方法二，（定理3.3 105p ） （1）若()"00f x <，则0x 为函数的极大值点 （2）若()"00f x >，则0x 为函数的极小值点

课后练习：习题三 （123p ）7.（1）（2）（3）

阅读参考书目：

教学小结：求函数极值有两种方法

《微积分》 课程教案（十三）

课题：§3.4-§3.5函数的最值、函数曲线的凹向区间与拐点 课时：2 周次：10

授课日期：

地点：

授课方式及手段： 课堂讲授

教学目标：会求函数的最值、函数曲线的凹向区间和拐点

教学重难点：函数的最值、函数曲线的凹向区间和拐点 教学过程与内容：

一、函数的最值

1.复习求函数极值的方法二

若()"00f x <，则0x 为函数的极大值点 若()"00f x >，则0x 为函数的极小值点 2.函数的最值 （1）最值点

函数在区间I 内有惟一极大值点0x ，那么0x 也是函数的最大值点，（最大值点也一样） （2）求函数最值的方法 1)开区间内可导函数的最值 ⅰ求定义域 ⅱ求驻点

ⅲ求驻点的二阶导数值，根据二阶导数值符号，确定惟一极值点，从而求出最值点 例1.（105p ） 解：略

2)闭区间上可导函数的最值 ⅰ求驻点

ⅱ求驻点及区间端点的函数值

ⅲ比较驻点及区间端点的函数值，得到函数的最值 例3，（107p ）