高考数学 热点专题突破系列(三)数列的综合应用

(2)由(1)知
cn Sncos3nπSnSn32n322n232n,32nn是 ,n偶 是 数 奇 ， 数.
①当n是偶数时,
Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn=a2+a4+a6+…+an
பைடு நூலகம்
=6+12+18+…+3n=
3n n
2
.
4
②当n是奇数时，
Tn=Tn-1-Sn= 3n1n13n23n
【解析】(1)由an+1= 3 a n
所以
1
1
1
2 1.
a
n
1
可得
1 2 1 ， an1 3 3an
an1
3an 3
又 1 1 2 ≠0，所以 1 -1≠0(n∈N*)
a1
3
an
所以数列{ 1 -1}为首项为 2 ，公比为 1 的等比数列.
an
3
3
( 2 )由 (1)， 可 得
1 an
1
2 3
(－1)2n 22n－1
③,
因为{a2n}是递减数列,所以同理可得a2n+1-a2n<0,a2n+1-a2n=
(1)2n 2
(－212)n2n1
④,
由 ③ ④ 得 a n 1－ a n
(－ 1 ) n 1 ， 2n
所 以 a n a 1 ( a 2－ a 1 ) ( a 3－ a 2 ) ( a n－ a n－1 )
因为an=
3n 3n
2
,
所以 (3 n 3 n2 1 )(3 m 3 m 2 1 )(3 s3 s2 1 )2.
化简,得3m+3n=2·3s.
因为3m+3n≥2· 3m n =2·3s, 当且仅当m=n时等号成立,这与m,s,n互不相等矛盾,所以假设不成立,
即不存在满足条件的m,s,n.
【加固训练】(2015·南昌模拟)已知{an}是单调递增的等差数列, 首项a1=3,前n项和为Sn,数列{bn}是等比数列,首项b1=1,且a2b2=12, S3+b2=20. (1)求{an}和{bn}的通项公式. (2)令cn=Sncos(anπ)(n∈N*),求{cn}的前n项和Tn.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q, 则a2b2=(3+d)q=12, S3+b2=3a2+b2=3(3+d)+q=9+3d+q=20,3d+q=11,q=11-3d,则(3+d)(113d)=33+2d-3d2=12, 即3d2-2d-21=0,(3d+7)(d-3)=0. 因为{an}是单调递增的等差数列,所以d>0, 所以d=3,q=2, an=3+(n-1)×3=3n,bn=2n-1.
4
22
3 n 12 .
4
综上可得，Tn
3n
n
4
2
,
n是偶数，
3 4
n
12
，n是奇数.
5
an+1=
3an 2an
1
,n∈N*.
(1)求证：数列{ 1 -1}为等比数列.
an
(2)记Sn= 1 1 1 ，若Sn＜100，求最大正整数n.
a1 a2
an
(3)是否存在互不相等的正整数m,s,n，使m,s,n成等差数列，
且am-1，as-1,an-1成等比数列？如果存在，请给出证明；如果 不存在，请说明理由.
热点专题突破系列(三) 数列的综合应用
考点一 等差数列与等比数列的综合问题 【考情分析】等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点 (1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、 等差(比)中项、等差(比)数列的性质. (2)重点考查基本量(即“知三求二”,解方程(组))的计算以及灵活运 用等差、等比数列的性质解决问题.
3
p= 1 .
3
(2)因为{a2n-1}是递增数列,所以a2n+1-a2n-1>0,
于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0 ①,
由于
1 22n
1 22n－1
,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|
②,
由①②得(a2n-a2n-1)>0,
所以a2n-a2n-1=
(1)2n－1 2
1
(－ 1 ) 2 21
(－1 ) 3 22
(－1 ) n 2 n－1
1
1 2
1－ (－ 1 )n－1 2
1 1
4 3
1 3
(－1) 2 n－1
n
，
2
所
以
数
列
a n 的
通
项
公
式
为
an
4 3
1 3
(
－1) 2 n－1
n
．
【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中 间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公 差(公比)等,确定解题的顺序.
【规范解答】(1)因为{an}是递增数列,所以an+1-an=pn,
又a1=1,a2=p+1,a3=p2+p+1,
因为a1,2a2,3a3成等差数列,所以4a2=a1+3a3,4p+4=1+3p2+3p+3,3p2=p, 解得p= 1 或p=0,当p=0时,an+1-an=0,与{an}是递增数列矛盾,所以
(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果等比数列的公 比不能确定,则要看其是否有等于1的可能,在数列的通项问题中第一 项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是 巨大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解 决问题后还要注意结论的整合.
【变式训练】(2015·宁波模拟)已知数列{an}的首项a1= 3 ，
( 1 ) n1, 3
所 以 1 2 (1)n 1.
an
3
11
1
11
1
Sn
a1
a2
an
n
2( 3
32
3n )
n2
1 3
1 3 n 1
1 1
n
1
1 3n
，
3
若Sn＜100，则n+1- 3 1 n ＜100， 所以满足条件的最大正整数n为99.
(3)假设存在满足条件的m,s,n,则m+n=2s,(am-1)(an-1)=(as-1)2,
【典例1】(2014·湖南高考)已知数列{an}满足a1=1,|an+1-an| =pn,n∈N*.
(1)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p的值.
(2)若p= 1
2
,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项
公式.
【解题提示】(1)由{an}是递增数列,去掉绝对值号,求出前三项,再利 用a1,2a2,3a3成等差数列,得到关于p的方程即可求解. (2){a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,可以去掉绝对值号,再利用叠 加法求通项公式.