河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评(数学理)

河北衡水金卷2018—2019年度高三第三次联合质量测评

数学（理科）

本试卷共6页满分150分考试用时120分钟

注意事项：

l ．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．

第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()12z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

2．已知全集U R =，集合(){}{}

()22log 21,340U A x x B x x x C A =-<=--<，则B ⋂为

A ．∅

B ．{}12x x -<≤

C ．{}4x x -<<3

D ．{}

42x x -<≤

3．若命题p 为：[)1,,sin cos x x x p ∀∈+∞+≤

⌝为

A ．[)1,,sin cos x x x ∀∈+∞+>

B ．[),1,sin cos x x x ∃∈-∞+>

C ．[)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>

D ．(),1,sin cos x x x ∀∈-∞+≤4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为

A ．14

B ．16

C ．18

D ．20

5．如图所示，分别以正方形ABCD 两邻边AB 、AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点O ．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为

A ．32

8π- B.

8πC ．28π+D ．68π-6．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)()()2f x f x +=；(2)

()2f x -为奇函数；(3)当()1,1x ∈-时，()f x 图象连续且()0f x '>恒成立，则()1511,4,22f f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系正确的为A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>-

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()15114

22f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

7．一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何

体的表面积为

A ．8+

B ．12+

C ．8+

D ．18+8．如图所示，边长为2的正方形ABCD 中，

E 为BC 边中点，点P 在对角线BD 上运动，过点P 作AE 的垂线，垂足为

F ，当AE EP ⋅ 最小时，FC =

A ．2334A

B AD + B ．3243

AB AD + C ．4355AB AD + D ．3455AB AD + 9．已知双曲线22:13

y C x -=的左、右焦点分别为12F F 、，左、右顶点分别为A 、B ，过点1F 的直线与双曲线C 的右支交于P 点，且22cos ,AP AP AF AF ABP =∆ ，则的外接圆面积为

A B ．C ．5πD ．10π

10．利用一半径为4cm 的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥．方法如下：

(1)以O 为圆心制作一个小的圆；

(2)在小的圆内制作一内接正方形ABCD ；

(3)以正方形ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大

圆上(如图)；(4)将正方形ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧

面折起，使四个等腰三角形的顶点重合．问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为

A ．42

5B ．62

5C ．82

5D ．11．已知椭圆()22

10,0x y C a t a t a

+=>>+：两个焦点之间的距离为2，单位圆O 与,x y 的正半轴分别交于M ，N 点，过点N 作圆O 的切线交椭圆于P ，Q 两点，且PM MQ ⊥，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为

A ．22

2B ．2

2

C 1

D ．3-12．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛

⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭，两个等式：0,04444f x f x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意的实数x 均恒成立，且()3016f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭

在，上单调，则ω的最大值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题。考生根据要求作答。

山东中学联盟

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13．若实数,x y 满足约束条件220,10,32220,x y x y z x y x y ++≥⎧⎪-+≥=-⎨⎪-++≥⎩

则的最小值为__________．

14．二项式()0,0n

b ax a b x ⎛⎫+>> ⎪⎝

⎭的展开式中，设“所有二项式系数和”为A ，“所有项的系数和”为B ，“常数项”值为C ，若256,70A B C ===，则含6x 的项为________．15．已知圆()()()22:23221C x y M P -+-=-，点，，为圆外任意一点．过点P 作圆C 的一条切线，切点为N ，设点P 满足PM PN =时的轨迹为E ，若点A 在圆C 上运动，B 在轨迹E 上运动，则AB 的最小值为___________．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()cos f x f x x -+=，又当0x ≤时，()12f x '≥成立，若()2cos 224f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则实数t 的取值范围为_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

山东中学联盟(一)必考题：共60分。

17．(12分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为36,,60,452

a b c a A C =

== 且.(1)求c 的值；

(2)以AB 为一边向外(与点C 不在AB 同侧)作一新的△ABP ，使得30APB ∠= ，求ABP ∆面积的最大值．18．(12分)

随着经济的发展，个人收入的提高．自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整．调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额．依照个人所得税税率表，调整前后的

计算方法如下表：

(1)假如小李某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记x 表示总收入，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；

(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100

个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

①先从收入在[3000，5000)及[5000，7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用a 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000，5000)元的人数，b 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000，7000)元的人数，随机变量Z a b =-，求Z 的分布列与数学期望；

②小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？

19．(12分)

如图所示，底面为菱形的直四棱柱1111A B C D ABCD -被过三点

11C B D 、、的平面截去一个三棱锥111C CB D -(图一)得几何体111A B D ABCD -(图二)，E 为11B D 的中点．(1)点F 为棱1AA 上的动点，试问平面11FB D 与平面1CEA 是否垂直?请

说明理由；(2)设12,60,4AB BAD AA =∠== ，当点F 为1AA 中点时，求锐二面角11F B D C --的余弦值．

20．(12分)

设抛物线()240C y mx m =>：的焦点为F ，已知直线0x y m --=与抛物线C 交于A ，B 两点(A ，B 两点分别在x 轴的上、下方)．

(1)

求证：AF BF =；

(2)已知弦长8AB =，试求：过A ，B 两点，且与直线30x y ++=相切的圆D 的方程．

21．(12分)

已知函数()21f x ax =+．

(1)若()()1,x xf x x a g x e -==

，证明：当()51x g x ≥<时，；(2)设()()1

1x f x h x e -=-，若函数()()0h x +∞在，上有2个不同的零点，求实数a 的取值范围．

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨

=+⎩(t 为参数，0απ<<)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+.(1)当6

a π=时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点()1,1P -，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅

的取值范围．