同济版 高等数学(上册) 第三章课件6
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2
课 前 导 读
b
定积分 f ( x)dx 对被积函数和积分区间都有要求.
a
(1)积分区间为 a, b ,是有限区间; (2)被积函数 f x 在 a, b 上是有界的,一般还要求是连续的.
然而在实际问题中,往往会遇到不满足上述条件的情形. 例如,将火箭发射到 远离地球的太空中去,要计算克服地心引力所作的功,这就需要考虑积分区间为无 限的积分 . 因此有必要推广定积分的概念 , 即把积分区间扩展到无穷区间 , 比如 :
1
dx 的敛散性. p x
1
解 当 p 1 时，
当 p 1 时，
1
dx ln x x
1 p 1
, 故反常分发散；
1
dx x p x 1 p
, 1 p 1 ,
p 1, p 1.
因此反常积分
1
dx 当 p 1 时发散，当 p 1 时收敛. p x
b
f x dx 发散.
7
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
从定义中看出一个反常积分化为计算定积分与取极限两部分 ,这都是我们 熟悉的知识；同时 a 是任意取的，因此 lim 方式都成立.
b
a a
f x dx A 必须对任意一种趋近
b
当反常积分
例 5 计算反常积分 ln xdx .
0 1
第三章 一元函数积分学及其应用
解
1 ln x d x x ln x d x x ln x x 0 0 0 1 ，
a a c
b
c
b
否则称 f x dx 发散.
a
b
无界函数的反常积分在形式上与定积分没有区别，故需要注意对它的识别.
18
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
第三章 一元函数积分学及其应用
若 F x f x , x (a, b) ，则 f x dx F b F a ，其中
b b a
设 函 数 f x 在 区 间 a, 上 连 续 ， 取 b a ， 如 果 极 限
lim f x dx 存在，则称此极限为函数 f x 在无穷区间 a, 上的反常积分，
a
记作
f x dx , 即
这时也称反常积分
x x a a
记 F lim F x ， F lim F x ，
x x
则广义积分可表示为
a
f x dx F F a F ( x)a ，
b
f x dx F b F F ( x) ，
b
f x dx F F .
11
一、无限区间上的反常积分
例 1 分别计算
第三章 一元函数积分学及其应用
0
0 1 1 1 d x d x dx . ， 和 2 2 2 1 x 1 x 1 x
解
0
1 π π dx a r c t x an 0； 0 2 1 x 2 2
0
1 1 x 2 dx arctan x
0
π π 0 ； 2 2
1 1 x2 dx arctan x
π π π . 2 2
12
一、无限区间上的反常积分
例 2 讨论反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
a
b
当 a 为函数 f x 的瑕点且 F a f a 时， F a lim F x ；
xa
F x . 当 b 为函数 f x 的瑕点且 F b f b 时， F b lim
x b
19
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
0 0 0
发散，从而反常积分
cos xdx 也发散.
14
一、无限区间上的反常积分
例 4 计算反常积分
解
第三章 一元函数积分学及其应用
0
ln( x 1) dx . 2 ( x 1)
用分部积分法，有 ln( x 1) 1 0 ( x 1)2 dx 0 ln( x 1)d x 1
这是一个非常重要的反常积分，应记住它的结果.
13
一、无限区间上的反常积分
例 3 讨论反常积分 cos xdx 的敛散性.
第三章 一元函数积分学及其应用
解
由于
cos xdx cos xdx cos xdx .
0
0
cos xdx sin x , 因为极限 lim sin x 不存在，故反常积分 cos xdx x
1
第三章 一元函数积分学及其应用
b
1
1 dx ln x x
b 1
ln b .
4
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
定积分的几何意义是在对应区间上曲边梯形面积的代数和.. 现在我们让 b ， 取 对应的定积分的极限，则有
1 dx lim arctan x b 0 1 x 2 b lim
0
b a
b a
f x dx 存在，则称此极限为函数 f x 在 a, b 上的反常积分，
仍记作 f x dx , 即
b
f x dx lim
a 0
b
b
a
b
f x dx ，
f x dx 不存在，则称反常积分
也称反常积分 f x dx 收敛 . 如果极限 lim
f
dx
x
也称反常积分
f x dx 收敛，否则就称反常积分
f x dx 发散.
10
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
如果 F 、 F 均存在，则
若 F x f x ，则 f x dx f t dt F ( x) F (a) .
b
b 1
b 0
lim arctan b
b
π ； 2
lim
b
1 dx lim ln x b x
b 1
lim ln b .
b
5
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
1 曲线 y 与 y 轴， x 轴正半轴所“围”的图形可以向 x 轴正方向无限延伸 2 1 x π 1 （见图 3-54)， 且有“有限”面积 , 对应的积分极限存在； 而曲线 y ， 与 x 1， 2 x x 轴正半轴所“围”的图形也可以向 x 轴正方向无限延伸（见图 3-55）， 同时 “ 面
第三章 一元函数积分学及其应用
Advanced mathematics
第三章
一元函数积分学及其应用
高等数学
人民邮电出版社
1
第三章
内容导航
第三章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的换元法与分部法
第三节 有理函数的不定积分
第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的换元法和分部法 第八节 反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
定义 3
c
f x dx ,
c
f x dx 均收敛，
则称上述两反常积分之和为函数 f x 在无穷区间 , 内的反常积分，
记作
f
xd
， x
即
f
xd
x
c
d x f x c
积”也无限增大, 故对应的极限不存在. 这就是我们这一节要讨论的反常积分的 “几何意义”. 下面给出反常积分的定义.
y y 1 y 1x2 1 y x 反常积分 O 图3-54 1 b x O 1 图3-55 2 b x
6
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
定 义 1 设 函 数 f x 在 区 间 , b 上 连 续 ， 取 a b ， 如 果 极 限
a
0
a
f x dx 发散.
a
b
16
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
第三章 一元函数积分学及其应用
定义 5 设函数 f x 在 a, b 上连续，点 b 为函数 f x 的瑕点，任取 0 ， 如果极限 lim
0
b a
b a
f x dx 存在，则称此极限为函数 f x 在 a, b 上的反常积分，
, b , a, 或 , ,
或者被积函数 f x 在积分区间内是无界时的情形,
从而形成“反常积分”(广义积分)的概念, 而原来的定积分可以称为常义积分.
3
一、无限区间上的反常积分
先看几个定积分：
1 π 1 0 1 x 2 dx arctan x 0 arctan1 4 ， b 1 b d x arctan x 0 arctan b ； 0 1 x 2 21 2 d x ln x 1 ln 2 ， 1 x
仍记作 f x dx . 即
f x dx lim
a 0
b
b
a
f x dx ，
b a
也称反常积分 f x dx 收敛. 如果极限 lim
a
b
0
f x dx 不存在，则称反常积
分 f x dx 发散.
a
b
17
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
a
a
f x dx lim f x dx .
b a
b
f xd x 收 敛 . 如 果 这 个 极 限 不 存 在 ， 则 称 反 常 积 分
a
f xd x发散.
9
一、无限区间上的反常积分
设函数 f x 在区间 , 上连续，若
第三章 一元函数积分学及其应用
定义 6 设函数 f x 在 a, c , c, b 上连续，点 c 为函数 f x 的瑕点，如果
f x dx 及 f x dx 均收敛，则定义
a c
c
b
f x dx f x dx f x dx ，
f x dx 收敛时，
b
b
f x dx 表示一个数，而当反常积分
b
f x dx 发散时，
f x dx 仅是一个符号.
8
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
同样可以定义区间 a, 或 , 上的反常积分.
定义 2
a a
lim f x dx 存在，则称此极限为函数 f x 在无穷区间 , b 上的反常积分，
b
记作
b
f x dx ，即
这时也称反常积分
b
f x dx lim
a a
f x dx .
b
b
f x dx 收 敛 . 如 果 这 个 极 限 不 存 在 ， 则 称 反 常 积 分
1 1 ln( x 1) |0 dx 0 x 1 x 1 x 1 ln( x 1) 1 lim 0 dx 2 0 x + x 1 x 1
1 1 0 | lim 1 1. 0 x 1 x x 1
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二、无界函数的反常积分（瑕积分）
第三章 一元函数积分学及其应用
如果函数 f x 在点 x a 的任一邻域内都无界， 则称点 a 为函数 f x 的瑕点 （也称为无界间断点） ，无界函数的反常积分也称瑕积分.
定义 4 设函数 f x 在 a, b 上连续，点 a 为函数 f x 的瑕点，任取 0 ， 如果极限 lim
课 前 导 读
b
定积分 f ( x)dx 对被积函数和积分区间都有要求.
a
(1)积分区间为 a, b ,是有限区间; (2)被积函数 f x 在 a, b 上是有界的,一般还要求是连续的.
然而在实际问题中,往往会遇到不满足上述条件的情形. 例如,将火箭发射到 远离地球的太空中去,要计算克服地心引力所作的功,这就需要考虑积分区间为无 限的积分 . 因此有必要推广定积分的概念 , 即把积分区间扩展到无穷区间 , 比如 :
1
dx 的敛散性. p x
1
解 当 p 1 时，
当 p 1 时，
1
dx ln x x
1 p 1
, 故反常分发散；
1
dx x p x 1 p
, 1 p 1 ,
p 1, p 1.
因此反常积分
1
dx 当 p 1 时发散，当 p 1 时收敛. p x
b
f x dx 发散.
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一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
从定义中看出一个反常积分化为计算定积分与取极限两部分 ,这都是我们 熟悉的知识；同时 a 是任意取的，因此 lim 方式都成立.
b
a a
f x dx A 必须对任意一种趋近
b
当反常积分
例 5 计算反常积分 ln xdx .
0 1
第三章 一元函数积分学及其应用
解
1 ln x d x x ln x d x x ln x x 0 0 0 1 ，
a a c
b
c
b
否则称 f x dx 发散.
a
b
无界函数的反常积分在形式上与定积分没有区别，故需要注意对它的识别.
18
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
第三章 一元函数积分学及其应用
若 F x f x , x (a, b) ，则 f x dx F b F a ，其中
b b a
设 函 数 f x 在 区 间 a, 上 连 续 ， 取 b a ， 如 果 极 限
lim f x dx 存在，则称此极限为函数 f x 在无穷区间 a, 上的反常积分，
a
记作
f x dx , 即
这时也称反常积分
x x a a
记 F lim F x ， F lim F x ，
x x
则广义积分可表示为
a
f x dx F F a F ( x)a ，
b
f x dx F b F F ( x) ，
b
f x dx F F .
11
一、无限区间上的反常积分
例 1 分别计算
第三章 一元函数积分学及其应用
0
0 1 1 1 d x d x dx . ， 和 2 2 2 1 x 1 x 1 x
解
0
1 π π dx a r c t x an 0； 0 2 1 x 2 2
0
1 1 x 2 dx arctan x
0
π π 0 ； 2 2
1 1 x2 dx arctan x
π π π . 2 2
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一、无限区间上的反常积分
例 2 讨论反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
a
b
当 a 为函数 f x 的瑕点且 F a f a 时， F a lim F x ；
xa
F x . 当 b 为函数 f x 的瑕点且 F b f b 时， F b lim
x b
19
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
0 0 0
发散，从而反常积分
cos xdx 也发散.
14
一、无限区间上的反常积分
例 4 计算反常积分
解
第三章 一元函数积分学及其应用
0
ln( x 1) dx . 2 ( x 1)
用分部积分法，有 ln( x 1) 1 0 ( x 1)2 dx 0 ln( x 1)d x 1
这是一个非常重要的反常积分，应记住它的结果.
13
一、无限区间上的反常积分
例 3 讨论反常积分 cos xdx 的敛散性.
第三章 一元函数积分学及其应用
解
由于
cos xdx cos xdx cos xdx .
0
0
cos xdx sin x , 因为极限 lim sin x 不存在，故反常积分 cos xdx x
1
第三章 一元函数积分学及其应用
b
1
1 dx ln x x
b 1
ln b .
4
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
定积分的几何意义是在对应区间上曲边梯形面积的代数和.. 现在我们让 b ， 取 对应的定积分的极限，则有
1 dx lim arctan x b 0 1 x 2 b lim
0
b a
b a
f x dx 存在，则称此极限为函数 f x 在 a, b 上的反常积分，
仍记作 f x dx , 即
b
f x dx lim
a 0
b
b
a
b
f x dx ，
f x dx 不存在，则称反常积分
也称反常积分 f x dx 收敛 . 如果极限 lim
f
dx
x
也称反常积分
f x dx 收敛，否则就称反常积分
f x dx 发散.
10
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
如果 F 、 F 均存在，则
若 F x f x ，则 f x dx f t dt F ( x) F (a) .
b
b 1
b 0
lim arctan b
b
π ； 2
lim
b
1 dx lim ln x b x
b 1
lim ln b .
b
5
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
1 曲线 y 与 y 轴， x 轴正半轴所“围”的图形可以向 x 轴正方向无限延伸 2 1 x π 1 （见图 3-54)， 且有“有限”面积 , 对应的积分极限存在； 而曲线 y ， 与 x 1， 2 x x 轴正半轴所“围”的图形也可以向 x 轴正方向无限延伸（见图 3-55）， 同时 “ 面
第三章 一元函数积分学及其应用
Advanced mathematics
第三章
一元函数积分学及其应用
高等数学
人民邮电出版社
1
第三章
内容导航
第三章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的换元法与分部法
第三节 有理函数的不定积分
第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的换元法和分部法 第八节 反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
定义 3
c
f x dx ,
c
f x dx 均收敛，
则称上述两反常积分之和为函数 f x 在无穷区间 , 内的反常积分，
记作
f
xd
， x
即
f
xd
x
c
d x f x c
积”也无限增大, 故对应的极限不存在. 这就是我们这一节要讨论的反常积分的 “几何意义”. 下面给出反常积分的定义.
y y 1 y 1x2 1 y x 反常积分 O 图3-54 1 b x O 1 图3-55 2 b x
6
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
定 义 1 设 函 数 f x 在 区 间 , b 上 连 续 ， 取 a b ， 如 果 极 限
a
0
a
f x dx 发散.
a
b
16
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
第三章 一元函数积分学及其应用
定义 5 设函数 f x 在 a, b 上连续，点 b 为函数 f x 的瑕点，任取 0 ， 如果极限 lim
0
b a
b a
f x dx 存在，则称此极限为函数 f x 在 a, b 上的反常积分，
, b , a, 或 , ,
或者被积函数 f x 在积分区间内是无界时的情形,
从而形成“反常积分”(广义积分)的概念, 而原来的定积分可以称为常义积分.
3
一、无限区间上的反常积分
先看几个定积分：
1 π 1 0 1 x 2 dx arctan x 0 arctan1 4 ， b 1 b d x arctan x 0 arctan b ； 0 1 x 2 21 2 d x ln x 1 ln 2 ， 1 x
仍记作 f x dx . 即
f x dx lim
a 0
b
b
a
f x dx ，
b a
也称反常积分 f x dx 收敛. 如果极限 lim
a
b
0
f x dx 不存在，则称反常积
分 f x dx 发散.
a
b
17
二、无界函数的反常积分（瑕积分）
a
a
f x dx lim f x dx .
b a
b
f xd x 收 敛 . 如 果 这 个 极 限 不 存 在 ， 则 称 反 常 积 分
a
f xd x发散.
9
一、无限区间上的反常积分
设函数 f x 在区间 , 上连续，若
第三章 一元函数积分学及其应用
定义 6 设函数 f x 在 a, c , c, b 上连续，点 c 为函数 f x 的瑕点，如果
f x dx 及 f x dx 均收敛，则定义
a c
c
b
f x dx f x dx f x dx ，
f x dx 收敛时，
b
b
f x dx 表示一个数，而当反常积分
b
f x dx 发散时，
f x dx 仅是一个符号.
8
一、无限区间上的反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
同样可以定义区间 a, 或 , 上的反常积分.
定义 2
a a
lim f x dx 存在，则称此极限为函数 f x 在无穷区间 , b 上的反常积分，
b
记作
b
f x dx ，即
这时也称反常积分
b
f x dx lim
a a
f x dx .
b
b
f x dx 收 敛 . 如 果 这 个 极 限 不 存 在 ， 则 称 反 常 积 分
1 1 ln( x 1) |0 dx 0 x 1 x 1 x 1 ln( x 1) 1 lim 0 dx 2 0 x + x 1 x 1
1 1 0 | lim 1 1. 0 x 1 x x 1
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二、无界函数的反常积分（瑕积分）
第三章 一元函数积分学及其应用
如果函数 f x 在点 x a 的任一邻域内都无界， 则称点 a 为函数 f x 的瑕点 （也称为无界间断点） ，无界函数的反常积分也称瑕积分.
定义 4 设函数 f x 在 a, b 上连续，点 a 为函数 f x 的瑕点，任取 0 ， 如果极限 lim