实验三 z变换及离散时间LTI系统的z域分析

实验三 z 变换及离散时间LTI 系统的z 域

分析

一． 实验目的

● 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ● 学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点；

● 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ●

学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。

二．实验原理及实例分析 1. z 正反变换

序列()n x 的z 变换定义为

()()[]()∑∞

-∞

=-=

=n n

z

n x n x z X Z （3-1）

其中，符号Z 表示取z 变换，z 是复变量。相应地，单边z 变换定义为

()()[]()∑∞

=-==0

n n z n x n x z X Z （3-2）

MATLAB 符号数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z 变换的函数ztrans 和z 反变换函数iztrans ，其语句格式分别为

Z=ztrans(x) x=iztrans(z)

上式中的x 和Z 分别为时域表达式和z 域表达式的符号表示，可通过sym 函数来定义。 注意：符号变量和符号表达式在使用前必须说明；

matlab 提供了两个建立符号变量的函数：sym 和syms ，两个函数的用法不同 （1）sym 函数用来建立单个符号变量，调用格式： 符号变量名=sym('符号字符串')

该函数可以建立一个符号量，符号字符串也可以是常量、变量、函数或表达式。 >>f1=sym(‘a x^2+b x+c ’) %创建符号变量f1和一个符号表达式

（2）函数sym 一次只能定义一个符号变量，而syms 函数一次可以定义多个符号变量，调用格式为：

syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n

用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(')，变量间用空格而不

要用逗号分隔。

>> syms a b c x

（3）MATLAB 提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(s)

【实例3-1】 试用ztrans 函数求下列函数的z 变换。

（1）)()cos()(n u n a n x n

π=； （2）)(])2(2[)(11

n u n x n n ----=。

解：（1）z 变换MATLAB 源程序为

>>x=sym('a^n*cos(pi*n)'); >>Z=ztrans(x); >>simplify(Z) ans = z/(a + z)

（2）z 变换MA TLAB 源程序为

>>x=sym('2^(n-1)-(-2)^(n-1)'); >>Z=ztrans(x); >>simplify(Z) ans =

z/(2*(z - 2)) + z/(2*(z + 2))

【实例3-2】 试用iztrans 函数求下列函数的z 反变换。

（1）65198)(2+--=z z z z X （2）3

2)

2)(1()12112()(--+-=z z z z z z X 解：（1）z 反变换MA TLAB 源程序为

>>Z=sym('(8*z-19)/(z^2-5*z+6)'); >>x=iztrans(Z); >>simplify(x) ans =

(3*2^n)/2 + (5*3^n)/3 - (19*kroneckerDelta(n, 0))/6

其中，kroneckerDelta(n, 0)是)(n δ函数在MA TLAB 符号工具箱中的表示，反变换后的函数形式为：

)()2335()(6

19

)(11n u n n x n n --⨯+⨯+-

=δ。 （2）z 反变换MATLAB 源程序为

>>Z=sym('z*(2*z^2-11*z+12)/(z-1)/(z-2)^3'); >>x=iztrans(Z); >>simplify(x)

ans =

3*2^n - (2^n*n)/4 - (2^n*n^2)/4 - 3

其函数形式为)()24

1241233()(2n u n n n x n

n n

--

⨯+-=。 如果信号的z 域表示式)(z X 是有理函数，进行z 反变换的另一个方法是对)(z X 进行部分分式展开，然后求各简单分式的z 反变换。设)(z X 的有理分式表示为

)()

(1)(221122110z A z B z

a z a z a z

b z b z b b z X n

n m m =++++++++=------ （3-3） MATLAB 信号处理工具箱提供了一个对)(z X 进行部分分式展开的函数residuez ，其语句格式为

[R,P,K]=residuez(B,A)

其中，B ，A 分别表示X(z)的分子与分母多项式的系数向量；R 为部分分式的系数向量；P 为极点向量；K 为多项式的系数。若X(z)为有理真分式，则K 为零。

【实例3-3】 试用MA TLAB 命令对函数3

21431818)(-----+=z z z z X 进行部分分式

展开，并求出其z 反变换。

解：MATLAB 源程序为

>>B=[18]; >>A=[18,3,-4,-1]; >>[R,P,K]=residuez(B,A) R= 0.3600 0.2400 0.4000 P= 0.5000 -0.3333 -0.3333 K= []

从运行结果可知，32p p =，表示系统有一个二重极点。所以，X(z)的部分分式展开为

2111)

3330.314.03333.0124.05.0136.0)(---++++-=

z z z z X （ 因此，其z 反变换为

)(])3333.0)(1(4.0)3333.0(24.0)5.0(36.0[)(n u n n x n n n -++-⨯+⨯=

2. 系统函数的零极点分析

离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即