2021版新高考数学一轮复习第五章平面向量复数5.4复数课件新人教B版
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1 i (1 i)(1 i) 2 2 2
所以,其共轭复数为 1 3 i.
22
答案: 1 3 i.
22
考点一 复数的概念
【题组练透】
1.(2019·合肥模拟)已知a,b均为实数,若 a b =1(i为虚数单位),则a+b=
1i 1i
()
A.0
B.1
C.2
D.-1
2.(2020·吉林模拟)设i是虚数单位, 1 2i 为实数,则实数a的值为
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0在C上一定有根.
()
(2)复数可以相等,也可以比较大小. ( )
(3)复数a+bi的虚部是bi(a,b∈R). ( )
提示:(1) √.当Δ≥0时有实数根,当Δ<0时有虚数根.
(2)×.虚数不能比较大小.
(3)×.复数a+bi的虚部是b.
【易错点索引】
序号 1 2 3 4 5
答案:-2
【规律方法】 关于复数的概念 (1)明确复数的分类、复数相等、共轭复数,复数的模的概念. (2)解题时先要将复数化为代数形式,确定实部和虚部后解题.
考点二 复数的几何意义
百度文库
【典例】1.在复平面内与复数z= 5i 所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A
1 2i
对应的复数为 ( )
A.1+2i
ai
A.1
B.2
C. 1
D. 3
2
2
()
3.已知复数z满足:(2-i)·z=1,则 | z 2 | =
5
A. 1
B. 1
C. 5
25
5
5
4.已知复数z的共轭复数是 z ,且|z|- z =
世纪金榜导学号
()
D. 2
5
2 i ,则z的虚部是________.
i
【解析】1.选C.由 a b =1,
易错警示 复数分类概念不清 忽视化为复数的代数形式 忽视复数与点的对应关系 忽视复数几何意义的应用 忽视三角公式的应用
典题索引 考点一、T2 考点一、T4 考点二、T2 考点二、T3 考点三、角度3
【教材·基础自测】
1(选修2-2P89练习BT2改编 )已知z=(m+1)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,
【常用结论】
(1)(1±i)2=±2i；1＋i ＝i；1－i ＝－i.
1－i 1＋i
(2) i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i.
(3)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，n∈N*.
(4)|z|2=| z|2=z· z
=|z2|=|
2
z
|.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
B.1-2i
C.-2+i
D.2+i
2.(2020·郑州模拟)已知复数z1= 2 i 在复平面内对应的点为A,复数z2在复平
2i
面内对应的点为B,若向量 AB 与虚轴垂直,则z2的虚部为________. 3.(2019·太原模拟)若z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小值分别为
第四节 复 数
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.复数的有关概念 复数：设a，b都是实数，形如_a_+_b_i_的数叫做复数，i叫做虚数单位. 复数相等：a+bi=c+di⇔_a_=_c_且___b_=_d_(a，b，c，d∈R). 共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔_a_=_c_且___b_=_-_d_(a，b，c，d∈R). 复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做_实__轴__，y轴叫 做_虚__轴__，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的模：设复数a+bi(a，b∈R)对应的向量为 OZ，则向量 OZ的长度叫做复数z=a+bi 的模(或绝对值)，记作|z|，|z|=|a+bi|= a2 b2 .
2.复数的几何意义
复数z=a+bi(a，b∈R)
复平面内的点Z(a，b)
3.复数代数形式的四则运算
平面向量 OZ.
(1)运算法则：
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则 z1±z2=(a+bi)±(c+di)= _(_a_±__c_)_+_(_b_±__d_)_i_， z1·z2=(a+bi)(c+di)= _(_a_c_-_b_d_)_+_(_a_d_+_b_c_)_i_，
则实数m的取值范围是 ( )
A.(-1,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)
【解析】选A.要使复数z对应的点在第四象限,应满足
m 1 m 1
0 解得-1<m<1.
0，
2.(选修2-2P93例1改编 )如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是 OA,OB ,则z1·z2=________.
M,m,则M-m=________.
1i 1i
得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2,
即(a+b)+(a-b)i=2,则
a b 2 a b 0
.所以a+b=2.
2.选C.因为
1 2i ai
((1a2ii））((aaii））
a2 a2 1
2a a2
1i 1
为实数,所以2a-1=0,即a=
1 2
.
3.选B.由(2-i)·z=1,
得z= 1 2 i 2 1 i，
2 i (2 i）(2 i） 5 5
所以 |z 2|＝|2 1 i 2|＝| 1 i|＝1 .
5 55 5 5 5
4.设z=a+bi(a,b∈R),
由|z|- z＝2 i ,得
i
a2 b2 -a+bi=
2i i
,
所以2+i=-b+( a2 b2 -a)i,所以b=-2.
z1 a bi a bic di =__ac_c2___bdd_2 __bc_c2___dad_2 _i ___(c+di≠0). z2 c di c dic di
(2)复数加法的运算律：
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1+z2=_z_2+_z_1_； ②结合律：(z1+z2)+z3= _z_1_+_(_z_2+_z_3_)_.
【解析】z1=-2+i,z2=1+2i, z1·z2=(-2+i)(1+2i)=-4-3i. 答案:-4-3i
3.(选修2-2P94练习AT2改编)复数z= 2 i (i为虚数单位)的共轭复
1i
数是________.
【解析】因为z= 2 i (2 i)(1 i) 1 3i 1 3 i，
所以,其共轭复数为 1 3 i.
22
答案: 1 3 i.
22
考点一 复数的概念
【题组练透】
1.(2019·合肥模拟)已知a,b均为实数,若 a b =1(i为虚数单位),则a+b=
1i 1i
()
A.0
B.1
C.2
D.-1
2.(2020·吉林模拟)设i是虚数单位, 1 2i 为实数,则实数a的值为
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0在C上一定有根.
()
(2)复数可以相等,也可以比较大小. ( )
(3)复数a+bi的虚部是bi(a,b∈R). ( )
提示:(1) √.当Δ≥0时有实数根,当Δ<0时有虚数根.
(2)×.虚数不能比较大小.
(3)×.复数a+bi的虚部是b.
【易错点索引】
序号 1 2 3 4 5
答案:-2
【规律方法】 关于复数的概念 (1)明确复数的分类、复数相等、共轭复数,复数的模的概念. (2)解题时先要将复数化为代数形式,确定实部和虚部后解题.
考点二 复数的几何意义
百度文库
【典例】1.在复平面内与复数z= 5i 所对应的点关于虚轴对称的点为A,则A
1 2i
对应的复数为 ( )
A.1+2i
ai
A.1
B.2
C. 1
D. 3
2
2
()
3.已知复数z满足:(2-i)·z=1,则 | z 2 | =
5
A. 1
B. 1
C. 5
25
5
5
4.已知复数z的共轭复数是 z ,且|z|- z =
世纪金榜导学号
()
D. 2
5
2 i ,则z的虚部是________.
i
【解析】1.选C.由 a b =1,
易错警示 复数分类概念不清 忽视化为复数的代数形式 忽视复数与点的对应关系 忽视复数几何意义的应用 忽视三角公式的应用
典题索引 考点一、T2 考点一、T4 考点二、T2 考点二、T3 考点三、角度3
【教材·基础自测】
1(选修2-2P89练习BT2改编 )已知z=(m+1)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,
【常用结论】
(1)(1±i)2=±2i；1＋i ＝i；1－i ＝－i.
1－i 1＋i
(2) i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i.
(3)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，n∈N*.
(4)|z|2=| z|2=z· z
=|z2|=|
2
z
|.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
B.1-2i
C.-2+i
D.2+i
2.(2020·郑州模拟)已知复数z1= 2 i 在复平面内对应的点为A,复数z2在复平
2i
面内对应的点为B,若向量 AB 与虚轴垂直,则z2的虚部为________. 3.(2019·太原模拟)若z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小值分别为
第四节 复 数
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.复数的有关概念 复数：设a，b都是实数，形如_a_+_b_i_的数叫做复数，i叫做虚数单位. 复数相等：a+bi=c+di⇔_a_=_c_且___b_=_d_(a，b，c，d∈R). 共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔_a_=_c_且___b_=_-_d_(a，b，c，d∈R). 复平面：建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x轴叫做_实__轴__，y轴叫 做_虚__轴__，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数的模：设复数a+bi(a，b∈R)对应的向量为 OZ，则向量 OZ的长度叫做复数z=a+bi 的模(或绝对值)，记作|z|，|z|=|a+bi|= a2 b2 .
2.复数的几何意义
复数z=a+bi(a，b∈R)
复平面内的点Z(a，b)
3.复数代数形式的四则运算
平面向量 OZ.
(1)运算法则：
设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，则 z1±z2=(a+bi)±(c+di)= _(_a_±__c_)_+_(_b_±__d_)_i_， z1·z2=(a+bi)(c+di)= _(_a_c_-_b_d_)_+_(_a_d_+_b_c_)_i_，
则实数m的取值范围是 ( )
A.(-1,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-1)
【解析】选A.要使复数z对应的点在第四象限,应满足
m 1 m 1
0 解得-1<m<1.
0，
2.(选修2-2P93例1改编 )如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是 OA,OB ,则z1·z2=________.
M,m,则M-m=________.
1i 1i
得a(1+i)+b(1-i)=(1-i)(1+i)=2,
即(a+b)+(a-b)i=2,则
a b 2 a b 0
.所以a+b=2.
2.选C.因为
1 2i ai
((1a2ii））((aaii））
a2 a2 1
2a a2
1i 1
为实数,所以2a-1=0,即a=
1 2
.
3.选B.由(2-i)·z=1,
得z= 1 2 i 2 1 i，
2 i (2 i）(2 i） 5 5
所以 |z 2|＝|2 1 i 2|＝| 1 i|＝1 .
5 55 5 5 5
4.设z=a+bi(a,b∈R),
由|z|- z＝2 i ,得
i
a2 b2 -a+bi=
2i i
,
所以2+i=-b+( a2 b2 -a)i,所以b=-2.
z1 a bi a bic di =__ac_c2___bdd_2 __bc_c2___dad_2 _i ___(c+di≠0). z2 c di c dic di
(2)复数加法的运算律：
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1+z2=_z_2+_z_1_； ②结合律：(z1+z2)+z3= _z_1_+_(_z_2+_z_3_)_.
【解析】z1=-2+i,z2=1+2i, z1·z2=(-2+i)(1+2i)=-4-3i. 答案:-4-3i
3.(选修2-2P94练习AT2改编)复数z= 2 i (i为虚数单位)的共轭复
1i
数是________.
【解析】因为z= 2 i (2 i)(1 i) 1 3i 1 3 i，