第八章 向量自回归和自回归条件异方差模型

因为平稳过程意味着随着时间的不断增 大，扰动的效应必须逐渐消失，因此上 述向量自回归过程的平稳性要求随着s s 不断增大 F → 0
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因此矩阵F的特征方程 I n λ p − Φ1λ p −1 − Φ 2λ p − 2 − L − Φ p = 0 的根都必须满足 λ < 1 ，也就是在单位圆 内。 另一种表达方法: I n − Φ1 z − Φ 2 z 2 − L − Φ p z p = 0 满足方程 的所有 z 值（根）都必须在单位圆之外。
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三、向量自回归模型检验 （一）需要通过模型检验加以确定的问题 包括： 滞后期长度的确定； 模型的参数是否显著，是否存在特定约 束关系等。
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（二）似然比检验
ˆ ˆ ln L(θ) = ln L(Ω, Π ) ˆ = −(Tn / 2) ln(2π ) + (T / 2) ln Ω
−1
ˆt ˆ ˆ − (1/ 2)∑ (ε′Ω −1εt )
∑
t =1
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最大似然估计肯定是一致估计，其渐近 分布是渐近正态分布
ˆ T ( πT − π) L N [0, (Ω ⊗ Q −1 )] →
其中 Q = E (Xt X′t ) ， ⊗ 是克罗内克积。 ˆ 第i个系数估计量 πiT 渐近分布
ˆ T ( πiT − π) L N [0,σ i2Q −1 )] →
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(三)性质 1、均值 对于平稳的向量自回归模型Yt ，两边求 数学期望得：
µ = E (Yt ) = η + Φ1µ + L + Φ pµ
可得到其均值为：
µ = [I n − Φ1 − L − Φ p ]−1 η
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2、MA(∞)表示方法
一个平稳的向量自回归过程可以写成一个白噪 声向量的无限移动平均过程MA(∞)：
t =1 T
= ∏ fY Y
t =1
t
t −1 ,L, Y− p +1
= (2π )
−Tn / 2
Ω
−1 T / 2
对数似然函数则为
ln L(θ) = −(Tn / 2) ln(2π ) + (T / 2) ln Ω −1 −(1/ 2)∑ [(Yt − Π′Xt )′Ω −1 (Yt − Π′Xt )]
Yt = µ + ε t + Ψ1ε t −1 + Ψ 2ε t − 2 + L = µ + Ψ (L)ε t
其中 Ψ (L)是上述移动平均表达式的滞后算子 Ψ 多项式， (L) 与自回归形式的滞后算子多项式 Φ(L)之间的关系为 Ψ (L) = [Φ(L)]−1 ，意味着
(I n − Φ1L − Φ2 L2 − L − Φ p Lp )(I n + Ψ1L + Ψ 2L2 + L) = I n
第八章 向量自回归和自回归条 件异方差模型
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本章介绍时间序列的向量自回归和自回归条件 异方差模型。 向量自回归模型是自回归移动平均模型从单个 向量自回归模型 时间序列到多个时间序列的扩展。 自回归条件异方差模型主要考察时间序列数据 自回归条件异方差模型 波动性的变化，在金融领域的风险分析中有重 要应用。 本章介绍这两种模型的意义和特征、参数估计、 检验和应用等。
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向量自回归模型VAR(p) 展开，可以写成 每个变量对常数项和向量中所有变量的 1-p阶滞后项回归的，n个方程构成的联 立方程组系统
(1) ( Y1t = η1 + φ11 Y1,t −1 + L + φ1(1)Yn ,t −1 + L + φ11p )Y1,t − p + L + φ1(np )Yn ,t − p + ε1t n
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如果已经得到向量时间序列 Yt 的 T + p 个时期的观测值，那么
fY
T ,L, Y Y0 ,L, Y− p +1 1
(YT ,L , Y1 Y0 ,L , Y− p +1 ; θ)
因为 η + Φ1Yt −1 + L + Φ p Yt − p 在时期t为常 数，而 ε t ~ iidN [0, Ω]，因此
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(一)VAR模型的表示形式 把p阶自回归模型AR(p)中的变量和误差项都变 成向量，系数变成系数向量或矩阵，就得到一 个p阶向量自回归模型VAR(p)：
Yt = η + Φ1Yt −1 + L + Φ p Yt − p + ε t
引进滞后算子，向量自回归模型可以写成
(I n − Φ1L − Φ2L − L − Φ p L )Yt = η + εt
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向量自回归模型的（条件）似然函数为:
L(θ) = f Y
T
T ,L, Y Y0 ,L, Y− p +1 1
(YT ,L , Y1 Y0 ,L , Y− p +1 ; θ) (Yt Yt −1 ,L , Y− p +1 ; θ) exp{(−1/ 2)∑ [(Yt − Π′Xt )′Ω −1 (Yt − Π′Xt )]}
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基于 Yt , Yt −1 ,L Yt +1的预测如下： 的
ˆ Yt +1 t = η + Φ1Yt −1 + L + Φ p Yt − p
作为一个动态系统，向量自回归模型很容易得 到多步、多期预测。 例如作基于 Yt , Yt −1 ,L 的 Yt + 2 、Yt + 3 等预测时， 只要把前期预测作为变量值代入模型，就可以 ˆ Y 得到多步预测Yt + 2 、ˆ t + 3 等。这种方法的缺点是 前期的预测误差会不断积累，导致长期预测的 较大偏差。
阶滞后的高斯向量自回归生成。 H1 ：这组变量数据是由 p1 > p0 阶滞后的 高斯向量自回归生成。 分别在两个不同的假设下估计这个系统， 也就是分别求每个变量关于常数项和系 统中所有变量的 p0 阶和 p1 滞后的回归。
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分别代入上述似然函数公式得到
ˆ −1 − (Tn / 2) L0 = −(Tn / 2) ln(2π ) + (T / 2) ln Ω0
Yt Yt −1 , Yt − 2 ,L, Y− p +1 ~ N [ η + Φ1Yt −1 + L + Φ p Yt − p , Ω]
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引进记号:
1 Y t −1 Xt = , M Yt − p
Π′ = [0 Φ1 L Φ p ]
上述 Yt 服从的条件分布可以写成下列紧凑形式
ˆ −1 − (Tn / 2) L1 = −(Tn / 2) ln(2π ) + (T / 2) ln Ω1
得到似然比统计量为
ˆ −1 − ln Ω −1 ) ˆ 2( L1 − L0 ) = T (ln Ω0 1
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Sims（1980）也提出了一种适应小样本情况的 修正的似然比检验统计量
ˆ −1 − ln Ω −1 ) ˆ (T − k )(ln Ω0 1
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为了分析的方便，也常常假设 ε t 服从多 元正态分布，即 ε t ~ iidN [0, Ω] ，其中 ε t 可以包含一定自相关性，即 Ω 是对称正 定矩阵，但不一定是对角线矩阵。 当 ε t 满足该假设时，上述向量自回归模 型也称为“高斯向量自回归模型 高斯向量自回归模型”。 高斯向量自回归模型
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二、向量自回归模型参数估计 普通最小二乘估计能得到一致估计。 因为不同方程的误差之间有相关性，因 此ML能得到更有效的估计 ML 在模型误差项服从多元正态分布的前提 下，模型参数向量的最大似然估计与最 小二乘估计是相同的，只是误差方差的 估计不同。
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以误差向量服从多元高斯过程的高斯向 量自回归模型为例，说明最大似然估计。 一个p阶高斯向量自回归模型即 Yt = η + Φ1Yt −1 + L + Φ p Yt − p + ε t 其中 ε t ~ iidN [0, Ω] 。
在确定向量自回归模型的滞后期数等方面，进 行参数估计回归时的SIC和AIC信息数标准同样 也是重要的参考依据。一般来说，这两个指标 较小的选择是较好的。
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四、向量自回归模型的应用 （一）预测——向量自回归模型最重要的 应用 由于向量自回归模型没有当期外生变量， 因此在预测方面没有确定外生变量水平 的困难，预测比较容易。 向量自回归模型的最优预测就是条件期 望预测。
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第一节 向量自回归模型
一、向量自回归模型概述 ARMA模型分析针对单个时间序列，存在忽略 经济变量之间内在联系的缺点。 克服这个缺点的方法是把ARMA模型扩展到针 对多个时间序列，把ARMA模型中的变量换成 ARMA 向量。 因为自回归移动平均模型可相互转换，而且在 向量变量的情况下自回归模型比较方便，因此 一般主要考虑向量变量的自回归模型，称为 “向量自回归模型”（Vector autoregression model，VAR）。
LL
(1) ( Ynt = ηn + φn(1)Y1,t −1 + L + φnn Yn ,t −1 + L + φn(1p )Y1,t − p + L + φnnp )Yn ,t − p + ε nt 1
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这个展开形式上与一般联立方程组模型相似， 但其实有本质差异： 1、VAR模型不强调变量之间关系的理论根据， 模型形式、变量、滞后期数等并不以特定经济 理论为依据，模型变量也不存在内生、外生之 分，每个方程都包含所有的变量； 2、VAR模型的主要作用是进行预测分析而不是 经济结构分析； 3、由于模型结构性质的差别，VAR模型的参数 估计和检验等与联立方程组模型也有差别。
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（二）平稳性分析 1、平稳性定义 如果向量自回归过程 Yt 的一阶矩 E (Yt ) 和 二阶矩 E (Yt Yt′− j ) 关于时期t都是独立的， 则称为“协方差平稳的”，或者直接称 “平稳的”。平稳意味着向量中包含的 各个时间序列都是平稳的。
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2、平稳性条件
利用一阶自回归形式 ξ t = Fξ t −1 + Vt 进行迭代 可得 −1 ξ t + s = Vt + s + FVt + s −1 + F 2 Vt + s − 2 + L + F s −1Vt +1 + F s Vt
t =1
T
ˆ = −(Tn / 2) ln(2π ) + (T / 2) ln Ω −1 − (Tn / 2)
似然比检验实际上就是把不同约束，有约束和 无约束的参数估计、最大似然估计分别代入上 述似然函数，根据是否有显著差异说明参数约 束或者所对应的检验假设是否成立。
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H 0 ：一组变量数据由 p0 阶而不是p1 > p0
2 p
或者
Φ(L)Yt = η + ε t
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引进下列记号：
ε t Yt − µ Φ1 Φ 2 L Φ p −1 Φ p 0 Y −µ I 0 L 0 0 V = t −1 , F = n t , ξt = M M M 0 0 0 L In 0 Yt − p +1 − µ
则p 阶向量自回归模型VAR(p)，也可写成 一阶自回归形式VAR(1)：
ξ t = Fξ t −1 + Vt
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其中 Vt 的协方差矩阵为
Q t = τ E (Vt Vτ′ ) = 0 t ≠τ
Ω 0 L 0 0 0 L 0 Q= M 0 0 L 0
t =1 T
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可以证明其中的最大似然估计实际上与最小二 乘估计相同，为 T T
ˆ Π′ = (∑ Yt X′ )(∑ X t X′ ) t t
t =1 t =1
ˆ 其中 Π′ 第j行就是 y jt对 Xt 回归得到的回归系数 向量。 T ˆ Ω 的最大似然估计则是 Ω = (1 / T ) ε t ε′ ˆ ˆt
Yt Yt −1 , Yt −2 ,L , Y− p+1 ~ N [ Π′X t , Ω] 因此第t个观测值的条件密度为
fY
t
Yt −1 ,L, Y− p +1
(Yt Yt −1 ,L, Y− p +1; θ)
−n / 2
= (2π )
Ω
−1 1 / 2
exp[(−1 / 2)(Yt − Π′Xt )′Ω −1 (Yt − Π′Xt )]
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σ i2 由其一致估计 如果 代， T t =1 −1 [(1 / T )∑ Xt X′ ]−1 而 Q 则由一致估计 t 代，则
t =1
2 ˆ σ i2 = (1 / T )∑ ε it
T
可以将近似看作
ˆ i ~ N ( π i ,[∑ X t X′ ]−1 ) Hale Waihona Puke Baidu t
t =1 T
当样本容量较大时，可以利用该渐近分 布进行统计推断检验。