流体旋涡运动

涡量：通过涡管任一截面得到的涡通量， 定义为：
n d


n
d
涡管的侧表面是涡面。在这个涡面上流 体微团的角速度矢量 与涡面的法向矢 量相垂直。这表明涡通量不能穿越涡管 表面。涡管截面大小和所取的围线的大 小有关，因此涡管可大可小，甚至无限 小，涡线是横截面积趋向于零的涡管。
斯托克斯定理表明，流场中若沿任意闭合曲 线的速度环量为零，则流场中的流动是无旋 的。
通常将围绕包含点涡闭合曲线上的速度环量 称为点涡强度。
诱导速度：由旋涡存在而产生得速度 毕奥- 萨瓦公式：确定诱导速度的大小 。 该 公式指出,在不可压流动中，强度是 、长 为 dL 的涡线对周围流场所产生得诱导速度 为 ：
§2.6 旋涡运动
前面我们已经指出，流体的运动可以分为无旋运动和 有旋运动两种，无旋运动是流场中微团的旋转角速度 的运动，而有旋运动则是流场中微团的旋转角速度的 运动。 旋涡运动是自然界、日常生活中以及工程实际中常碰 到的现象。例如龙卷风是一种强大的旋涡运动；在船 尾的后面，河床的拐弯处以及水管的突然扩大处等都 会产生旋涡；飞机在飞行同时也会产生旋涡。总之旋 涡运动是实际存在的一种重要的运动，因而对于旋涡 运动的研究有着重要的意义。
§ 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理
流场中的旋涡是由流体粘性产生的。 旋涡产生以后的效应，可以用理想流体 的观点来研究旋涡问题。理想流体里涡 线或涡管有如下三条定理。
§ 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理(1)
定理一 : 在同一瞬间沿涡线或涡管的旋 度强度不变。
设在某瞬间时，在流场中取一包围一段涡线的 开缝圆管，见图2-24。若流场中除涡线外，处 处无旋，则在这一开缝圆管上每一点旋度为零。 因此，沿围成开缝圆管边界的速度线积分为零。 又因组成缝的两边线上的速度积分（ b 到 c 和 d 到 a ）对总积分的贡献，在缝宽趋向零时，刚 好相互抵消。为使总线积分为零，必有a到b的 线积分同c到d的线积分大小相等符号相反。由 此可知穿过圆筒上下截面的涡线旋涡强度应完 全相同。由于圆筒的上下截面的位置使任选的， 所以沿涡线旋涡强度是不变的。这一定理称为 海姆霍兹第一定理。
§ 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理(3)
定理三 : 在理想流中，涡的强度不随时 间变化，既不会增强，也不会削弱或者 消失。
• 在无粘流wk.baidu.com，由于流体微团只受到垂直于 微团表面的法向力，不受切向力，所受合 力通过微团质心，既不存在使微团旋转的 外力。若流体运动原无旋则永远无旋；若 有旋则保持旋涡强度不变。 实际流体都是有粘性的，涡强是随时间变 化的。不过空气的粘性很小，粘性使涡强 的衰减并不很显著，所以仍可以按理想流 体里涡强度不衰减处理。

斯托克斯定理：

ˆ S
ˆ V dS n dS

斯托克斯定理表明：沿空间任一封闭曲线 L上的环量， 等于贯通以此曲线所成的任意曲面上旋度的面积分。 根据此定理，一个涡管的旋涡强度可以以此涡管的 围线的环量值代替，所以环量也就成了涡强的同义 词。如果曲线所围成的区域中无涡通量，则沿此围 线的环量为零。
§ 2.6.2 速度环量、斯托克斯定理
本章前面的内容给出了流场中流体微团的旋转运动以 及旋度的概念。而在同一流动区域中所有流体旋度的 总效应则是以速度的环量来体现的。
速度环量：如果积分路径为一封闭曲线，则 速度线积分的值定义为速度环量，即： V dS 速度环量取逆时针积分方向为正。
§ 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理(2)
定理二 : 涡线不能在流体中中断；只能 在流体边界上中断或形成闭合圈。
将海姆霍兹第一定理推广，来分析涡线在开 缝圆圈内部中断的情况。如果这种情况发生 ，那么开缝圆筒边界上a到b与c到d的线积分 大小就不再相等，即沿开缝圆筒边界的线积 分不再为零。所以，涡线不能在流体中中断 ，只能中断于流体边界或形成闭合圈。这一 定理称为海姆霍兹第二定理。例如在二维风 洞实验时，机翼上的涡线（翼展方向）止于 两侧的洞壁；还有一种是涡管可以伸到无穷 远去，例如三维机翼上的涡线（与翼展同向 的）在左右两侧折转后成为尾涡，向后伸到 无穷远处。
dL r dw 3 4 r
直线涡的诱导速度
4h

2
1
sin d
cos1 cos 2 4h
诱导速度的方向是垂直纸面的，按图示方向， 它指向外的。 如果涡线的一端无限长 4h 如果涡线两端都延伸到无穷远 2h 对于无限长涡线所引起的诱导速度场，在与涡 线垂直的平面上流动都是一样的，因此这种流 动可以看作平面流动，通常称平面点涡流动。
旋涡强度，或称涡量强度：设在涡 管上取一截面，截面面积为 ，则 定义为 2 d

n
上式就是旋涡强度，旋度则是涡管 截面趋向于零时的旋涡强度。
应该指出，虽然涡场、涡线、涡量等在概念 上和流场、流线、流量等相似，但不能把两 者混淆起来。 涡线和流线应该是不同的，如果运动有涡， 便存在涡线，运动无涡则不存在涡线。但是 只要有流体运动，不论是否有涡，流线总是 存在的。
§2.6 旋涡运动（续）
§ 2.6.1 涡线，涡管以及旋涡强度 § 2.6.2 速度环量、斯托克斯定理 § 2.6.3 海姆霍兹旋涡定理
§ 2.6.1涡线，涡管以及旋涡强度
如同全流场可以用流线描述一样，有旋运动 的旋涡场也可以用涡线来描述。因此由速度 向量所构成的速度场里所引进的关于流线、 流管、流量等一系列概念，可以套用到有旋 转角速度向量所构成的旋涡场中来。
•
涡线
涡线：是充满旋涡流场中 的一系列的曲线，在任意 瞬时该曲线上微团的旋转 角速度向量（旋转轴线方 向按右手定则）都和曲线 相切，右如图所示。 涡线方程：
dx
x

dy
y

dz
z
涡管
涡管：某瞬时，在旋涡场中 任取一条非涡线的光滑封闭 曲线（曲线不得与同一条涡 线相交于两点），过该曲线 的每一点作涡线，这些涡线 形成得管状曲面称为涡管， 见右图。