模糊理论在多目标优化问题求解中的应用

模糊理论在多目标优化问题求解中的应用

发表时间：2011-04-13T11:35:38.980Z 来源：《魅力中国》2010年11月第3期供稿作者：周春明[导读] 本文结合多目标优化问题模型的特点，提出了一种基于模糊理论的多目标优化算法。

周春明（辽东学院机电学院辽宁丹东118000）

中图分类号：TH123文献标识码：A

摘要：本文结合多目标优化问题模型的特点，提出了一种基于模糊理论的多目标优化算法。同时与目前常用的几种多目标规划问题的求解方法作一比较，结果表明，本文所提多目标模型比单目标具有更好的综合优势，算法快速可靠。

关键词：多目标优化模糊优化

引言

随着工程问题日益的复杂化，传统的、确定性的单目标优化问题已不能满足实际要求，在工程技术、生产管理以及国防建设等部门中，所遇到的问题往往需要同时考虑多个目标在某种意义下的最优化问题，像这种含有多个目标的最优化问题称为多目标优化问题，亦称多目标决策。多目标优化要求各个分目标都达到最优，这是比较理想的事情，但是比较困难，不能期望各分目标函数的最优点都重叠在一起，即同时达到最优解，有时甚至会产生完全对立矛盾的情况。这就需要各个分目标函数在最优解之间进行“协调”，以致得到整体最优方案。目前寻求满意解的方法很多，大体上可归纳为两大类，一类是基于向量优化理论和效用理论的大系统多目标多模型递阶分析法。另一类是基于模糊集理论和模糊优选决策理论的多阶段多层次多目标模糊优选法[1]。这两类方法都是在问题非劣解集中通过对有限个方案的比较筛选来优选方案，其前提是首先要形成只包含有限个方案的非劣解集。但在实际中，有些问题的非劣解并非是有限的，难以列出全部非劣解。因此，基于单目标最优解模糊化基础上的多目标模糊优化方法似乎更受到决策者的欢迎。该方法可以反映各个单目标最优解和多目标满意解之间的相互关系，能较好地考虑不同性质的、相互矛盾的多个目标的满意程度，在综合考虑各目标的条件下，寻求一合适的优化方案，使各个目标都尽可能处于较优状态，为解决多目标系统优化问题提供了新的途径。

一、多目标优化

含有多个目标的最优化问题称为多目标优化问题，亦称多目标决策。由于求最大都可转化为求最小，所以多目标最优化问题的一般形式为：

或者记作：

当p=1 时，式(1.1)和式(1.2)就是非线性规划，称为单目标规划。当p>1 时，则为多目标规划。在具体处理多目标规划问题时，多目标系统的优化一般难以找到一个最优解，大多是在权衡协调各个目标的基础上，依据问题要求，寻求既有一定精确度又有实际意义的最佳均衡解，即决策的折衷解。为了有效求解，需运用模糊集理论的知识，将多目标问题转化为单目标问题。

二、多目标模糊优化方法

模糊决策的概念提出之后，数学规划问题就一直与模糊集理论紧密地联系在一起。其中，Zimmermann于1978年首次提出了模糊多目标线性规划的数学模型。模糊多目标决策必须解决几个基本问题[2]：

（1）选择适当的隶属函数来刻画模糊目标或模糊追求的特性；

（2）采用某个或某些模糊算子对不同的目标进行综合，以形成总体的满意性测度；

（3）确定模糊多目标问题的数学模型；

（4）推导出求解模糊数学规划的具体算法；

由于多目标系统的优化一般难以找到一个最优解，因而力求使选择的结果“尽可能地”“接近”理想目标。Zimmermann于1978首先提出了求解经典多目标规划的模糊算法，该算法的基本思想是将一个多目标的线性规划问题转换为一个等价的具有单一目标的模糊线性规划问题。

（一）均方根形式的模糊化目标函数

应用以上方法，文献[3]提出了一种模型，将式（1.1）形式的多目标优化问题转化为如下形式：

上式中，为目标函数分别在约束条件下所得到的最优解。在该模型中，为了得到一个总体的折衷解，在约束条件下分别求出各个目标函数的最优解，同时将多个目标函数转化为一个单一的复合目标函数，该目标函数最大可能地实现各个目标函数的最优化，且对各目标函数没有偏重，即权重系数相同，不能体现决策者的偏好。但在实际问题中，决策者可能更偏重于某个目标，希望尽可能地实现某个目标的最大化，而其他目标的重要性相对低一些，所以该模型不适用于该类问题。同时该模型采用了均方根形式的目标函数，形式较复杂，因此对于式（2.1）形式的模型求解比较困难。相对于该模型，本文所提的模型在求解方面将容易的多。

（二）采用隶属度模糊化目标函数

为求解式(1.1)形式的多目标优化问题，本文首先对每个目标函数分配一个模糊愿望值，并用相应的模糊集合来加以描述，用模糊愿望

的隶属度来表示决策者对相应目标水平的满意程度。即对目标函数构造相应的隶属度函数，且满足，并可用

表示第 i个目标达到最优的程度。越趋近于1，表示目标函数越趋近于最优解。然后根据最大隶属度原则，将原问题转化为求各目标函数隶属度的公共阀值，将多目标问题转化成单目标问题求解。

在上述模糊优化算法中，式（1.1）中的所有模糊愿望的隶属度函数都被定义为如下的线性函数：

其中式(2.2)表示升半梯形的隶属度函数，适用于求解形式的最大值优化问题，而式(2.3)表示的降半梯形的隶属度函数则适用于求解形式的最小值优化问题。分别表示如图2.1和图2.2：

图2.1 升半梯形隶属度函数图2.2 降半梯形隶属度函数

式中，表示在式（1.1）所示的多目标最优化问题中，目标函数中每个目标函数分量

在约束条件，下所求得的最大值与最小值。

图2.1中曲线在0与之间的值为0，表示目标函数低于是不可接受的，在之间曲线向上倾斜，表示的

值越趋近于1，目标函数越接近最大值（即最优值），当目标函数达到最大值时，的值为1，实现程度最大；图2.2中曲线在

之间向下倾斜，表示目标函数越远离最优解，越不可接受。

针对上述形式的隶属函数，可采用取最小算子来综合不同目标的隶属水平以得到决策的整体满意程度。取为所有隶属函数中最小的隶属变量，可称之为满意度。式（1.1）所示多目标最优化问题由隶属函数导出的数学规划问题被归结为下面的模型：

(2.4)

由于式（1.1）所示的多目标最优化问题为求解目标极小值问题，每一个目标分量对应的隶属度函数均采用式（2.2）所示的降半梯形的隶属度函数。因此，式（2.4）等价于如下的线性规划问题：