罗尔定理论word版

1)当 ，即 .做变换 ，令 ，则 在 上满足(1)式的全部条件.故 ，使 ，而
， ，
于是取 ，就是 ；
2)若当 有限， ，即 ，作变换
， ，（其中 为正数）
令 ，则 在 上满足(1)式的全部条件.故 ，使 ，而
，
于是取 ，就有 .
3)当 ， 为有限，即 ，做变换
，其中 为负数，
同理可得，取 ，就有 .
，使它满足拉格朗日中值定理，使得
，
在用不等式的性质可证明数学不等式.具体步骤如下：
第一步，选择适当的函数 和对应的区间 ；
第二步，对所取的函数 和对应的区间 ，写出拉格朗日中值公式，
，
第三步，确定导函数 在所讨论的区间上的单调性；
第四步，分别 ，确定 在区间端点上的导数值，由 的单调性得出 的范围：
， ，
， .
令 ，使得
.
2.4 推广4 设函数 在区间 上连续，若 在 内除了n个点处可微，则存在 个点， 及 个正数 使得 且 .
证明：不妨设 在仅在 不可微，则由上述推广3得
， ，
， ，
取 使 则 且
.
这个证明方法可以推广到 在n个点上不可微得情形，可以的以上的推论.
2.5 推广5若函数 在闭区间 连续，在开区间 内存在左，右导数 ，则存在 及 ，使得
， （当 单调增加时）
， （当 单调减少时）
由 ， 这个等式就得到数学不等式；若当 单调增加时则有
，
或有
.
等,以下举例说明.
例3 当 时，则有
证明：设
， ，
并满足中值定理条件，且有
， ，
所以 在 是单调递增的.故当 时，
则有
.
2.拉格朗日定理在为求极限提供一种简单而有效的方法
例1：若 在 上连续，在 内可导 ，证明:在 内，方程
至少存在一个根.
证明：令
，
显然， 在 上连续，在 内可导，而且
，
根据罗尔定理，至少存在一个 ，使得 ，则有
，
故在 内，方程
.
至少存在一个根.
2.罗尔定理的推广也有广泛的应用.
在证明不等式时，首先我们可以根据不等式俩边的代数式选取不同的 ；其次，验证 是否满足罗尔定理推广中的某种形式的条件；最后，应用定理进行解题，下面通过举例说明其应用.
证明：(1)设 为有限区间.若A是有限值，令
容易验证 在 上满足罗尔定理的条件，故 ，使
.
(2)若A为 ， 为有限区间或无限区间，由 在 内的连续性知，当
充分大时，直线 与曲线 至少有两个焦点 与 ，即 且 .不妨设 ，对 在 上应用罗尔定理，使得 ；
(3)若A为有限值， 为无限区间.
做变量替换，即选择函数 ，满足如下要求： ，（这里 是有限区间）， ， 存在且不变号.然后对符合函数 在 应用(1) 的结果.
.
2.拉格朗日中值定理推广
2.1 推广1在上述罗尔定理推广三中若令 ， 并代入上式即得拉格朗日中值定理 .则就有下面推广：
设 在 上连续，在 内可导，则至少 ，使
，
容易得到 .
2.2 推广2 拉格朗日推广到更一般的形式
如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则对于任意给定的一组实数 ，且 ，必存在 ，使得
例2：设 在 内可微，且满足不等式
， ,
证明存在一点 ，使得
，
证明:由已知不等式知 ， .令
，
则
， ，
则由推广的罗尔定理， ，使得 ，即
.
二、拉格朗日中值定理推广及应用
（一）拉格朗日中值定理推广
1.拉格朗日中值定理描述
若函数 满足下列条件：在闭区间 连续；在开区间 可导.则在开区间 内至少存在一点 ，使
关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；极限；导数
一、罗尔定理推广及应用
（一）罗尔定理推广
1.罗尔定理描述
若函数 满足下列条件：在闭区间 连续；在开区间 可导； ；则在 内至少存在一点 ，使 .
2.罗尔定理的推广
2.1罗尔定理推广1设 为有限或无限区间， 在 内可微，且 （A可为有限也可为 ），则至少存在一点 ，使 .
2.2罗尔定理推广2 任意个函数的微分中值定理
设 在闭区间 连续；在开区间 可微； ， ，则 ，使得
(1)
证明：根据题设，函数
,
在闭区间 连续；在开区间 可微；
,
即 ，所以由罗尔定理知道 ，使得
.
2.3罗尔定理推广3设 ， ， 在 上连续，在 内可导，则 ，使得
.
证明：设
.
由行列式性质知 ，则由于满足罗尔定理，则 ，使得 ，则问题得证.
.
证明：（1）先证明若 在闭区间 连续，在开区间 内存在左，右导数 ，且 ，则存在 ，使得 .事实上，由 在 连续，得 使得 又 ，故 必在区间 内取得至少一个最值，不防设最值点为 ， ，
或 ，
.
（2）作辅助函数
，
则由 在闭区间 连续，在开区间 内存在左，右导数 知 在闭区间 连续，在开区间 内存在左，右导数 ， ，且有因为 ，故由上面的结论 使得 .不妨设 则
，
其中， ， 特别地，当 ，上式可写
.
证明：令
.
显示 在 上均满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即可得证结论成立.
2.3 推广3 对于拉格朗日定理，若把条件减弱的话，定理应用将更加广泛.
命题 设函数 在闭区间 ，在开区间 内除了有限个点外可微，则存在 使得 .
证明：不妨设 在仅在 不可微，分别在 应用拉格朗日定理中值定理，则得到
浅谈罗尔定理及拉格朗日定理推广及应用
摘 要：微分中值定理是导数应用的理论基础.本文在罗尔定理及拉格朗日定理原有描述的基础上，对其进行了推广，使其定理的适用范围更加广泛；同时，对罗尔定理在讨论方程根的存在性问题中的应用及拉格朗日定理在证明不等式和求极限问题中的应用进行了讨论，证实所得推广定理的有效性及实用性.
，
，
即
，
又 在 上连续函数.且
， ，
有介值定理， 使得
，
即
，
又 ，则
.
(二) 拉格朗日中值定理应用
1.利用拉格朗日定理证明不等式
拉格朗日中值定理中只肯定了在 内至少有一点 ，使得等式成立，但对 的确切位置未作任何断定，这并不影响定理在做理论探讨பைடு நூலகம்解决具体问题中所起的作业. 利用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选择适当的函数 和对应的区间
（二） 罗尔定理的应用
1.在讨论方程根的存在性问题时，可以应用罗尔定理.
罗尔定理的条件很宽松，给一个定义在闭区间 上的函数，只需函数在这个区间连续，可导（并不要求区间端点可导），在要求 满足条件 .因此，可以应用罗尔中值定理解决一些复杂的代数方程的判根问题.其步骤一般是：分析命题条件 构造辅助函数 验证 满足罗尔定理的条件 应用罗尔定理 命题结论.