空气动力学基础

我读书只是蜻蜓点水，对一些公式的理解可能有错误；写的只是大致的推导过程，难免有不细致严谨之处；对一些英文的翻译可能不标准，同时可能输入有误。

希望大家批评指正、私下交流。

真心希望我们共同为之润色添彩，使其更加准确无误。

同时，大家有什么学习资料都记得共享啊，让我们共同进步！
大家可以再看看领域导论书，看了这个总结，再看书就比较简单了。

看书最好也看看例题，例题不仅是对公式的简单应用，而且有些还包含新的知识，能增进我们对公式的理解。

这些内容只能算是一些变来变去的简单代数问题，大家不要有压力。

不过有几条注意事项：
1、注意公式的限定条件，避免错误地加以应用。

2、大物书上的理想气体方程是Pv=RT，其中的R
是普适气体常量（universal gas constant），领域导论书上的P=ρRT是经过变换的等价形式，其中的R是个别气体常量(specific gas constant)，等于普适气体常量R普适/M，大家变一下马上就懂
了。

2、谈谈我的一个理解：本书中的研究好像不太强
调质量和体积，可能是因为空气动力学研究没必要
也不方便强调。

在一、基本方程——7、能量方程的推导中，v=1/ρ，这里的1应理解为单位质量，后面的能量方程中的V2也包含单位质量1，不然与h的量纲就不统一了；在二、公式应用——3、空速测定——C、高速亚声速流中，我们可以看出在本书中，Pv=RT，同样把大物书上的状态方程Pv=R
普适T中的m当成单位质量1，并利用普适气体常量和个别气体常量的关系R个别=R普适/M，即可推出
Pv=RT。

3、本书中涉及到比热（specific heat），用c v （对于等体过程）和c p（对于等压过程）在表示。

我们在大物中也学有c v和c p，不过它们不一样，不要混淆。

大物中那两个是摩尔热容（molar heat capacity），分别为定体摩尔热容（molar heat capacity at constant volume）和定压摩尔热容（molar heat capacity at constant pressure）。

对比起来有（下式中R个指个别气体常量，R普指普适气体常量，i指分子自由度，γ指热容比）：
比热摩尔热容
c v=R个，c p= R个 c v=R普，c p= R普
c p- c v= R个 c p- c v= R普
γ==γ==
4、小写v代表体积，大写V代表速度，注意区分，其他字母符号的意义大家应该都能弄懂。

一、基本方程
1、连续方程
dm1=ρ1 dv1=ρ1A1V1 dt =ρ2A2V2 dt=dm2则
ρ1A1V1 =ρ2A2V2
即
ρAV=const
对于不可压缩流，ρ1=ρ2，则
A1V1= A2V2
2、欧拉方程（忽略了黏性和重力）
在一个边长分别为dx dy dz的长方体流体元的x 方向进行研究，忽略重力和黏性，朝向x正方向的力为
P dy dz
压强的变化率为
则朝向x负方向的力为
(P+dx) dy dz
则合力
F=P dy dz - (P+dx) dy dz=-(dx dy dz)又
m=ρ dv=ρ(dx dy dz)，a===V 由
F=ma
化简得
dP=-ρV dV
3、伯努利方程（忽略了黏性和重力，适用于不可压缩流）
对于不可压缩流，ρ不变，对欧拉方程进行积分，易得
P1+ρV12= P2+ρV22
即P+ρV2在一条流线上是常量，其中ρV2就是传说中的动压，用q表示，对于不可压缩流，P+ρV2
等于总压，我们在方程的应用中会再提及。

4、关于热力学第一定律
系统的内能增量=外界传热+外界做功，即
de=δq +δw
其中
δw=-P dv(压缩，所以v减小，dv是负值，所以有
负号)
则
δq=de+P dv
定义焓
h=e+Pv
做微分得
dh=de+v dP + P dv
与上式一起消去de得
δq=dh- v dP
5、内能与焓
定义比热（specific heat）
c=，即系统增加单位温度所吸收的热量等体过程的比热写作c v，等压过程的比热写作c p 对于等体过程
dv=0
代入
δq=de+P dv
可得
de=δq=c v dT
从e=0和T=0积分得
e= c v T
我们在大物中学的是e=R普T，m还是要当做单位质量1，推出e=R个T=c v T。

因此，它们是等价的。

对于等压过程
dP=0
代入
δq=dh- v dP
则
dh=δq=c p dT
从h=0和T=0积分得
h= c p T
de=c v dT，e= c v T，dh=c p dT，h= c p T
四式虽然是从等体过程和等压过程推出的，但对于理想气体是普遍适用的。

6、等熵过程（适用于等熵过程）
对于等熵流（绝热可逆）
δq=0
代入
δq=de+P dv和δq=dh- v dP
则
-P dv=de = c v dT，v dP=dh= c p dT
两式相除得
=-γ
其中定义了热容比
γ=c p/c v
对于空气，γ=，应该是因为空气的绝大部分是氮气和氧气，都是双原子分子，分子自由度i=5，根据大物中学的热容比γ=，可得γ=。

再积分
=-γ
得
=()-γ
把体积换成密度得
=()γ
同时借助状态方程
ρ=P/(RT)
在有ρ的那个式子中消去ρ
或借助我们熟悉的形式（大物书上的）
Pv=RT
在有v的那个式子中消去v
可得
=（）γ/(γ-1)
总结：
=()γ=（）γ/(γ-1)，即Pρ-γ=常量，Pγ-1T-γ=常量把大物书上的式子中的体积换为密度，就跟这个完
全一样了
7、能量方程（适用于无黏）
对于绝热过程
δq=dh- v dP=0
代入欧拉方程
dP=-ρV dV
得
dh+vρV dV=0
v=1/ρ（这里的v应理解为单位质量的体积）则
dh+V dV=0
做积分得
h1+V21= h2+V22，即h+V2=常量代入
h= c p T
得
c p T1+V21= c p T2+V22，即c p T+V2=常量
对于非绝热过程
δq≠0
可得
δq=dh+ V dV
做积分
=+
得
h1+V21+Q12= h2+V22
也可写为
c p T1+V21+ Q12= c p T2+V22
8、一个重要结论
对于等熵流，总温T0，总压P0，总密度ρ0是定值总温（total temperature），总压（total pressure），总密度（total density）定义：
Total temperature/pressure/density at a given
point in a flow is the temperature/pressure/density that would exist if the flow were slowed down isentropically
（等熵地） to zero velocity
二、公式应用
1、声速公式的推导
由于声波穿过气流与气流以声速穿过声波等价，
因此可用后者来研究
在声波两侧，设气流
压强分别为P和P+dP
密度ρ和ρ+dρ
温度T和T+dT
速度a和a+da
应用连续方程有
ρA1a=（ρ+dρ）A2（a+da）
A1=A2，则
ρa=（ρ+dρ）（a+da）
展开，再忽略无穷小量dρda,可得
a=-ρ
代入欧拉方程
dP=-ρa da，即da=-
可得
a2=
通过声波的气流是等熵流，则
P/ργ=const=c
因此
=cργ=cγργ-1
代入c= P/ργ,得
a2=γ
对于理想气体，可以再代入状态方程P=ρRT
最终得出
a=
可以看出，理想气体中的声速仅与温度有关
2、低速亚声速风洞
设Settling chamber（reservoir）和Test
section的气流
速度分别为V1，V2
压强分别为P1，P2
面积分别为A1，A2
通过低速亚声速风洞的气流可以看作不可压缩流，由连续方程和伯努利方程可得
V1= V2，P1+ρV12= P2+ρV22
联立两式消去V1，可得
V2=
A2/A1对于给定风洞是定值，要想调节Test
section的速度大小，可以调节P1-P2。

以前人们用U型管分别连接Settling chamber
（reservoir）和Test section来测P1-P2，现在我们工艺先进，通过压力传感器实现
3、空速测定
A、设备：
总压管（Pitot tube），空速管（Pitot-static tube）B、对于低速亚声速流(M<
在上图中空速管上的A点
压强为静压P，速度为V1
在B点
压强为总压P0，速度为0
应用伯努利方程得
P0=P+ρV12
可得
V1=
定义动压
q=ρV2（此定义式对所有气流都成立）可得
P0= P+q（注意此式和P0= P+ρV12只对不可压缩
流成立）
可见：
只要设法获得P0- P和ρ的值，就能求出速度，P0- P的测定通过空速管或总压管可以实现。

对于ρ，若使用真值（true value，即设法测的飞机周围的ρ），则获得真实空速（true airspeed）
V true=
但是测定飞机周围的ρ比较难，所以低速飞机计算时都是用的标准海平面密度ρs，获得当量空速（equivalent airspeed）
V e=
其实
当量空速有更深层次的意义：Consider an airplane flying at some true airspeed at some altitude .Its equivalent airspeed at this condition is defined as the velocity at which it would have to fly at standard sea level to experience the same dynamic pressure.给定了当量空速，就相当于给定了动压。

当量空速的概念十分重要，在研究飞行表现时很有用。

C、对于高速亚声速流（<M<1）
由
h=e+Pv=e+RT,即c p T=c v T+RT
可得
c p-c v=R
根据
γ= c p/ c v
可得
c p=
气流在空速管或总压管前的探针前的停滞点（stagnation point）处从最开始温度T1和速度V1的状态等熵静止,速度变为0，因此温度为总温（total temperature）T0，压强为总压（total pressure）P0，在此过程应用能量方程得
c p T1+ V12= c p T0
变换等式可得
=1+
代入
c p=
可得
=1+
又声速
a12=γRT1
则
=1+=1+M12(只要求是绝热过程)
结合等熵过程方程
=()γ=（）γ/(γ-1)
可得
=（1+M12）γ/(γ-1)，=（1+M12）1/(γ-1)（要求
是等熵过程）
由上式可得
M12=[()(γ-1)/γ-1]
因此，通过总压和静压的比值可以直接求出马赫数代入
M1=V1/a1
则
V12=[()(γ-1)/γ-1]
也可写为
V12=[(+1)(γ-1)/γ-1]
因为实践中一般获得P0-P1,所以上式用得较多
而且，由于T难以测量，即a难以获得，静压P1也难测，所以高速亚声速飞机一般用标准海平面的声速和压强a s和P s代入上式。

airspeed indicator会感应P0-P1的值。

从而获得校正空速（calibrated airspeed）
V cal2=[(+1)(γ-1)/γ-1]
D、对于超声速流
在超声速流中，物体前会产生激波（shock wave），在一个流体元穿越激波前后：
马赫数减小
静压增加
静温增加
速度减小
总压减小
总温不变
由于激波的产生（产生的大致原理在P206），穿
越激波的气流不是等熵流。

空速测定的理论非常
复杂，书上只给了最后结果，称为Rayleigh Pitot tube formula:
=[]γ/(γ-1)
其中，P02为激波后的总压，P1为自由流静压,由飞
机表面的静压孔（static pressure orifice）测
量，由此推出马赫数。

若想推出空速，还需要其
他信息。

4、超声速风洞和火箭发动机
由连续方程知
ρAV=const 取对数再做微分，得
++=0由欧拉方程dP=-ρV dV得
ρ=-
代入上式，可得
-++=0由于气流是等熵流,所以
==代入上式，可得
=(-1)即
=(M2-1)
称为area-velocity relation
由此关系式可知：
对于亚声速流（M<1），要使速度增加，面积必须
减小
对于超声速流（M>1），要使速度增加，面积必须
增大
若M=1
==
咋一看无限大了，不过显然是有限大的，因此：需使=0，构成0/0型不定型极限，以此来使得
的值为有限大
反过来可以看出：
当dA/A=0时，M=1，即stream tube有最小面积时，M=1，称此处为throat
Therefore ,to expand a gas to supersonic speeds，starting with a stagnant gas in a reservoir，the preceding discussion that a
duct of sufficiently converging-diverging
shape must be used 。

For rocket engine，the flow quality at the exit is not quite as important；but the weight of the nozzle is a major concern .For the weight to be minimized，the engine’s length is minimized，which give rise to a rapidly diverging，bell-like shape for the supersonic
section。

流过超声速风洞或火箭发动机的气流可近似为等熵
流，因此
=1+=1+M12
=（1+M12）γ/(γ-1)
=（1+M12）1/(γ-1)成立
又有
对于等熵流，总温T0，总压P0，总密度ρ0是定值且在始端，V0，所以其温度，压强，密度即
为T0，P0，ρ0
因此，以上三式可作为始端与任一点的关系式，也可写为
T1=T0[1+(γ-1)M12]-1
ρ1=ρ0[1+(γ-1)M12]-1/(γ-1)
P1=P0[1+(γ-1)M12]-γ/(γ-1)
另外，马赫数M与截面面积A和throat 面积A t 的比值的关系(书上没有推导过程)为
（）2=[(1+M2)](γ+1)/(γ-1)
可推出下图的曲线。