线性代数第十四讲PPT课件
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思考
已知
1
2
,
2
3
,
3
1线性无关，证明：1
,
2
,
线性无关。
3
下列证法是否正确，说明理由。
证明：因为1 2 ,2 3 ,3 1线性无关，
则若k1(1 2 ) k2(2 3 ) k3(3 1 ) O （1）成立，
只有k1 0,k2 0,k3 0，将（1）式恒等变形为
(k3 k1 )1 (k1 k2 )2 (k2 k3 )3 O （2）
(b1,b2,b3)(1,2,3)10
1 1
10
记作 BAK，设 B x o ，A (即 K) x o
由1 于 ,2,3线性 ,故 R 无 (A )3 关 ，
即Ay o只有零解。Kxo，
而|K|20，故 Kxo只有零 解 x， o
即B的列向b1量 ,b2,b组 3线性无关。
作业
返回
例3 已知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无
线 性,则 相பைடு நூலகம் 关 b必 量能 由A线 向性 量,且 表 组表 示示 是唯一的。
证明: 记 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,m , b ) , 有
R (A ) R (B ) R (A ) 1
因A组线性无关 R(， A)有 m; 所m 以 R (B )m 1 ，
因 B组线性相关， 有 R (B )m 1 。即 R (B )有 m .
组B : b1,b2 ,,bm也 线 性 无 关 .
反 言 之 ， 若 向 量B线 组性 相 关 ,
则 向 量 组 A也 线 性 相 关 .
作业
返回
证明: 记 Arm(1, m)， B(r1)m(b1, ,bm),
有 R(A)R(B)若 . 向A 量 线组 性,则 无 R(A 关 )m，
从 而R(B 有 )m.但R(B)m(因B只 有 m列 ） ，
若向 A 线 量性 组 ,则 相 R (有 A )关 m ，
而 R (B)R (A )1 m 1, 因此 ,向量B组 线性相. 关
注 A 组是 B 组的部分组
一个向量组若有线性相关的部分组，则该向 量组线性相关。其逆否命题为: 一个向量组若线 性无关，则它的任何部分组都线性无关。
部分相关则整体相关，整体无关则部分无关.
得 到 的 新 的 向 量 组 仍 线 性 相 关 .
作业
返回
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个是方其程余方程的线性组 合时，这个方程就余是的多，这时称方程各组（ 个方程）是线性相；关当的方程组中没有方多余 程，就称该方程组个（方各程）线性无关线（或 性独立. ）
作业
返回
小结
1. 线性相关与线性无关的概念； 线性相关性在线性方程组中的应用；(重点)
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因1，2，3线性无关， xx故 11 xx有 23 00
, ,
x 2 x 3 0.
因为k3 k1 0,k1 k2 0,k2 k3 0，
作业
故有1
,
2
,
线性无关。
3
返回
定理5 (1若 )向量 A： 组 1,2, ,m线性,则 相关 向量 B:组 1, ,m,m1也线性 .反相 言 ,若 关 之 向
量B 组 线性,则 无 向关 量 A也 组线性 . 无关
证明: 记 A ( a 1 , ,a m )B , ( a 1 , ,a m ,a m 1 ) ，
第四章 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性
线性相关性的概念 线性相关性的判定定理 例题详解 小结
作业
返回
例3 已知 向 1,2, 量 3线组 性 ,b1无 1关 2,
b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无关
证 设有x1 , x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
101
由于此方程组的系数行列式 1 1 0 2 0
011 故方程组 x1x只 2x3有 0 ， 零 所 向 解 以 量
作业b1,b2,b3线性 . 无关
返回
例3 已知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无
(二) 由已知可得
1 0 1
故 R(B)m，因此B 向 线量 性组 .无关 结论
若 向 量 组 1,2, ,m线 性 无 关 ,则 在 每 个 j相 同 位 置 处 增 加 若 干 个 分 量 后 (即 j维 数 增 加 ),得 到 的
新 的 向 量 组 仍 线 性 无 关 .
反 言 之 ,若 向 量 组 1,2, ,m线 性 相 关 ,则 在 每 个 j相 同 位 置 处 减 少 若 干 个 分 量 后 (即 j维 数 减 少 ),
(三) 由已知可得
(b1,b2,b3)(1,2,3)110
0 1 1
110
记作 BAK，而 |K|20， K可逆
故 R ( b 1 ,b 2 ,b 3 ) R (1 ,2 ,3 ) 3
因而b1,b2,b3 线性无关。
作业
返回
例3 已知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无
由 R (A )R (B ) m ,知方 (1 ,2 程 , ,m )组 x b 有唯
即向量 b能由向量A线 组性表示，且表一 示. 式唯
作业
返回
a1j
(4)设j a2j ,
arj
a1j
a2j
bj ,
arj
ar1,
j
(j 1,2,,m),
即j 添上一个分量后得向 bj .量
若 向 量 组 A:1,2 ,,m线 性 无 关 ,则 向 量
作业
返回
(2)m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个 数m时一定线性相关.
特别地，n+1个n维向量一定线性相关。
证明:
m个n维向 1,量 2, ,m构成矩阵 Anm(1,2, ,m)，
若 n m ,则 R (A )n m ,
故 m 个向 1,量 2, ,m 线性. 相关
作业
返回
(3)设 向A量 :1,组 2, ,m线 性,而 无 B:关 1,2, ,m,b
2. 线性相关与线性无关的判定方法： 定义，两个定理．（难点）
已知
1
2
,
2
3
,
3
1线性无关，证明：1
,
2
,
线性无关。
3
下列证法是否正确，说明理由。
证明：因为1 2 ,2 3 ,3 1线性无关，
则若k1(1 2 ) k2(2 3 ) k3(3 1 ) O （1）成立，
只有k1 0,k2 0,k3 0，将（1）式恒等变形为
(k3 k1 )1 (k1 k2 )2 (k2 k3 )3 O （2）
(b1,b2,b3)(1,2,3)10
1 1
10
记作 BAK，设 B x o ，A (即 K) x o
由1 于 ,2,3线性 ,故 R 无 (A )3 关 ，
即Ay o只有零解。Kxo，
而|K|20，故 Kxo只有零 解 x， o
即B的列向b1量 ,b2,b组 3线性无关。
作业
返回
例3 已知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无
线 性,则 相பைடு நூலகம் 关 b必 量能 由A线 向性 量,且 表 组表 示示 是唯一的。
证明: 记 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,m , b ) , 有
R (A ) R (B ) R (A ) 1
因A组线性无关 R(， A)有 m; 所m 以 R (B )m 1 ，
因 B组线性相关， 有 R (B )m 1 。即 R (B )有 m .
组B : b1,b2 ,,bm也 线 性 无 关 .
反 言 之 ， 若 向 量B线 组性 相 关 ,
则 向 量 组 A也 线 性 相 关 .
作业
返回
证明: 记 Arm(1, m)， B(r1)m(b1, ,bm),
有 R(A)R(B)若 . 向A 量 线组 性,则 无 R(A 关 )m，
从 而R(B 有 )m.但R(B)m(因B只 有 m列 ） ，
若向 A 线 量性 组 ,则 相 R (有 A )关 m ，
而 R (B)R (A )1 m 1, 因此 ,向量B组 线性相. 关
注 A 组是 B 组的部分组
一个向量组若有线性相关的部分组，则该向 量组线性相关。其逆否命题为: 一个向量组若线 性无关，则它的任何部分组都线性无关。
部分相关则整体相关，整体无关则部分无关.
得 到 的 新 的 向 量 组 仍 线 性 相 关 .
作业
返回
线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个是方其程余方程的线性组 合时，这个方程就余是的多，这时称方程各组（ 个方程）是线性相；关当的方程组中没有方多余 程，就称该方程组个（方各程）线性无关线（或 性独立. ）
作业
返回
小结
1. 线性相关与线性无关的概念； 线性相关性在线性方程组中的应用；(重点)
即 x （ 1 1 2 ） x 2 ( 2 3 ) x 3 ( 3 1 ) 0 ,
亦 （ x 1 x 3 ) 1 ( x 即 1 x 2 ) 2 ( x 2 x 3 ) 3 0 ,
因1，2，3线性无关， xx故 11 xx有 23 00
, ,
x 2 x 3 0.
因为k3 k1 0,k1 k2 0,k2 k3 0，
作业
故有1
,
2
,
线性无关。
3
返回
定理5 (1若 )向量 A： 组 1,2, ,m线性,则 相关 向量 B:组 1, ,m,m1也线性 .反相 言 ,若 关 之 向
量B 组 线性,则 无 向关 量 A也 组线性 . 无关
证明: 记 A ( a 1 , ,a m )B , ( a 1 , ,a m ,a m 1 ) ，
第四章 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性
线性相关性的概念 线性相关性的判定定理 例题详解 小结
作业
返回
例3 已知 向 1,2, 量 3线组 性 ,b1无 1关 2,
b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无关
证 设有x1 , x2 , x3使 x1b1 x2b2 x3b3 0
101
由于此方程组的系数行列式 1 1 0 2 0
011 故方程组 x1x只 2x3有 0 ， 零 所 向 解 以 量
作业b1,b2,b3线性 . 无关
返回
例3 已知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无
(二) 由已知可得
1 0 1
故 R(B)m，因此B 向 线量 性组 .无关 结论
若 向 量 组 1,2, ,m线 性 无 关 ,则 在 每 个 j相 同 位 置 处 增 加 若 干 个 分 量 后 (即 j维 数 增 加 ),得 到 的
新 的 向 量 组 仍 线 性 无 关 .
反 言 之 ,若 向 量 组 1,2, ,m线 性 相 关 ,则 在 每 个 j相 同 位 置 处 减 少 若 干 个 分 量 后 (即 j维 数 减 少 ),
(三) 由已知可得
(b1,b2,b3)(1,2,3)110
0 1 1
110
记作 BAK，而 |K|20， K可逆
故 R ( b 1 ,b 2 ,b 3 ) R (1 ,2 ,3 ) 3
因而b1,b2,b3 线性无关。
作业
返回
例3 已知向 1,2,量 3线组 性 ,b1无 1关 2, b223,b331,试b1证 ,b2,b3线性 . 无
由 R (A )R (B ) m ,知方 (1 ,2 程 , ,m )组 x b 有唯
即向量 b能由向量A线 组性表示，且表一 示. 式唯
作业
返回
a1j
(4)设j a2j ,
arj
a1j
a2j
bj ,
arj
ar1,
j
(j 1,2,,m),
即j 添上一个分量后得向 bj .量
若 向 量 组 A:1,2 ,,m线 性 无 关 ,则 向 量
作业
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(2)m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个 数m时一定线性相关.
特别地，n+1个n维向量一定线性相关。
证明:
m个n维向 1,量 2, ,m构成矩阵 Anm(1,2, ,m)，
若 n m ,则 R (A )n m ,
故 m 个向 1,量 2, ,m 线性. 相关
作业
返回
(3)设 向A量 :1,组 2, ,m线 性,而 无 B:关 1,2, ,m,b
2. 线性相关与线性无关的判定方法： 定义，两个定理．（难点）