控制图的基本原理

质量特性数据具有波动性，在没有进行观察或测量时，一般是未知的，但其又具有规律性，它是在一定的范围内波动的，所以它是随机变量。

一、正态分布

如果随机变量受大量独立的偶然因素影响，而每一种因素的作用又均匀而微小，即没有一项因素起特别突出的影响，则随机变量将服从正态分布。

正态分布是连续型随机变量最常见的一种分布。它是由高斯从误差研究中得出的一种分布，所以也称高斯分布。随机变量服从正态分布的例子很多。一般来说，在生产条件不变的前提下，产品的许多量度，如零件的尺寸、材料的抗拉强度、疲劳强度、邮件的内部处理时长、随机测量误差等等都是如此。

定义若随机变量的概率密度函数为：

则称的分布为正态分布，记为。

正态分布的概率密度函数如图5—1所示。

图5-l正态分布概率密度曲线

从图中我们叫以看出正态分布有如下性质：

(1)曲线是对称的，对称轴是x=μ；

(2)曲线是单峰函数，当x=μ时取得最大值；

(3)当曲时，曲线以x轴为渐近线；

(4)在处，为正态分布曲线的拐点；

(5)曲线与x轴围成的面积为1。

另外，正态分布的数字特征值为：

平均值

标准偏差

数字特征值的意义：平均值μ规定了图形所在的位置。根据正态分布的性质，在x=μ处，曲线左右对称且为其峰值点。

标准偏差，规定了图形的形状。图5-2给出了3个不同的值时正态分布密度曲线。当小时，各数据较多地集中于μ值附近，曲线就较“高”和“瘦”；当大时，数据向μ值附近集中的程度就差，曲线的形状就比较“矮”和“胖”。这说明正态分布的形状由

的大小来决定。在质量管理中，反映了质量的好坏，越小，质量的一致性越好。

图5-2大小不同时的正态分布

在正态分布概率密度函数曲线下，介于坐标

,,,间的面积，分别占总面积的58.26%，95.45%，99.73%和99.99%。它们相应的几何意义如图5-3听示。

图5-3各种概率分布的几何意义

二、控制图的轮廓线

控制图是画有控制界限的一种图表。如图5-4所示。通过它可以看出质量变动的情况及趋势，以便找出影响质量变动的原因，然后予以解决。

图5-4控制图

我们已经知道：在正态分布的基本性质中，质量特性数据落在[μ±3]范围内的概率为99.73%，落在界外的概率只有0.27%，超过一侧的概率只有0.135%，这是一个小概率事件。这个结论非常重要，控制图正是基于这个结论而产生出来的。

现在把带有μ±3线的正态分布曲线旋转到一定的位置(即正态分布曲线向右旋转9，再翻转)，即得到了控制图的基本形式，再去掉正态分布的概率密度曲线，就得到了控制图的轮廓线，其演变过程如图5-5所示。

图5—5控制图轮廓线的演变过程

通常，我们把上临界线(图中的μ+3线)称为控制上界，记为

U C L(U p p e r C o n t r o l L i m i t)，平均数(图中的μ线)称为中心线，记为C L (C e n t r a l L i n e)，下临界线(图中μ-3线)称为控制下界，记为L C L(L o w e r C o n t r o l L i m i t)。控制上界与控制下界统称为控制界限。按规定抽取的样本值用点子按时间或批号顺序标在控制图中，

称为描点或打点。各个点子之间用实线段连接起来，以便看出生产

过程的变化趋势。若点子超出控制界限，我们认为生产过程有变化，就要告警。

三、两种错误和3方式

从前面的论述中我们已知，如果产品质量波动服从正态分布，那么产品质量特性值落在μ土3控制界限外的可能性是0.27%，而落在一侧界限外的概率仅为0.135%。根据小概率事件在一次实验中不会发生的原理，若点子出界就可以判断生产有异常。可是0.27%这个概率数值虽然很小，但这类事件总还不是绝对不可能发生的。

当生产过程正常时，在纯粹出于偶然原因使点子出界的场合，我们根据点子出界而判断生产过程异常，就犯了错发警报的错误，或

称第一种错误。这种错误将造成虚惊一场、停机检查劳而无功、延

误生产等损失。

为了减少第一种错误，可以把控制图的界限扩大。如果把控制界限扩大到μ±4，则第一种错误发生的概率为0.006%，这就可使由错发警报错误造成的损失减小。可是，由于把控制界限扩大，会增

大另一种错误发生的可能性，即生产过程已经有了异常，产品质量

分布偏离了原有的典型分布，但是总还有一部分产品的质量特性值

在上下控制界限之内，参见图5-6。

如果我们抽取到这样的产品进行检查，那么这时由于点子未出界而判断生产过程正常，就犯了漏发警报的错误，或称第二种错误。

这种错误将造成不良品增加等损失。

图5-6控制图的两种错误

要完全避免这两种错误是不可能的，一种错误减小，另一种错误就要增大，但是可以设法把两种错误造成的总损失降低到最低限度。

也就是说，将两项损失之和是最小的地方，取为控制界限之所在。以μ±3

为控制界限，在实际生产中广泛应用时，两种错误造成的总损失为最小。如图5-7所示。这就是大多数控制图的控制界限都采用μ±3方式的理由。

图5—7两种错误总损失最小点

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