第四讲 圆周运动

第四讲 圆周运动
1．描述圆周运动的物理量
圆周运动的定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动。

（1）线速度 ①定义：质点沿圆周运动所通过的弧长Δl 与所需时间Δt 的比值，即单位时间所通过的弧长，叫做线速度。

②物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。

③定义式：v =Δs /Δt ④单位：在国际单位制中，线速度的单位是米每秒，符号是m /s
如果Δt 取得很小，v 就为瞬时线速度，此时的Δs 方向就与半径垂直，即沿该点的切线方向。

（2）角速度 ①定义：做圆周运动的质点，连接质点和圆心的半径所转过的角度与所用时间的比值，即单位时间所转过的角度就是质点的角速度。

②物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。

③定义式：ω=Δφ/Δt ④单位：在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符号是rad/s （3）周期T ，频率f 和转速n 周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间，用符号T 表示，在国际单位制中，周期的单位是秒（s ）。

频率：做圆周运动的物体在1秒内沿圆周绕圆心转过的圈数，用符号f 表示，在国际单位制中，频率的单位是赫兹（Hz ）
转速：做圆周运动的物体在单位时间内所转过的圈数，用符号n 表示，单位有转每秒（r/s ）或转每分（r/min ），其国际单位制单位为弧度每秒。

当单位时间取1秒时，f =n
（4）线速度、角速度、周期、转速之间的关系：
①线速度与角速度的关系： R v ω=
此式表明：R 一定时，v 与ω成正比；ω一定时，v 与R 成正比。

②角速度与周期的关系： T
π
ω2=
此式表明：角速度与周期一定是成反比，周期大的角速度一定小。

③线速度与周期的关系：
T R
v π2=
此式表明：只有当半径相同时，周期小的线速度大；当半径不同时，周期小的线速度不一定大，周期与线速度描述的快慢是不一样的
④周期和转速的关系： n
T 1
= ⑤角速度与转速的关系：
n πω2=
此式表明：角速度与转速一定成正比，转速越大，角速度就越大。

（5）向心加速度 ①定义：做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心，这种加速度称为向心加速度。

②物理意义：描述线速度方向改变的快慢。

③大小：
④方向：总是沿着圆周运动的半径指向圆心，即向心加速度a 方向始终与运动方向垂直，a 的方向时刻改变。

不论加速度a 的大小是否变化，a 的方向总是时刻改变的，所以圆周运动一定是变加速运动。

（6）向心力 ①定义：做匀速圆周运动的物体受到的合力方向总是指向圆心的，这个合力叫做向心力。

②大小：R m R
mv F 22
ω== ③方向：总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，所以向心力是变力。

2．对向心加速度的进一步理解 （1）公式：
① 当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。

友情提醒：对运动的质点而言，只要其速度发生了变化，则这一变化过程就有加速度。

而速度是矢量，只要大小或方向有一个发生了变化，则都是合外力作用的结果，产生的向心加速度决定线速度方向变化的快慢。

22222222444v R a R n R f R v R T
πωππω======友情提醒：a 与r 是成正比还是反比，要看前提条件。

若ω相同，a 与r 成正比；若v 相同，a 与r 成反比；若r 相同，a 与ω2成正比，a 与v 2成正比。

友情提醒：向心力是按效果命名的力，由其他力提供，不可在分析了其他具体的力后又加一个向心力，向心力总指向圆心，但不一定等于物体所受的合力。

2
22
22222
444v R a R n R f R v R
T πωππω======
②当角速度 一定时，向心加速度a 与运动半径R 成正比，a 与R 的关系如图所示。

③ 当线速度v 一定时,向心加速度a 与运动半径R 成反比，a 与R 的关系如图所示。

④当运动半径一定时,向心加速度随频率的增加或周期的减小而增大. （2）向心加速度公式同样适用于非匀速圆周运动。

对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，只产生向心加速度。

对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动，如图所示，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是实际加速度的一个分加速度。

3．对向心力的理解
（1）向心力是按力的作用效果来命名的力。

它不是具有确定性质的某种力，相反，任何性质力都可以作为向心力。

例如，小铁块在匀速转动的圆盘内保持相对静止的原因就是静摩擦力充当向心力；若圆盘光滑时，就必须用细线拴住小铁块，才能保证小铁块同圆盘一起做匀速转动，这时向心力由细线的拉力提供。

（2）向心力的作用效果是改变线速度的方向。

做匀速圆周运动的物体所受的合外力即为向心力，它是产生向心加速度的原因，其方向一定指向圆心，是变化的。

对于线速度大小变化的非匀速圆周运动的舞台，其所受的合外力不指向圆心，它既要改变速度方向，同时也改变速度的大小，即产生法向加速度和切向加速度。

（3）向心力可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力。

例如用细绳拴着质量为m 的舞台，在竖直平面内做圆周运动到最低点时，其向心力由绳的拉力和物体的重力两个力的合力充当。

如下图左所示。

友情提醒：（1）匀速圆周运动是一种特殊的圆周运动，只有在匀速圆周运动中加速度才指向圆心；（2）物体做匀速圆周运动的条件是：合外力或加速度大小不变，方向时刻与速度垂直，指向圆心；（3）只有在线速度不变时，才能说向心加速度与半径成反比；只有在角速度不变时，才能说向心加速度与半径成正比。

而在圆锥摆运动中，小球做匀速圆周运动的向心力则是拉力的分力（θtan mg F =，其中θ为摆线与竖直轴的夹角充当），因此绝不能在受力分析时沿圆心多加一个向心力。

如上图右所示。

4．向心力的来源
（1）确定圆周运动的物体所需向心力的来源，是研究圆周运动的关键。

向心力来源的判断依据是：任何一个力或几个力的合力，只要它能使物体产生向心加速度， 这就是物体所受的向心力。

（2）若物体做匀速圆周运动，其向心力必然是物体所受的合外力，它始终沿着半径方向指向圆心，并且大小恒定。

（3）若物体做非匀速圆周运动，其向心力则为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则改变线速度的大小。

5．匀速圆周运动
（1）物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动。

（2）特点：线速度的大小不变，方向时刻改变；角速度、周期、频率都是恒定不变，向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。

（3）性质：是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变而方向时刻变化的变加速曲线运动。

（4）加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度。

因此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力。

（5）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直并指向圆心。

6．变速圆周运动
物体运动的轨迹仍然为圆周，但速度的大小有变化，向心力和向心加速度的大小也随着变化。

匀速圆周运动的公式对变速圆周运动仍然适用，只是利用公式求圆周上某一点的向心力和向心加速度的大小时，必须用该点的瞬时速度值。

题型一：线速度、角速度、周期
友情提醒：（1）向心力是按效果命名的力，向心力只能由某一性质力或某几个性质力的合力来充当。

（2）只有匀速圆周运动物体的合外力才指向圆心，其合外力充当向心力，而非匀速圆周运动的物体的合外力不一定指向圆心。

【例题1】做匀速圆周运动的物体，10s 内沿半径是20 m 的圆周运动了5圈，则其线速度大小是 m /s ，周期是 s ，角速度是 rad /s ．
【课堂训练】如图所示，圆环以直径AB 为轴匀速转动。

已知其半径为0.5m ，周期为4s ，求环
上P 点和Q 点的角速度和线速度。

题型二：线速度、角速度、周期之间的关系
【例题2】如图所示的皮带传动装置中，右边两轮连在一起同轴转动。

图中三轮半径的关系为：r 1=2r ，r 3=1.5 r 1，A 、B 、C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A 、B 、C 三点的线速度之比为____________；加速度之比为____________；周期之比为______________。

【课堂训练】关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的
是（
）
A ．线速度大的角速度一定大
B ．线速度大的周期一定小
C ．角速度大的半径一定小
D ．角速度大的周期一定小
题型三：对向心加速度的理解
【例题3】（2010·陕西师大附中高一考试）如图是甲、乙两球作匀速圆周运动时，向心加速度随半径变化图像，其中图线甲为一双曲线。

由图像可以知道（ ）
A 、甲球运动时，线速度大小保持不变；
B 、甲球运动时，角速度大小保持不变；
C 、乙球运动时，线速度大小保持不变；
D 、乙球运动时，角速度大小保持不变。

【课堂训练】关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A ．由r
v a 2
=可知，a 与r 成反比
B ．由r a 2ω=可知，a 与r 成正比
C ．由r v ω=可知，ω与r 成反比
D ．由n πω2=可知，ω与n 成正比
题型四：对向心力来源的理解
【例题4】（2008·福建福州八中高一考试）如图所示，小物块A 与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动．则下列关于A 的受力情况的说法中正确的是（ ）
A ．重力、支持力
B ．重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
C ．重力、支持力、摩擦力和向心力
D ．重力、支持力和指向圆心的摩擦力
【课堂训练】如图所示，在匀速转动的圆桶内壁上紧靠着一个物体一起匀速转动，物体的受力
情况说法正确的是（ ）
A ．只受重力
B ．只受重力、摩擦力
C ．受重力、摩擦力、弹力和向心力
D ．受重力、摩擦力、弹力
题型五：向心力公式的应用
【例题5】（2010·北京海淀高一考试）如图所示，OM=MN=R 。

两小球质量都是m ，a 、b 为水平轻绳。

两小球正随水平圆盘以角速度ω匀速同步转动。

小球和圆盘间的摩擦力可以不计。

求：
（1）绳b 对小球N 的拉力大小； （2）绳a 对小球M 的拉力大小。

【课堂训练】（2010·吉林通化高一考试）如图所示，在以角速度ω=2rad/s 匀速转动的水平圆
盘上，放一质量m =5kg 的滑块，滑块离转轴的距离r =0.2m ，滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动（二者未发生相对滑动）．求：
（1）滑块运动的线速度大小；
（2）滑块受到静摩擦力的大小和方向．
过关基础训练
1．(2008·湖南长沙一中高一考试 )关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法错误的是（ ） A ．半径一定，角速度和线速度成反比 B ．半径一定，角速度和线速度成正比 C ．线速度一定，角速度和半径成反比 D
．角速度一定，线速度与半径成正比
2．(2008·河北唐山高一考试)关于匀速圆周运动下列说法正确的是（ ） A ．线速度方向永远与加速度方向垂直，且速率不变 B ．它是速度不变的运动 C ．它是匀变速运动
D ．它是受力恒定的运动
3．( 2010·陕西师大附中高一考试)如图为常见的自行车传动示意图。

A 轮与脚登子相连，B 轮与车轴相连，C 为车轮。

当人登车匀速运动时，以下说法中正确的是（ ）
A ．A 轮与
B 轮的角速度相同
B ．A 轮边缘与B 轮边缘的线速度相同
C ．B 轮边缘与C 轮边缘的线速度相同
D ．B 轮与C 轮的角速度相同 4．（2010·广东湛江高一考试）A 、B 分别是地球上的两个物体，A 在北纬某城市，B 在赤道上某地，如图所示。

当它们随地球自转时，它们的角速度分别是ωA 、ωB ，它们的线速度大小分别是v A 、v B 下列说法正确的是（ ）
A ．ωA =ω
B ，v A <v B B ．ωA =ωB ，v A >v B
C ．ωA <ωB ，v A =v B
D ．ωA >ωB ，v A <v B 5．两个做圆周运动的质点，它们的角速度之比为3:1，线速度之比为2:3，那么下列说法正确的是（ ） A ．它们的轨道半径之比为 2:9 B ．它们的轨道半径之比为1:2 C ．它们的周期之比为2:3 D ．它们的周期之比为1:3
6．由“嫦娥奔月”到“万户飞天”，由“东方红”乐曲响彻寰宇到航天员杨利伟遨游太空，中华民族载人航天的梦想已变成现实。

“神舟”五号飞船升空后，先运行在近地点高度为200km 、远地点高度为350km 的椭圆轨道上，实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n 周，起始时刻为1t ,结束时刻为2t ,运行速度为v ,半径为r ,则计算其运行周期可用（ ）
A ．n t t T 12-=
B ．n t t T 2
1-= C ．v r T π2=
D ．r
v T π2= 7．（2010·贵州遵义高一考试）如图所示，一个匀速转动的半径为r 的水平的圆盘上放着两个小木块M 和N ，木块M 放在圆盘的边缘处，木块N 放在离圆心1
3
r 的地方，它们都随圆盘一起运动。

比较两木块的线速度和角速度，下列说法中正确的是（ ）
A ．两木块的线速度相等
B ．两木块的角速度相等
C ．M 的线速度是N 的线速度的两倍
D ．M 的角速度是N 的角速度的两倍 8．（2008·湖南长沙一中高一考试 ）物体做圆周运动时，下列关于向心力的作法，不正确的有（ ） A ．物体做匀速圆周运动时，受到的向心力是恒力 B ．向心力的作用是改变速度的方向 C ．向心力可以是物体受到的合外力 D ．向心力是产生向心加速度的力 9．（2010·安徽芜湖高一考试 ）一物体以4m/s 的线速度做匀速圆周运动,转动周期为2s 。

则该物体在运动过程的任一时刻，速度变化率的大小为（ ）
A ．2 m/s 2
B ．4m/s
C ．0
D ．π4m/s 2
A B
10．（2010·山东淄博高一考试）汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧。

两车沿半径方向受到的摩擦力分别为甲f 和乙f 。

以下说法正确的是
A ．甲f 小于乙f
B ．甲f 等于乙f
C ．甲f 大于乙f
D ．甲f 和乙f 大小均与汽车速率无关
11．（2010·辽宁大连高一考试）A 、B 两物体都做匀速圆周运动，A 的质量是B 的质量的一半，A 的轨道半径是B 轨道半径的一半，当A 转过60°角的时间内，B 转过了45°角，则A 物体的向心力与B 的向心力之比为（ ）
A ．1:4
B ．2:3
C ．4:9
D ．9:16
12． ( 2008·辽宁省高一五校联考) 穿过水平桌面的细绳下端吊一个质量确定的钩码，上端拴一个小球，先后使小球在桌面上以两种大小不同的角速度做稳定的匀速圆周运动。

不计一切摩擦，以较大的角速度运转与较小的角速度运转比较，有（ ）
A ．角速度较大的运转半径大
B ．角速度较大的线速度小
C ．角速度较大的向心加速度大
D ．角速度较大的向心力大
13．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动.若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是（ ）
A ．物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B ．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C ．物体所受弹力减小，摩擦力减小
D ．物体所受弹力增大，摩擦力不变 14．（2008·浙江高一联考）有一种砂轮机，砂轮直径为0.6m ，下边缘离地高1.2m 。

正常工作时砂轮以每分钟1500转的转速匀速转动。

则：
(1)砂轮转动的周期、角速度分别是多少？
(2)工作时，从砂轮的上边缘散落颗粒的落点在何位置？（忽略空气阻力）
15．（2010年吉林通化高一考试）如图所示，在以角速度ω=2rad/s匀速转动的水平圆盘上，放一质量m=5kg的滑块，滑块离转轴的距离r=0.2m，滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动（二者未发生相对滑动）．求：（1）滑块运动的线速度大小；（2）滑块受到静摩擦力的大小和方向．
培优提升训练
1．（2008·高考宁夏卷）如图所示为某一皮带传动装置。

主动轮的半径为r 1,从动轮的半径为r 2。

已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑。

下列说法正确的是（ ）
A ．从动轮做顺时针转动
B ．从动轮做逆时针转动
C ．从动轮的转速为
21
r r n
D ．从动轮的转速为
1
2
r r n 2．两个小球固定在一根长为L 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动，如图所示，当小球1的速度为v 1时，小球2的速度为v 2，则转轴O 到小球2的距离为（ ）
A ．211v v v +L
B ．212
v v v +L C ．
1
2
1v v v +L D ．
2
2
1v v v +L 3．（2010·江苏徐州高一考试）如图所示的装置中，已知大轮A 的半径是小轮B 的半径的3倍．A 、B 在边缘接触，形成摩擦传动，接触点无打滑现象．B 为主动轮，B 转动时
边缘的线速度为v ，角速度为
ω，则（ ）
A ．A 轮边缘的线速度为3/v
B ．A 轮的角速度为3/ω
D ．两轮边缘的线速度之比为1:1:=B A v v C ．两轮转动的周期之比1:3:=B A T T
4．小球A 和B 用细线连接，可以在光滑的水平杆上无摩擦地滑动，已知它们的质量之比m 1∶m 2＝3∶1，当这一装置绕着竖直轴做匀速转动且A 、B 两球与水平杆子达到相对静止时(如图所示)，A 、B 两球做匀速圆周运动的（ ）
A B
A ．线速度大小相等
B ．角速度相等
C ．向心力的大小之比为F 1∶F 2＝3∶1
D ．半径之比为r 1∶r 2＝1∶3
5． ( 2010·江苏泰兴高一考试)如图所示，一根不可伸长的轻绳一端拴着一个小球，另一端固定在竖直杆上，当竖直杆以角速度ω转动时，小球跟着杆一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角为θ，下列关于ω与θ关系的图象正确的是（ ）
6．如图所示，为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定着两个薄圆盘A 、B ，A 、B 平行相距2m ，轴杆的转速为360r/min ，在薄圆盘转动不到半周的时间里，子弹穿过两盘留下两个弹孔a 、b ，测得两孔所在的半径夹角为30°，则测得该子弹的速度是 ．
7．如图所示，圆环以直径AB 为轴匀速转动，求环上P 点和Q 点的角速度为______，线速度之比为______。

A
∙P
Q ∙
O 30°
60° B
8．(2010·山东潍坊高三考试)如图是自行车的传动装置示意图，若脚蹬匀速转一圈需要时间T 。

已数出链轮齿数为48，飞轮齿数为16，要知道在此情况下自行车前进的速度，要知道在此情况下自行车的前进速度，还需要测量的物理量是
______________________________（填写该物理量的名称及符号）。

用这些量表示自行车前进速度的表达式v =__________。

9．一个直径为d 的飞轮绕水平轴转动，当飞轮转速为n 时，附在轮边沿上与圆心同高处的水滴脱离飞轮竖直向上飞出。

求证：水滴上升的最大高度g
d n h 22
22π=。

10．如图所示，一绳系一球在光滑的桌面上做匀速圆周运动，绳长L ＝0.1m ，当角速度为ω＝20rad/s 时，绳断开，试分析绳断开后：
(1) 小球在桌面上运动的速度；
(2) 若桌子高1.00m ，求小球离开桌子后运动的时间和落点与桌子边缘的水平距离．
11. 如图所示，质点以一定速度从左边界上的A 点射入边长为L =0.3m 的虚线所围成的正方形区域，质点在区域中做匀速圆周运动，经过时间t =10-3s ，质点从区域右边界的B 点射出，射出时速度方向已转过6
π
θ=
角，求：
（1）圆周的半径r ， （2）质点的入射速率v 。

12． ( 2010·江苏无锡高一考试)一自行车在水平路面上以速度v 匀速前进，从直径为1d 的前轮边缘最高点P 飞出一小石块，求小石块飞出后做平抛运动的落地点到平抛起点的水平距离。

13． ( 2008·广东电海中学高一考试)如图所示，小球Q 在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q 球逆时针转到图示位置时，有另一小球P 在距圆周最高点为h 处开始自由下落，要使两球在圆周的最高点相碰，则Q 球的角速度ω满足什么条件？
14．( 2010·广西北海高一考试)游乐场内有一种叫“空中飞椅”的游乐项目，如图所示，在半径为r =4m 的水平转盘的边缘固定着数条长为l =10m 的钢绳，纲绳的另一端连接着座椅（图中只画出2个），转盘在电动机带动下可绕穿过其中心的竖直轴转动。

设在每个座椅内坐着质量相同的人，可将人和座椅看成是一个质点，人和座椅的质量为m =60kg ，重力加速度g =10m/s 2，不计钢绳的重力及空气的阻力。

当转盘以某一角速度ω匀速转动时，座椅从静止开始随着转盘的转动而升高，经过一段时间后达到稳定状态，此时钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ=37︒。

求此时转盘匀速转动时的角速度及绳子的拉力。

15．( 2010·四川绵阳高一考试)如图所示，是双人花样滑冰运动中男运员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面，若女运动员做圆锥摆时和竖直方向的夹角约为，女运动员的质量为，转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为r ，求：
（1）男运动员对女运动员的拉力大小 （2）两人转动的角速度。

（3）如果男、女运动员手拉手均作匀速圆周运动，已知两人质量比为2 : 1，求他们作匀速圆周运动的半径比。

16．如图所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔O ；一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m ＝1kg 的小球A ，另一端连接质量为M ＝4kg 的重物B 。

θ
m
(1)当小球A沿半径r＝0.1m的圆周做匀速圆周运动，其角速度为 ＝10rad/s时，物体B对地面的压力为多大？
(2)当A球的角速度为多大时，B物体处于将要离开、而尚未离开地面的临界状态？(g ＝10m/s2)。