第四节有理函数的积分(3)

第四节 有理函数的积分
本节我们还要介绍一些比较简单的特殊类型函数的不定积分,包括有理函数的积分以及可化为有理函数的积分,如三角函数有理式、简单无理函数的积分等.
分布图示
★ 有理函数的积分 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 有理函数的原函数 ★ 三角函数有理式的积分 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14
★ 简单无理函数的积分
★ 例 15 ★ 例 16 ★ 例 17 ★ 例 18 ★ 例 19 ★ 例 20 ★ 例 21
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题4-4
内容要点
一、有理函数的积分 1．最简分式的积分
下列四类分式称为最简分式,其中n 为大于等于2的正整数.,A 、M 、N 、a 、p 、q 均为常数,且042<-q p .
(1)
a x A
-； (2) n
a x A )(-； (3) q
px x N
Mx +++2； (4) n q px x N Mx )(2+++.
2．有理分式化为最简分式的和
二、可化为有理函数的积分
1．三角函数有理式的积分: 由x sin 、x cos 和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数,记为).cos ,(sin x x R
2．简单无理函数的积分
求简单无理函数的积分,其基本思想是利用适当的变换将其有理化,转化为有理函数的积分. 下面我们通过例子来说明.
三、总结
本章我们介绍了不定积分的概念及计算方法. 必须指出的是：初等函数在它有定义的区间上的不定积分一定存在,但不定积分存在与不定积分能否用初等函数表示出来不是一回事. 事实上,有很多初等函数,它的不定积分是存在的,但它们的不定积分却无法用初等函数表示
出来,如
dx e x ⎰
-2
,
⎰
dx x
x
sin ,⎰
+3
1x
dx .
同时我们还应了解,求函数的不定积分与求函数的导数的区别,求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做,而求一个函数的不定积分并无统一的规则可循,需要具体问题具体分析,灵活应用各类积分方法和技巧.
例题选讲
有理式的分解
例1(E01) 分解有理分式
6
53
2
+-+x x x . 解 ,)3)(2(36532--+=+-+x x x x x x ∴设,326532-+-=+-+x B
x A x x x
),2()3(3-+-=+x B x A x )23()(3B A x B A x +-+=+∴⇒⎩⎨
⎧=+-=+3)23(1B A B A ⇒⎩
⎨⎧=-=,65
B A .36
256
532
-+--=+-+∴
x x x x x
例2 分解有理式 .24
2
4x x + 解
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++++=+=+24)2(424222224x D Cx x B x A x x x x 两边同乘以2x 得:
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⋅++++=+2222424x x D Cx B Ax x 令,0=x 得.2/1=B 再将上式两边求导:
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⋅+=+-2224)2(822
222x D Cx x x D Cx x A x x
令,0=x 得.0=A
同理，两边同乘以,22+x 令,2C x =得,0=C ,2/1-=D 所以
)2(4
242224+=+x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)2(2121422x x .2222
2+-=x x
例3 分解有理分式
2
)1(1
-x x .
解 设
1
)1()1(122-+
-+=-x C x B x A x x ⇒),1()1(12
-++-=x Cx Bx x A (*) 代入特殊值来确定系数,,,C B A 取0=x ⇒;1=A 取1=x ⇒;1=B 取,2=x 并将B A ,值代入(*)⇒;1-=C
.11)
1(11)1(12
2---+=-∴x x x x x
例4 分解有理分式 )
1)(21(1
2x x ++.
解 设2
2121)1)(21(1x C Bx x A x x ++++=++⇒),21)(()1(12
x C Bx x A ++++= 整理得 ,)2()2(12A C x C B x B A +++++=即1,02,02=+=+=+C A C B B A
⇒,5
1
,52,54=-==
C B A .151
522154)1)(21(1
22
x x x x x ++
-++=++∴
例5 将 )
1)(1(1
22
2+---+x x x x x 分解为部分分式. 解 设1
1)1)(1(12222+-++-=+---+x x C
Bx x A x x x x x 去分母，得)1)(()1(1222-+++-=-+x C Bx x x A x x 令,1=x 得;2=A 令,0=x 得,1C A -=-所以;3=C
令,2=x 得,237C B A ++=所以.1-=B 因此
.1
3
12)1)(1(12222+----=+---+x x x x x x x x x
有理式的积分
例6 (E02) 求不定积分
⎰
-dx x x 2
)1(1
.
解 根据例2的结果
,1
1
)1(11)1(122---+=-x x x x x
∴ 原式dx x x x ⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+=11)1(112dx x dx x dx x ⎰
⎰⎰---+=11
)1(112
.|1|ln 1
1
||ln C x x x +----=
例7 (E03) 求不定积分
⎰
++dx x x )
1)(21(1
2
.
解 根据例3的结果
,151
522154)1)(21(12
2x x x x x ++
-++=
++ ∴ 原式⎰⎰++
-++=dx x x dx x 2
151522154⎰⎰
+++-+=dx x dx x x x 2211511251|21|ln 52
.arctan 51
)1ln(51|21|ln 522C x x x +++-+=
例8 求不定积分.)
1)(1(1
22
2dx x x x x x ⎰+---+ 解 根据例5的结果，有
dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛+----=+---+1312
)1)(1(12222⎰
⎰+----=dx x x x x dx 13122
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡++--+----=⎰⎰
4341511221|1|ln 22
2x x dx
dx x x x x
⎰
⎰
+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪
⎭⎫ ⎝⎛
--+-+---=43
2121251)1(21|1|ln 2222
x x d x x x x d x |1|ln 21
|1|ln 22+---=x x x C x +-⋅+2/32/1arctan 3225 .3
12arctan
3
51
)1(ln
2
2C x x x x +-+
+--=
例9 (E04) 求不定积分⎰+++++4
55
5222423x x x x x .
解法1
⎰⎰+++++++=dx x x x dx x x x x I 4
55
24552242243⎰⎰
++++++++++=
dx x x x x x x x x d )4)(1(4145)45(212222424 ⎰⎰
++++++=1
4|45|ln 212
224x dx x dx x x .2arctan 21arctan |45|ln 2124C x
x x x +++++= 解法2
4
1)4)(1(5522222223+++++=+++++x D
Cx x B Ax x x x x x
)4)((5522223++=+++x B Ax x x x )1)((2+++x D Cx
比较x 同次幂的系数得54,54,2,2=+=+=+=+D B C A D B C A 解得.1,1,1,1====D C B A 故 ⎰
⎰
+++++=
dx x x dx x x I 4
1
1122 |4|ln 21|1|ln 2122+++=x x C x
x +++2arctan arctan .2
arctan 21arctan |45|ln 2124C x
x x x +++++= 解法3 由)1(5)1(25522223+++=+++x x x x x x )52)(1(2++=x x ，则有 )4)(1()52)(1()4)(1(55222222223++++=+++++x x x x x x x x x )4)(1()41)(1(2222++++++=x x x x x .4
1
112
2+++++=x x x x 所以
.2arctan 21arctan |45|ln 2124C x
x x x I +++++=
例10 求不定积分
.11
6
/3/2
/dx e e e
x x x ⎰+++
解 令6
x
e t =⇒,6,ln 6dt t
dx t x =
= 原式dt t t t dt t t t t ⎰⎰
++=⋅+++=
)1)(1(166112
23dt t t t t ⎰
⎪⎭⎫ ⎝
⎛++-+-=2133136
⎰⎰
+-++-+-=dt t t t d t t 2
2211
31)1(23)1ln(3ln 6 C t t t t +-+-+-=arctan 3)1ln(2
3
)1ln(3ln 62
.arctan 3)1ln(2
3
)1ln(3636C e e e x
x
x x +-+-
+-=
例11 (E05) 求不定积分
.cos sin 1sin dx x x x
⎰
++
解 由万能置换公式,12
,11cos ,12sin 2
222du u dx u u x u u x +=+-=+= 原式⎰
⎰++--++=++=
du u u u u u du u u u )
1)(1(112)1)(1(222
22 ⎰⎰
⎰+-++=+++-+=du u du u
u du u u u u 1111)1)(1()1()1(2
222
C u u u ++-++=|1|ln )1ln(2
1
arctan 2
↓2
tan x
u =
.2
tan 1ln 2sec ln 2C x
x x ++-=
例12 (E06) 求不定积分
⎰
dx x
4sin 1
. 解一 利用万能置换公式
,12
,11cos ,12sin 2
222du u dx u u x u u x +=+-=+=
原式⎰
+++=du u u u u 4
6
428331C u u u u +⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=333318133
.2tan 2412tan 832tan 83
2tan 2413
3C x x x x +⎪⎭⎫
⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-= 解二 修改万能置换公式 ,令x u tan =
,11
,11cos ,1sin 2
2
2
du u dx u x u u x +=
+=
+=
原式du u u du u u u ⎰
⎰+=+⋅⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+=
422211111
C u u +--=1313
.cot cot 313
C x x +--= 解三 不用万能置换公式
原式dx x x )cot 1(csc 22+=⎰dx x x xdx ⎰
⎰+=222csc cot csc .cot cot 3
1
3C x x +--=
结论：比较以上三种解法，便知万能置换不一定是最佳方法，故三角有理式的计算中先考虑其他手段，不得已才用万能置换.
例13 求不定积分.sin 3sin sin 1dx x x x
⎰
++
解 ,2
cos 2sin 2sin sin B
A B A B A -+=+
原式⎰⎰+=+=dx x
x x dx x x x 2cos sin 4sin 1cos 2sin 2sin 1⎰⎰
+=dx x dx x x 22cos 1
41cos sin 141
⎰⎰
+=dx x dx x x x x 2222cos 141cos sin cos sin 41 ⎰⎰
⎰++=dx x dx x dx x x 22cos 141sin 141cos sin 41 ⎰⎰
⎰++-=dx x
dx x x d x 22cos 141sin 141)(cos cos 141
.tan 4
1
2tan ln 41cos 41C x x x +++=
例14 求不定积分
.cos 4sin 3⎰
+x x dx
解一 作代换.2tan x
t =
原式⎰⎰-+=+-+++=2
2222464211412312
t t dt t
t t t dt t dt t t t t dt ⎰
⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛-++=-+=2112251)2)(12( .2
tan 21
2tan
2ln 51212ln 51C x
x
C t t +-+=+-+= 解二 原式⎰+=
x x dx cos 5
4sin 5351⎰
++=)sin()(51θθx x d .2tan ln 51C x +⎪⎭⎫
⎝⎛+=θ
其中.5
4
sin ,53cos ==θθ
例15 求不定积分
.1
213dx x x x
⎰
+++
解 先对分母进行有理化
原式=
dx x x x x x x x ⎰+-+++++-+)
1213)(1213(
)1213(⎰
+-+=dx x x )1213(
⎰⎰
++-++=)12(122
1)13(13(31x d x x d x .)12(3
1
)13(9223
23C x x ++-+=
简单无理函数的积分
例16 (E08) 求不定积分
⎰
+dx x x
3
1
3.
解 令,133
+=x t 则,,3
1
23dt t dx t x =-=从而
⎰
⎰⎰
-=-=+dt t t dt t t t dx x x
)(3131134
233
C t t +⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=253125 .)13(6
1
)13(1513/23/5C x x ++-+=
例17 (E09) 求不定积分
dx x x ⎰
+)
1(13
.
方法: 当被积函数含有两种或两种以上的根式,k x …，l x 时,可令n t x =(n 为各根指数
的最小公倍数).
解 令6t x =⇒,65dt t dx =
dt t t t dx x x ⎰⎰
+=+)1(6)1(1
2353⎰
⎰+-+=+=dt t t dt t t 222211
1616
⎰
+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=C t t dt t ]arctan [611162
.]arctan [666C x x +-=
例18 求不定积分
.1
113
dx x x ⎰
+++
解 令16+=x t ⇒dx dt t =56
原式dt t t
t 5
2361⋅+=⎰dt t t t t ⎰
⎰+-+=+=11161633C t t t t ++++-=|1|ln 663223
63131312+++-+=x x x .)11ln(66C x ++++
例19 求不定积分
⎰
+dx x
x x 1
1
. 解 令
t x x =+1⇒,)1(2,11,12
222--=-==+t tdt
dx t x t x x 原式⎰
⎰--=---=12)1(2)1(2222
t dt t dt t t t t C t t t dt t ++---=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-+-=⎰
11ln
211122 .11ln 122C x x
x x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=
例20 求不定积分
.1
1
1dx x x x -+⎰
解 令,11
-+=
x x t 则.)1(4,112
22
2--=-+=t tdt dx t t x 原式dt t t t t t dt t ⎰
⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛+---+=-+-=121111
)1)(1(42
222C t t t +--+=arctan 211ln 11
1
ln
111ln --+-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+=x x x x .11arctan
2C x x +-+-
例21 求不定积分
⎰+++
1
2
x x x dx .
解 令,12
t x x x =+++则,211
2t
t x +-=且
,
)21()1(222dt t t t dx +++=,211
122
t
t t x x +++=++
于是
⎰⎰
+++=+++dt t t t t x x x dx
)2/1(1
211
22⎰
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=dt t t t 2)2/1(232/13421 C t t t +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=)2/1(2321ln 3||ln 421.)
12(23
|2/1|ln 2134C t t t ++++= 注: 上式最后一步只需将变量t 回代为变量x 即可.
课堂练习
求下列不定积分 .4
cos 5)
2(;
)
1)(1(1
)1(224⎰
⎰
-+-+x dx
dx x x x。