第四节有理函数的积分(3)

第四节 有理函数的积分

本节我们还要介绍一些比较简单的特殊类型函数的不定积分,包括有理函数的积分以及可化为有理函数的积分,如三角函数有理式、简单无理函数的积分等.

分布图示

★ 有理函数的积分 ★ 例1 ★ 例2

★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 有理函数的原函数 ★ 三角函数有理式的积分 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14

★ 简单无理函数的积分

★ 例 15 ★ 例 16 ★ 例 17 ★ 例 18 ★ 例 19 ★ 例 20 ★ 例 21

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题4-4

内容要点

一、有理函数的积分 1．最简分式的积分

下列四类分式称为最简分式,其中n 为大于等于2的正整数.,A 、M 、N 、a 、p 、q 均为常数,且042<-q p .

(1)

a x A

-； (2) n

a x A )(-； (3) q

px x N

Mx +++2； (4) n q px x N Mx )(2+++.

2．有理分式化为最简分式的和

二、可化为有理函数的积分

1．三角函数有理式的积分: 由x sin 、x cos 和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数,记为).cos ,(sin x x R

2．简单无理函数的积分

求简单无理函数的积分,其基本思想是利用适当的变换将其有理化,转化为有理函数的积分. 下面我们通过例子来说明.

三、总结

本章我们介绍了不定积分的概念及计算方法. 必须指出的是：初等函数在它有定义的区间上的不定积分一定存在,但不定积分存在与不定积分能否用初等函数表示出来不是一回事. 事实上,有很多初等函数,它的不定积分是存在的,但它们的不定积分却无法用初等函数表示

出来,如

dx e x ⎰

-2

,

⎰

dx x

x

sin ,⎰

+3

1x

dx .

同时我们还应了解,求函数的不定积分与求函数的导数的区别,求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做,而求一个函数的不定积分并无统一的规则可循,需要具体问题具体分析,灵活应用各类积分方法和技巧.

例题选讲

有理式的分解

例1(E01) 分解有理分式

6

53

2

+-+x x x . 解 ,)3)(2(36532--+=+-+x x x x x x ∴设,326532-+-=+-+x B

x A x x x

),2()3(3-+-=+x B x A x )23()(3B A x B A x +-+=+∴⇒⎩⎨

⎧=+-=+3)23(1B A B A ⇒⎩

⎨⎧=-=,65

B A .36

256

532

-+--=+-+∴

x x x x x

例2 分解有理式 .24

2

4x x + 解

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡++++=+=+24)2(424222224x D Cx x B x A x x x x 两边同乘以2x 得:

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⋅++++=+2222424x x D Cx B Ax x 令,0=x 得.2/1=B 再将上式两边求导:

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⋅+=+-2224)2(822

222x D Cx x x D Cx x A x x

令,0=x 得.0=A

同理，两边同乘以,22+x 令,2C x =得,0=C ,2/1-=D 所以

)2(4

242224+=+x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)2(2121422x x .2222

2+-=x x

例3 分解有理分式

2

)1(1

-x x .

解 设

1

)1()1(122-+

-+=-x C x B x A x x ⇒),1()1(12

-++-=x Cx Bx x A (*) 代入特殊值来确定系数,,,C B A 取0=x ⇒;1=A 取1=x ⇒;1=B 取,2=x 并将B A ,值代入(*)⇒;1-=C

.11)

1(11)1(12

2---+=-∴x x x x x

例4 分解有理分式 )

1)(21(1

2x x ++.

解 设2

2121)1)(21(1x C Bx x A x x ++++=++⇒),21)(()1(12

x C Bx x A ++++= 整理得 ,)2()2(12A C x C B x B A +++++=即1,02,02=+=+=+C A C B B A

⇒,5

1

,52,54=-==

C B A .151

522154)1)(21(1

22

x x x x x ++

-++=++∴

例5 将 )

1)(1(1

22

2+---+x x x x x 分解为部分分式. 解 设1

1)1)(1(12222+-++-=+---+x x C

Bx x A x x x x x 去分母，得)1)(()1(1222-+++-=-+x C Bx x x A x x 令,1=x 得;2=A 令,0=x 得,1C A -=-所以;3=C

令,2=x 得,237C B A ++=所以.1-=B 因此

.1

3

12)1)(1(12222+----=+---+x x x x x x x x x

有理式的积分

例6 (E02) 求不定积分

⎰

-dx x x 2

)1(1

.

解 根据例2的结果

,1

1

)1(11)1(122---+=-x x x x x

∴ 原式dx x x x ⎰⎥⎦

⎤⎢⎣⎡---+=11)1(112dx x dx x dx x ⎰

⎰⎰---+=11

)1(112

.|1|ln 1

1

||ln C x x x +----=

例7 (E03) 求不定积分

⎰

++dx x x )

1)(21(1

2

.