最佳线性滤波器的算法和结构

x[m] m+1
=
xm
d m+1
=
E{xm+1 y*}
=
⎡ E{⎢⎣
xm xm+1
⎤ ⎥⎦
y
*
}
=
⎡ dm ⎤ ⎢⎣d m+1 ⎥⎦
x[m] m +1
=
xm
⇒ dm
=
d[m] m +1
10:11
14
7.1.2 分块Hermit矩阵的逆
已知Rm-1
R
⎡m⎤
m+1
=
Rm
R −1 m+1
Q m+1 =
⎡Qm
10:11
7
三角分解求解正则方程组
算法复杂度
三角分解：M3/6 前向代换：M(M+1)/2≈M2/2 后向代换：M(M+1)/2≈M2/2
不计算最佳估计器系数，直接计算MMSE
P0 = Py − c0H Rc0 = Py − k H L−1R(L−1 )H k = Py − k H Dk
10:11
12
7.1.1矩阵分块和最佳嵌套
定义
x
⎡m⎤
m+1
表示包含向量xm+1前m个元素的向量
x
⎣m⎦
m+1
表示包含向量xm+1后m个元素的向量
R
⎡m⎤
m+1
表示矩阵Rm+1前m行和前m列的交集，
称为Rm+1的m阶前主子矩阵
R
⎣m⎦
m+1
表示矩阵Rm+1后m行和后m列的交集
x[m] m+1
=
xm
25
7.1.5 最佳估计的阶数递归计算
m
∑ yˆ m
=
k
H m
w
m
=
ki*wi
i =1
yˆm = yˆm−1 + km* wm
em
=
em−1
−
k
* m
wm
可用阶数递归方法计算wm
m−1
∑ wm = xm −
l w (m−1)
i−1 i
i =1
10:11
26
7.2 算法中间变量的解释
新息innovation和后向预测
=
⎡R ⎢⎣d H
d⎤
Py
⎥ ⎦
LDLH分解
R
=
E{xx H
}
=
⎡L ⎢⎣k H
0⎤⎡ D 1⎥⎦ ⎢⎣0 H
0 ⎤⎡LH
P0
⎥ ⎦
⎢ ⎣
0
H
k⎤
1
⎥ ⎦
LH c0 = k
10:11
11
7.1 阶数递归算法的基础
阶数固定的MMSE算法
估计器的阶数-设计变量
em (n) = y(n) − yˆm (n)
wm
=
w
⎡m⎤
m+1
⎡ 1 0 L 0⎤
B m +1
=
L−1 m+1
=
⎢ ⎢
b(1) 0
⎢M
1 L 0⎥⎥ M O M⎥
⎢⎣b0( m )
b(m) 1
L 1⎥⎦
wm+1
=
b
H m
x
m
+
xm+1
=
emb
w m+1
=
eb m+1
=
B m+1x m+1
其中
eb m+1
=
[e0b
e1b...emb ]T
10:11
( ri + 1 , j + 1
−
j−1
ξ l l* m + 1 im jm
m =0
)
当i=1,2,…,M
∑ k i
=
di
ξi
−1
ξi
i−2
ξ l k i − 1 , m m + 1 m + 1
m =0
当i=Ｍ-1,M-2,…,1
M
∑ c i = k i −
l c * m −1,i −1 m
m =i+1
=
ρ
f m
+ rmfH am
=
det Rm+1
det
R
f m
向量am是从向量x’m=[x2 x3…xm+1]T得到x1的MMSE估计 （前向线性预测器）
根据正交性原理E{x’memf*}=0
Pmf
=
ρ
f m
+ rmfH am
=
α
f m
10:11
18
7.1.3 最佳估计cm的Levinson递归
R −1 m+1
kmc
=
β
c m
α
b m
Levinson 递归
10:11
19
7.1.3 最佳估计cm的Levinson递归
Rmcm = dm
β
c m
=
−rmbH cm
+
d m +1
c
⎡m⎤
m+1
≠
cm
Cm+1没有最佳嵌套性质
计算Levnison递归，需要向量bm的阶数递归 根据定义 rmb = E{xm xm* +1}
rmbH
R
r −1 b
mm
定义
bm
= [b0(m)b1(m) ...bm(m−1) ]T
=
−R
r −1 b
mm
α
b m
=
ρ
b m
−
rmbH
R
r −1 b
mm
=
ρmb
+
rmbH bm
R −1 m+1
=
⎢⎣⎡rRmbHm
rmb
ρ
b m
⎤ ⎥ ⎦
−1
=
⎢⎣⎡R0 mHm−1
0m 0
⎤ ⎥ ⎦
+
1
α
b m
⎡b m
cm
k
⎡m ⎤
m+1
=
km
c
⎡m⎤
m+1
≠
cm
cm没有最佳嵌套性质， LmDmkm都可用阶数递归计算
m阶线性估计器的MMSE
Pm
=
Py
−
c
H m
d
m
=
Py
−
k
H m
D
m
k
m
MMSE阶数递归算法：
Pm = Pm−1 − ξ m k m 2
P0 = Py
10:11
23
7.1.5 最佳估计的阶数递归计算
yˆ m
(n)
=
c
H m
(n)xm
(n)
阶数递归算法
cm
(n)
=
[c1(m )
(
n
)c
(m 2
)
( n )...cm( m )
(n)]T
xm (n) = [ x1(n) x2 (n)...xm (n)]T
cm (n)
cm+1(n)
时间递归算法
yˆm (n) cm (n) yˆm (n)
yˆm+1(n) cm (n + 1) yˆm (n + 1)
rb⎡m⎤ m+1
≠ rmb
r b ⎣m ⎦ m+1
≠
rmb
一般不能找到bm的 Levinson递归式
10:11
20
7.1.4 LDLH分解的阶数递归计算
LDLH分解也可用阶数递归方法计算 M=1时，r11=1*ξ1*1
归纳法
Rm = LmDmLHm
构造矩阵
L m +1
=
⎡Lm
⎢ ⎣
I
H m
0⎤ 1⎥⎦
续样本
输入数据形式不同，自相关矩阵特性不同
10:11
3
线性MMSE估计器
正则方程组
⎡ r11 r12 L r1M ⎤ ⎡ c1 ⎤ ⎡ d1 ⎤
⎢ ⎢
r12
r22
L
r2M
⎥ ⎥
⎢ ⎢
c2
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
d2
⎥ ⎥
⎢M M
M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥
⎢⎣rM1
rM 2
L
rMM
⎥ ⎦
⎢⎣cM
⎥ ⎦
⎢⎣dM
=
⎢⎣⎡rRmbHm
rmb
ρ
b m
⎤ ⎥ ⎦
−1
=
⎢⎣⎡R0 mHm−1
0m 0
⎤ ⎥ ⎦
+
1
α
b m
⎡b m
⎢ ⎣
1
⎤ ⎥[b
H m
⎦
1]
d m+1
=
⎡ dm ⎤
⎢⎣d
m+1
⎥ ⎦
Rmcm = dm
c m+1
=
R d −1 m+1 m+1
[ = ⎢⎣⎡R0Tmm−1
0m 0
⎤ ⎥ ⎦
⎡ dm ⎢⎣d m+1
七、最佳线性滤波器的算 法和结构
林耀荣
内容
正则方程组的解-LDLH分解法 阶数递归算法的基础 最佳FIR滤波器的阶数递归算法 Levinson和Levinson-Durbin算法
10:11
2
线性MMSE估计器
输入数据（图6.1）
阵列信号处理：M个不同过程xi(n)的样本 滤波器应用：同一个离散时间随机过程的采样的连
⎥ ⎦
Rc0 = d
MMSE为： P0 = Py −dHc0
前向线性预测： 后向线性预测：
e f (n) = x(n) + aH (n)x(n −1) eb(n) = x(n − M) + bH (n)x(n)
R(n −1)a(n) = −r f (n)
R(n)b(n) = −r b (n)
10:11
⎢ ⎣
q
H m
qm ⎤
qm
⎥ ⎦
[ R m+1
=
⎡ E{⎢
⎣
xm xm+1
⎤ ⎥ ⎦
x
H m
] x* m+1
}
=
⎢⎣⎡rRmbHm
rmb
ρ
b m
⎤ ⎥ ⎦
求Qm，qm,qm
Rm+1Qm+1=Im+1
10:11
R m+1Qm+1 =
⎡R m ⎢⎣rmbH
qm ⎤⎡Qm
ρ
b m
⎥⎦
⎢⎣
q
H m
qm qm
yˆ m
=
c
H m
x
m
LHmcm = k m
cm = (LHm )−1 k m
yˆ m
=
c
H m
x
m
=
(k
H m
L−m1
)x
m
=
k
H m
(L−m1x
m
)
定义向量wm
Lmwm = xm
m
∑ yˆ m
=
k
H m
w
m
=
ki*wi
i=1
10:11
24
7.1.5 最佳估计的阶数递归计算
L−1 m+1
=
⎡Lm
⎤ ⎥⎦
=
⎡Im
⎢⎣0
H m
0m ⎤ 1 ⎥⎦
15
7.1.2 分块Hermit矩阵的逆
R Q m m+1 + rmbqmH = Im
rmbH Qm + ρmb qmH = 0mH
Rmqm + rmbqm = 0m
rmbHqm + ρmb qm = 1
Rmqm + rmbqm = 0m
qm = −Rm−1rmbqm
ξ m+1
=
det R m+1 det R m
L m +1
=
⎡Lm
⎢ ⎣
I
H m
0⎤ 1⎥⎦
D m +1
=
⎡Dm
⎢ ⎣
0
H
0⎤
ξ
m+1
⎥ ⎦
L⎡mm+⎤1 = L m
D
⎡m ⎤
m+1
=
Dm
10:11
22
7.1.4 LDLH分解的阶数递归计算
LmDmkm = dm LHmc m = k m
LmDmkm = dm
4
6.3 正则方程组的解-LDLH分解法
Hermit正定矩阵可唯一分解为：
R = LDLH
其中，L为单位下三角阵
D为对角阵
⎡1
⎢
L
=
⎢ ⎢
l10 M
⎢⎣lM −1,0
0
1 M lM −1,1
L 0⎤ L 0⎥⎥ O M⎥ L 1⎥⎦
D = diag[ξ1,ξ2 ,...,ξM ]
10:11
5
正则方程组的解-LDLH分解法
R=LDLH
三角分解
LDk=d
前向代换->k
LHc0=k P0=Py-kHDK e=y-c0Hx
后向代换->c0 计算MMSE
计算误差
10:11
10
增广的相关矩阵的LDLH分解法求k
定义增广向量
x
=
⎡x⎤ ⎢⎣ y⎥⎦
R
=
E{xx H
}
=
⎡E{xx H }
⎢ ⎣
E{
yx
H
}
E{xy * }⎤ E{| y 2}⎥⎦
rmbHqm + ρmb qm = 1
qm
=
ρ
b m
1
−
rmbH
R
r−1 b
mm
qm
=
ρ
b m
−
R
r −1 b
mm
−
rmbH
R
r −1 b
mm
10:11
16
7.1.2 分块Hermit矩阵的逆
Qm
=
R
−1 m
−
R
−m1rmbq
H m
=
R
−1 m
+
R
r −1 b
mm
(R
r −1 b
mm
)
H
ρ
b m
−
Rc0 = LD(LH c0 ) = d
定义中间向量k
LH c0 = k
解方程组，求k
LDk = d
解方程组，求c0
LH c0 = k
10:11
6
三角分解求解正则方程组
当i=1,2,…,M;j=0,1,…,i-1时
∑ ξ i
=
rii
−
ξ l i −1
2
m i−1,m −1
m =1
∑ l ij
=
1
ξi
⎢ ⎣
I
H m
0⎤ −1 1⎥⎦
=
⎢⎣⎡Lv−mHm1
0⎤ 1⎥⎦
其中
vm
=
−L−mH Im
=
−(LHm
)
−1
D
L r −1 −1 b
m mm
=
−R
r −1 b
mm
=
bm
w m+1
=
L x −1 m+1 m+1
=
⎢⎣⎡Lb−mHm1
0⎤ 1⎥⎦
⎡ ⎢⎣
xm xm+1
⎤ ⎥⎦
=
⎡ wm ⎤ ⎢⎣wm+1 ⎥⎦
D是对角阵
M
∑ P0 = Py − ξi ki 2 i =1
10:11
8
R = LDLH
M
det R = ∏ξi i =1
R是正定
ξi>0
M
∑ P0 = Py − ξi ki 2 i =1
提高滤波器阶数M，减少MMSE
10:11
9
线性MMSE估计的计算步骤
R=E{xxH},d=E{xy*} 正规方程组Rc0=d
⎢ ⎣
1
⎤ ⎥[b ⎦
H m
1]
α
b m
=
det R m+1 det R m
向量bm是从向量xm得到xm+1的MMSE估计 （后向线性预测器）
emb
=
xm+1
−
xˆ m +1
=
xm+1
+
b
H m
x
m
根据正交性原理E{xmemb*}=0
Pmb
=
ρ
b m
+
b
H m
rmb
=
α
b m
10:11
17
7.1.2 分块Hermit矩阵的逆
R −1 m+1
=
⎢⎣⎡ρrmmff
rmfH
R
f m
⎤ ⎥ ⎦
−1
=
⎡0 ⎢⎣0m
[ ] 0
H m
(R
f m
)
−1
⎤ ⎥ ⎦
+
1
α
f m
⎡1⎤
⎢⎣am
⎥ ⎦
1
a
H m
am
= [a0(m)a1(m)...am(m) ]T
=
−(R
f m
)−1
rmf
α
b m
=
ρ
f m
−
rmfH
(R
f m
)
r −1 f m
⎤ ⎥ ⎦
+
1
α
b m
⎡bm ⎤ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
b
H m
=
⎡R ⎢ ⎣
m−1d 0
m
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡bm ⎢⎣ 1
⎤ ⎥⎦
b
H m
dm +
α
b m
d m+1
]1
⎡ dm ⎢⎣d m+1
⎤ ⎥⎦
c m+1
=
⎡c m ⎢⎣ 0
⎤ ⎥⎦
+
⎡b m ⎢⎣ 1
⎤ ⎥
k
c m
⎦
其中
β
c m
=
b
H m
d
m
+
d m +1
Rm+1 = Lm+1Dm+1LHm+1
D m +1
=
⎡Dm
⎢ ⎣
0
H
0⎤
ξ
m+1
⎥ ⎦
Rm+1 = ⎢⎣⎡rRmbHm
rmb
ρ
b m
⎤ ⎥ ⎦
(LmDm )Im = rmb
ρmb
=
I
H m
Dm
I
m
+ ξm+1
Im,ξm+1
10:11
21
7.1.4 LDLH分解的阶数递归计算
det R m = det L m det Dm det LHm = ξ1ξ 2 Lξ m > 0
[ R m+1
=
E
{
⎡ ⎢⎣
xm x m +1
⎤ ⎥⎦
x
H m
] x * m +1
}
=
⎡ ⎢ ⎣
Rm rmbH
rmb
ρ
b m
⎤ ⎥ ⎦
其中
rmb = E{xm xm* +1} ρmb = E{| xm+1 |2}
x[m] m +1
=
xm
⇒
Rm
=
R[m] m +1
10:11Βιβλιοθήκη Baidu
13
7.1.1矩阵分块和最佳嵌套