可交换矩阵的特征探讨

可交换矩阵的特征探讨

摘要：。交换矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具,交换矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点,矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视。

关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵

引言：当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；即使矩阵AB、BA都有意义时它们也未必相等。由于矩阵的乘法不满足满足交换律，所以对于研究AB与BA的关系有重要意义。我们知道，若对n阶实方阵A，B,如果满足AB=BA，则称A、B可交换。可交换矩阵有许多良好的性质，研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义。

基本定义和相关概念

2.1.1 若同阶矩阵A、B有AB=BA，则称A与B为可交换矩阵.

2.1.2 矩阵可交换的几个充分条件

定理①设 A, B至少有一个为零矩阵，则 A, B可交换；

②设 A, B至少有一个为数量矩阵，则 A, B可交换；

③设 A, B均为对角矩阵，则 A, B可交换；

④设 A, B均为准对角矩阵，则 A, B可交换；

⑤设A*是A 的伴随矩阵，则A与A*可交换；

⑥设 AB = E ，则 A, B可交换。

证明：①对任意矩阵 A，均有： AO = OA，O表示零矩阵；

②对任意矩阵A，均有：A(kE) = (kE)A，k 为任意实数；③，④

显然成立[2]；⑤ AA∗ = A∗A = A E ；⑥当 AB = E 时， A,B均

可逆，且互为逆矩阵。

定理 2.2①设 AB =α A+β B ，其中α ,β为非零实数，则

A,B可交换；

②设 Am +α AB = E，其中m 为正整数，α为非零实数，则

A,B可交换。

证明：①由 AB =α A+β B 得 (A−β E)(B −α E) =αβ E ，即1 (A β E)(B α E) Eαβ−− =，故依定理 2.1⑥得： 1 (B E) ααβ−(A −β E) = E ，于是BA−α A−β B +αβ E =αβ E ，故BA =α A+β B = AB ；②由 Am +α AB = E 得 A(Am−1 +α B) = E ，可得 AB = BA。

定理2.3①设A可逆，若 AB = 0或故依定理 2.1⑥得(Am−1 +α B)A = E ，于是 Am +α BA = E，所以A = AB或 A = BA，则 A, B

可交换；②设 A,B均可逆，若对任意实数k ，均有 A = (A− kE)B，则 A,B可交换。