第一型曲线积分

L 由曲线 L1 , L2 ,L , Lkwk.baidu.com首尾相接而成,
f ( x, y)ds(i 1,2,L , k) 都存在, 则 Li
也存在, 且
L f ( x, y)ds
k
f ( x, y)ds
f ( x, y)ds.
L
i 1 Li
3． 若 f ( x, y)ds 与 g( x, y)ds都存在, 且在
f ((t), (t))
2(t) 2(t)dt. (3)
L
证 由弧长公式知道,
L上由 t ti1 到 t ti 的弧长
si
ti t i 1
2 (t ) 2 (t )dt.
由 2(t ) 2(t ) 的连续性与积分中值定理, 有
si 2 ( i) 2 ( i)ti (ti1 i ti ).
L f ( x, y)ds.
L 若 为空间可求长曲线段 ,
f ( x, y, z) 为定义在 L上
的函数, 则可类似地定义
f ( x, y, z)在空间曲线
L上
的第一型曲线积分, 并且记作
L f ( x, y, z)ds.
于是前面讲到的质量分布在曲线段
L 上的物体的质
量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得.
记为 si , 分割 T 的细度为
|| T || max si , 在 Li上任取
1i n
一点 (i ,i ) (i 1, 2, L , n). 若有极限
n
lim
||T ||0
i 1
f (i , i )si
J,
且 J 的值与分割
T 与点 (i , i ) 的取法无关, 则称此
极限为 f ( x, y) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
上任取一点 i
i
Pi . 由于
f ( P ) 为上的连续函数, 故当
i的弧长都很小时,
每一小段
i的质量可近似地等于
f ( Pi )i , 其中 i
为小曲线段
的长度.
i
于是在整个
上的质量就近似地等于和式
n
f (Pi )i .
i 1
(3) 当对
的分割越来越细密(即
d
max
1i n
i
0)
时, 上述和式的极限就应是该物体的质量.
[a, b] 上有连续的导函数时, (3)式成为
f ( x, y)ds
b
f ( x, ( x))
1 2( x)dx;
L
a
当曲线 L由方程
x ( y), y [c,d ] 表示, 且 在( y)
[c, d ]上有连续导函数时, (3)式成为
n
f ( ( i), ( i))
2 ( i)
2
(
i
)ti
.
(4)
i 1
令 t max{t1, t2,L , tn}, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0. t 0
因为复合函数
f ( (t ), (t )) 关于 t 连续, 所以在闭区
间 [ , ]上有界, 即存在常数
c, 使得
L 的弧长为
L f ( x, y)ds cs,
这里 inf f ( x, y) c sup f ( x, y).
L
L
6. 第一型曲线积分的几何意义
s, 则存在常数
若 L 为坐标平面
Oxy上的分段光滑曲线,
上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见
f ( x, y)为L
以 L为准线, 母线平行于
z 轴的柱面上截取
0 z f ( x, y)的部分的面积就是
z
z f (x, y)
L f ( x, y)ds.
O
y
x
L
图 20 1
二． 第一型曲线积分的计算
定理20.1 设有光滑曲线
L
:
x y
(t (t
), ),
t
[
,
],
f ( x, y)为定义在 L上的连续函数, 则
f ( x, y)ds
所以
n
f (i , i )si
i 1
n
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i)ti , i 1
这里
t i 1
i,
i
ti
.
设
n
f (( i), ( i))[ 2( i) 2( i) 2( i) 2( i)]ti , i 1
则有
n
f (i , i )si
i 1
由上面看到, 求物质曲线段的质量, 与求直线段的质
量一样, 也是通过“分割、近似求和、取极限”来得
到的. 下面给出这类积分的定义.
定义1 设
L 为平面上可求长度的曲线段,
f (x, y) 为
L 定义在
上的函数. 对曲线
L 做分割 T ,它把 L分成
n 个可求长度的小曲线段
Li (i 1, 2, L , n), Li 的弧长
所以 lim 0. t 0
再由定积分定义
n
lim
t0 i1
f ( ( i), ( i))
2( i) 2( i)ti
b
f ((t), (t))
2(t) 2(t)dt.
a
因此当在(4)式两边取极限后, 即得所要证的(3)式.
当曲线 L由方程 y ( x), x [a,b] 表示, 且 在( x)
一． 第一型曲线积分的定义
设某物体的密度函数
f ( P) 是定义在
数当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体
的质量.
上的连续函
现在研究当
是平面或空间中某一可求长度的曲线
段时物体的质量的计算问题.
(1) 分割：把
分成
(i 1, 2, L , n).
(2) 近似求和：在每一个
n 个可求长度的小曲线段
都有
M , 使对一切 t [ , ]
| f ((t), (t)) | M .
再由 2(t ) 2(t ) 在 [ , ]上连续, 所以它在
[ , ]上一致连续, 即对任给的
0, 必存在 0,
使当 t 时,
2( i) 2( i)
2
(
i
)
2
(
i
)
,
从而
n
| | M ti M (b a), i 1
1. 若 L fi ( x, y)ds(i 1, 2,L , k) 在 ci (i 1, 2, L , k )为
k
常数, 则
L ci fi ( x, y)ds 也存在, 且
i 1
k
k
L ci fi ( x, y)ds ci L fi ( x, y)ds.
i 1
i 1
2. 若曲线段
L
L
L上
f ( x, y) g( x, y),则
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds.
4． 若 f ( x, y)ds 存在,则 |f ( x, y)|ds 也存在,
L
L
且
| L f ( x, y)ds | L| f ( x, y) | ds.
5． 若 f ( x, y)ds 存在, L