自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
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第四章
线性系统的根轨迹分析
• 控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定 ，
系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统
的闭环零、极点在Ｓ平面上分布的位置有关。
因此,在分析系统性能时,需要定量研究系统的
一个或者多个参量在一定范围内变化时,系统
闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。
•1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭 环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递 函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法, 建立了一套绘制根轨迹的规则,这就是被广泛应用的 根轨迹法。该方法可以简便、直观地分析系统特征根 与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统,也可用 于多闭环系统。
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
第一节 根轨迹的基本概念
例如图所示的闭环传函为：
C (S ) K 2 R( S ) S S K
R(S)
K S ( S 1)
C(S)
图4-1 二阶系统
特征方程 S 2 S K 0
的根为
1 1 S2 1 4K 2 2
1 1 S1 1 4K 2 2
jω ∞
如果系统的开环增益K（根轨迹
增益K1）从0向变化时，系统闭环 曲线，如图所示。 这样获得的曲线称为K1从0向变
K=0 × 特征根在复平面上的变化情况绘制为 -1
K K=0.25 K=0 × K ∞ σ
化时系统的根轨迹。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化
参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描
绘的曲线称系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变
参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹 增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根
轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为
参量根轨迹。
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: １.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系 统对所有的Ｋ值都是稳定的。 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点， 所以为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
３．暂态性能
（１） 当０＜Ｋ＜ ０.25时，闭环特征根为实 根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。
（２） 当Ｋ＝０.25时，两特征根会重合，均 为－0.5，系统处于临界阻尼状态。
K=0 × -1 K jω ∞ K K=0.25 K=0 × σ
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复 ∞ 根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减震荡过 程。 图4-2 二阶系统的根轨迹
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、绘制根轨迹的基本条件
讨论图4-3所示系统 ，特征方程为 1＋G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)=-1 根据复数等式两边的幅值和相角 图4-3 系统方框图 应分别相等的原则，可得绘制系统 根轨迹的基本条件，即：幅值条件和相角条件：
G( S ) H ( S ) 1
q 0，2， 1 … ， G(S ) H (S ) 180(2q 1), 以上条件是判断复平面上某点是否在系统根 轨迹上的充要条件。
一、绘制 根轨迹的 条件
• 系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即 时间常数表达式和零极点表达式。 （1）时间常数表达式： （2）零极点表达式：
G (s) H (s) K (Ti s 1)
m i 1 n
(
j 1
j
s 1)
G (s) H (s)
K1 ( s z i )
i 1
m
(s p )
j j 1
n
此时幅值条件和相角条件分别为：
K1 s z j
j 1 m n
i 1
1
（＊）
K1
s p sz
i 1 j 1 m
n
j
s pi
n j i
i
(s z ) (s p ) (2q 1)180
j 1 i 1
m
q 0,1,2, „
（＊＊）
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根 轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹 增益K1值。 K1 ( s 4) 【例4-1】单位反馈系统的开环 G( s) s( s 2)( s 6.6) 传递函数为: 试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果 是，则确定与它相对应的K1值是多少。
解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上p1=0,p2=-2, p3=-6.6, z1=-4， （2）将s1坐标带入相角条件：
( s1 4) s1 ( s1 2) ( s1 6.6) (2.5 j 2.5) (1.5 j 2.5) (0.5 j 2.5) (5.1 j 2.5) 45 120 .96 78 .69 26 .11 180 .76
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
图4-4 例4-1图
11.94
根据相角条件确定根轨迹上的点S1 ： １．以S1到各零极点连直线； ２．用量角器量∠ s1–p1,… 等各个角．３．将量好的值代入相角条件，若等式成立，则s1 就是根轨迹上的点． 本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。
在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致
地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹
上的点。允许有一定的误差，比如±５°。而其它区
段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。 绘制根轨迹图时，Ｓ平面虚轴和实轴的坐标比 例应取得一致。
二、绘制根轨迹的基本规则
绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一些基 本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们更准确、更迅 速的绘制根轨迹。
规则1：根轨迹的分支数和对称性。 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n；根轨 迹对称于实轴。 规则2：根轨迹的起点与终点。 起始点： K1=0时的闭环极点，即系统的开环极 点。起始点与终止点个数相等，均为n； 终止点：（1）有限值终止点：当K1时，有m 条分支趋向开环零点；（2）无限远终止点：n-m条分 支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。
幅值条件改写
jω ∞
j )
(s z (s
i 1 j 1 n
m
K
pi )
1 K1
K=0 × -1 K
K=0.25 K=0 ×
σ
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ 当 K1 ，必有Ｓ＝
pi ，即起点是开环极点。∞
zj
，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处 起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋 于无穷远处。
G 举例如题， (S )
，起点：０，－１，无零点，n=２， m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞
K S ( S 1)
规则3: 实轴上的根轨迹。
实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时， 这些线段就是根轨迹的一部分。如图4-5所示。
证明：s1左边每个开环极点或零点 提供的相角为0， s1右边每个开环极 点或零点提供的相角为180º ， 每对共轭极点和零点提供的相 角之和为0或360º ，互相抵消。因此 开环共轭复数极点、零点对实轴上 根轨迹的位置没有影响，仅取决于 实轴上的开环零、极点。 故，只有其右边开环零点、极 点的总数为奇数的实轴线段才满足 相角条件。
图4-5 实轴上的根轨迹
例４－2： ① ∵有三个极点，根轨迹 有三条分支 ② ∵n=3, m=2 ∴有３－２＝１条根 轨迹→∞，２条终止于开 环零点。 ③在实轴上的根轨迹如图
-4 -3
（单位反馈）
jω
-2 -1
×
o
×
o ×
σ
规则4:根轨迹的渐近线。
当系统的根轨迹增益K1时，趋向无穷远处的 根轨迹共有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由 渐近线决定。 (2q 1)180 （1）渐近线与实轴的倾角为： a
nm
当q=0时，求得的渐进线倾角最小，q增大，倾角值将重 复出现，而独立的渐进线只有（n－m）条．
（2）渐近线与实轴的交点坐标为：
a
p
i 1
n
i
zj
j 1
m
nm
在计算时，考 虑到共轭复数极点、 零点的虚部总是相 互抵消，只须把开 环零、极点的实部 代入即可．
K1 【例4-3】设系统的开环传递函数为：G(S ) H (S ) S (S 1)(S 2)
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
q 0, a 60 q 1, a 180
（4）实轴上的根轨迹：在S平面实轴上[0，-1]和[-， -2]线段上存在根轨迹。根轨迹草图如图4-6所示
其中一条从p3=-2出发,随着K1 的增加,沿着负实轴趋向无穷远处。 另两条分支分别从p1=0和p2=-1出 发,沿着负实轴向a点移动。当K1 值达到某一数值时,这两条分支相 交于实轴上的a点,这时系统处于 临界阻尼状态。当K1继续增大时, 这两条分支离开负实轴分别趋近 60o和-60o的渐近线，向无穷远处 延伸。在Ka＜K1＜Kc时,系统处于 欠阻尼状态,出现衰减振荡。而当 K1＞Kc时,，系统成为不稳定状态。
Kc
图4-6 例4-3的根轨迹图
规则5：根轨迹的分离点、会合点和分离角。 几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分 离点（或会合点）。分离点在两极点之间，会合点在两零点之 间。分离点(会合点)是闭环特征方程的重根点，在K1的变化过 程中，分离点(会合点)是K1取得极大值或极小值的点，在特征 方程中，将K1用s及其各次幂的形式表达出来，再根据求极值 的方法寻找分离点(会合点)处的s值，即分离点与会合点必须满 足方程: dK1 0 ds 上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为 分离点或会合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点 可能在s平面上任何一点
例４－4，求分离点上的坐标。
§４－２绘制根轨迹的基本规则
jω
j 2
K1 0 系统的特征方程为 1 G( s) 1 s( s 1)( s 2)
K1=6
或
上式的根 s1, 2 6 36 24 0.423,1.577 6 因为分离点在０至－１之间，故 s1 0.423 为分离点的坐标，而舍弃 s2 1.577 用幅值条件确定分离点的增益：
dK1 (3s 2 6s 2) 0 ds
K1 s( s 1)( s 2)
-2
-1
60°-0.423 -60°
线性系统的根轨迹分析
• 控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定 ，
系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统
的闭环零、极点在Ｓ平面上分布的位置有关。
因此,在分析系统性能时,需要定量研究系统的
一个或者多个参量在一定范围内变化时,系统
闭环极点的位置变化以及对系统性能的影响。
•1948年,伊万斯（W.R.Evans）根据反馈系统开、闭 环传递函数之间的内在联系,提出了直接由开环传递 函数寻求闭环特征根（即闭环极点）移动轨迹的方法, 建立了一套绘制根轨迹的规则,这就是被广泛应用的 根轨迹法。该方法可以简便、直观地分析系统特征根 与系统参数之间的关系。适用于单闭环系统,也可用 于多闭环系统。
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
第一节 根轨迹的基本概念
例如图所示的闭环传函为：
C (S ) K 2 R( S ) S S K
R(S)
K S ( S 1)
C(S)
图4-1 二阶系统
特征方程 S 2 S K 0
的根为
1 1 S2 1 4K 2 2
1 1 S1 1 4K 2 2
jω ∞
如果系统的开环增益K（根轨迹
增益K1）从0向变化时，系统闭环 曲线，如图所示。 这样获得的曲线称为K1从0向变
K=0 × 特征根在复平面上的变化情况绘制为 -1
K K=0.25 K=0 × K ∞ σ
化时系统的根轨迹。
定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化
参数)发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描
绘的曲线称系统的根轨迹。
一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变
参量可以是系统的任意参量。以系统根轨迹 增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根
轨迹。以其它参数为变量绘制的根轨迹称为
参量根轨迹。
从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: １.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系 统对所有的Ｋ值都是稳定的。 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点， 所以为I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
３．暂态性能
（１） 当０＜Ｋ＜ ０.25时，闭环特征根为实 根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。
（２） 当Ｋ＝０.25时，两特征根会重合，均 为－0.5，系统处于临界阻尼状态。
K=0 × -1 K jω ∞ K K=0.25 K=0 × σ
（３） 当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复 ∞ 根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减震荡过 程。 图4-2 二阶系统的根轨迹
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、绘制根轨迹的基本条件
讨论图4-3所示系统 ，特征方程为 1＋G(s)H(s)=0 或 G(s)H(s)=-1 根据复数等式两边的幅值和相角 图4-3 系统方框图 应分别相等的原则，可得绘制系统 根轨迹的基本条件，即：幅值条件和相角条件：
G( S ) H ( S ) 1
q 0，2， 1 … ， G(S ) H (S ) 180(2q 1), 以上条件是判断复平面上某点是否在系统根 轨迹上的充要条件。
一、绘制 根轨迹的 条件
• 系统开环传递函数通常可以写成两种因子形式，即 时间常数表达式和零极点表达式。 （1）时间常数表达式： （2）零极点表达式：
G (s) H (s) K (Ti s 1)
m i 1 n
(
j 1
j
s 1)
G (s) H (s)
K1 ( s z i )
i 1
m
(s p )
j j 1
n
此时幅值条件和相角条件分别为：
K1 s z j
j 1 m n
i 1
1
（＊）
K1
s p sz
i 1 j 1 m
n
j
s pi
n j i
i
(s z ) (s p ) (2q 1)180
j 1 i 1
m
q 0,1,2, „
（＊＊）
在实际绘制根轨迹时，只要依据相角条件就可以绘制根 轨迹，而幅值条件主要用于确定根轨迹上各点对应的根轨迹 增益K1值。 K1 ( s 4) 【例4-1】单位反馈系统的开环 G( s) s( s 2)( s 6.6) 传递函数为: 试检验S1=-1.5+j2.5是否为该系统根轨迹上的点；如果 是，则确定与它相对应的K1值是多少。
解:（1）确定开环零、极点,并标注到复平面上p1=0,p2=-2, p3=-6.6, z1=-4， （2）将s1坐标带入相角条件：
( s1 4) s1 ( s1 2) ( s1 6.6) (2.5 j 2.5) (1.5 j 2.5) (0.5 j 2.5) (5.1 j 2.5) 45 120 .96 78 .69 26 .11 180 .76
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
图4-4 例4-1图
11.94
根据相角条件确定根轨迹上的点S1 ： １．以S1到各零极点连直线； ２．用量角器量∠ s1–p1,… 等各个角．３．将量好的值代入相角条件，若等式成立，则s1 就是根轨迹上的点． 本例说明的是一种试探法绘制系统根轨迹的例子,十分烦琐。
在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致
地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹
上的点。允许有一定的误差，比如±５°。而其它区
段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来。 绘制根轨迹图时，Ｓ平面虚轴和实轴的坐标比 例应取得一致。
二、绘制根轨迹的基本规则
绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一些基 本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们更准确、更迅 速的绘制根轨迹。
规则1：根轨迹的分支数和对称性。 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数n；根轨 迹对称于实轴。 规则2：根轨迹的起点与终点。 起始点： K1=0时的闭环极点，即系统的开环极 点。起始点与终止点个数相等，均为n； 终止点：（1）有限值终止点：当K1时，有m 条分支趋向开环零点；（2）无限远终止点：n-m条分 支趋向无穷远处,需要确定其方位和走向。
幅值条件改写
jω ∞
j )
(s z (s
i 1 j 1 n
m
K
pi )
1 K1
K=0 × -1 K
K=0.25 K=0 ×
σ
当 K1 0 ，必有Ｓ＝ 当 K1 ，必有Ｓ＝
pi ，即起点是开环极点。∞
zj
，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处 起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋 于无穷远处。
G 举例如题， (S )
，起点：０，－１，无零点，n=２， m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞
K S ( S 1)
规则3: 实轴上的根轨迹。
实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时， 这些线段就是根轨迹的一部分。如图4-5所示。
证明：s1左边每个开环极点或零点 提供的相角为0， s1右边每个开环极 点或零点提供的相角为180º ， 每对共轭极点和零点提供的相 角之和为0或360º ，互相抵消。因此 开环共轭复数极点、零点对实轴上 根轨迹的位置没有影响，仅取决于 实轴上的开环零、极点。 故，只有其右边开环零点、极 点的总数为奇数的实轴线段才满足 相角条件。
图4-5 实轴上的根轨迹
例４－2： ① ∵有三个极点，根轨迹 有三条分支 ② ∵n=3, m=2 ∴有３－２＝１条根 轨迹→∞，２条终止于开 环零点。 ③在实轴上的根轨迹如图
-4 -3
（单位反馈）
jω
-2 -1
×
o
×
o ×
σ
规则4:根轨迹的渐近线。
当系统的根轨迹增益K1时，趋向无穷远处的 根轨迹共有n-m条，它们趋向无穷远处的方位可由 渐近线决定。 (2q 1)180 （1）渐近线与实轴的倾角为： a
nm
当q=0时，求得的渐进线倾角最小，q增大，倾角值将重 复出现，而独立的渐进线只有（n－m）条．
（2）渐近线与实轴的交点坐标为：
a
p
i 1
n
i
zj
j 1
m
nm
在计算时，考 虑到共轭复数极点、 零点的虚部总是相 互抵消，只须把开 环零、极点的实部 代入即可．
K1 【例4-3】设系统的开环传递函数为：G(S ) H (S ) S (S 1)(S 2)
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
q 0, a 60 q 1, a 180
（4）实轴上的根轨迹：在S平面实轴上[0，-1]和[-， -2]线段上存在根轨迹。根轨迹草图如图4-6所示
其中一条从p3=-2出发,随着K1 的增加,沿着负实轴趋向无穷远处。 另两条分支分别从p1=0和p2=-1出 发,沿着负实轴向a点移动。当K1 值达到某一数值时,这两条分支相 交于实轴上的a点,这时系统处于 临界阻尼状态。当K1继续增大时, 这两条分支离开负实轴分别趋近 60o和-60o的渐近线，向无穷远处 延伸。在Ka＜K1＜Kc时,系统处于 欠阻尼状态,出现衰减振荡。而当 K1＞Kc时,，系统成为不稳定状态。
Kc
图4-6 例4-3的根轨迹图
规则5：根轨迹的分离点、会合点和分离角。 几条根轨迹在s平面上相遇后又分开的点称为根轨迹的分 离点（或会合点）。分离点在两极点之间，会合点在两零点之 间。分离点(会合点)是闭环特征方程的重根点，在K1的变化过 程中，分离点(会合点)是K1取得极大值或极小值的点，在特征 方程中，将K1用s及其各次幂的形式表达出来，再根据求极值 的方法寻找分离点(会合点)处的s值，即分离点与会合点必须满 足方程: dK1 0 ds 上述方程是求取分离点或会合点的必要条件，是否确实为 分离点或会合点，需要用相角条件进行判断。分离点或会合点 可能在s平面上任何一点
例４－4，求分离点上的坐标。
§４－２绘制根轨迹的基本规则
jω
j 2
K1 0 系统的特征方程为 1 G( s) 1 s( s 1)( s 2)
K1=6
或
上式的根 s1, 2 6 36 24 0.423,1.577 6 因为分离点在０至－１之间，故 s1 0.423 为分离点的坐标，而舍弃 s2 1.577 用幅值条件确定分离点的增益：
dK1 (3s 2 6s 2) 0 ds
K1 s( s 1)( s 2)
-2
-1
60°-0.423 -60°