梁的变形计算

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2.建立梁的弯矩方程
例题
解:2.建立梁的弯矩方程
从坐标为x的任意
截面处截开,因为固定
端有两个约束力,考虑
x
截面左侧平衡时,建立
的弯矩方程比较复杂,
M(x)
所以考虑右侧部分的平 衡,得到弯矩方程:
FQ(x)
M (x) 1 ql x2 0 x l
2
3. 建立微分方程并积分 将上述弯矩方程代入小挠度
EIw" M 1 q l x2 微分方程,得
2
例题
3. 建立微分方程并积分
EIw" M 1 q l x2
2
积分后,得到
EIw' EI 1 q l x3 C
6 EIw 1 q l x4 Cx D
24
例题
EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
转角分别为
AB段 BC段
M1
x
3 4
FP
x
0
x
l 4
M2
x
3 4
FP x-FP
x- l 4
l 4
x
l
例题
解: 3. 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
EI
d 2 w1 dx2
M1 x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
=-M 2
x
-3 4
FP x+FP
x- l 4
l 4
EI1
3 8
FP x 2
C1
EI
=-3
2
8
FP
x 2+1 2
FP
x- l 4
2
C2
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EIw2=-81
FP
x 3+1 6
FP
x- l 4
3
C2
x
D2
x=0, w1=0; x=l, w2=0
x=l/4, w1=w2 ; x=l/4,1=2
D1=D2 =0
C1=C2
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约 束条件是指约束对于挠度和转角的限制:
在固定铰支座和辊轴支座处,约束条件为挠 度等于零:w=0;
在固定端处,约束条件为挠度和转角都等于零:
7 128
FPl 2
例题
解: 5. 确定转角方程和挠度 方程以及指定横截面的挠度与 转角
将所得的积分常数代入后, 得到梁的转角和挠度方程为:
AB段 BC段
x
FP EI
3 8
x2
7 128
l2
x
FP EI
3 8
x2
1 2
x
l 2 4
7
l2
128
wx FP 1 x3 7 l 2 x
对于间断性分布载荷作用的情形,根据受力与约 束等效的要求,可以将间断性分布载荷,变为梁全长 上连续分布载荷,然后在原来没有分布载荷的梁段上, 加上集度相同但方向相反的分布载荷,最后应用叠加 法。
例题
已知:悬臂梁受
力如图示,q、l、
EI均为已知。
求:C截面的挠
度和转角wC 和C
例题
解:1. 首先,将梁上的载 荷变成有表可查的情形
横截面形心处的铅垂位移,称为挠度 (deflection),用w表示;
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的
角度,称为转角(slope)用表示;
横截面形心沿水平方向的位移,称为轴向位移或水平 位移(horizontal displacement),用u表示。
挠度与转角的相互关系
在小变形情形下,上述位移中,水平位移u与挠度w 相比为高阶小量,故通常不予考虑。
例题
解: 4. 利用约束条件和 连续条件确定积分常数
在支座A、C两处挠度应为零,即
x=0, w1=0; x=l, w2=0 因为,梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线,所以AB 段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:
x=l/4, w1=w2 ; x=l/4,1=2
例题
解: 4. 利用约束条EI 1
3 8
FP
x
2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
=-3
2
8
FP
x 2+1 2
FP
x- l 4
2
C2
EIw2=-81
FP
x 3+1 6
FP
x- l 4
3
C2
x
D2
其中,C1、D1、C2、D2为积分常数,由支承处的约束条
件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。
和转角均最大值。
于是,将 x = l,分别代入挠度方程与转角方程,
得到:
ql 4 wmax wB 8EI
max
B
ql 3 6EI
例题
已知:简支梁受力如图示。
FP、EI、l均为已知。
求:加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
例题
解:1. 确定梁约束力 2. 分段建立梁的弯矩方程 于是,AB和BC两段的弯矩方程分别为
梁的变形分析与 刚度问题
梁的位移分析与刚度问题
上一章的分析结果表明,在平面弯曲的情形下,梁 的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大,也会影响构 件正常工作。因此,对机器中的零件或部件以及土木工 程中的结构构件设计时,除了满足强度要求外,还必须 满足一定的刚度要求,即将其变形限制在一定的范围内。 为此,必须分析和计算梁的变形。
与转角
叠加法确定梁的挠度与转角
在很多的工程计算手册中,已将各种支承条件下 的静定梁,在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达 式一一列出,简称为挠度表。
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移 是杆件变形累加的结果这两个重要概念,以及在小变 形条件下的力的独立作用原理,采用叠加法 (superposition method)由现有的挠度表可以得到 在很多复杂情形下梁的位移。
小挠度微分方程
力学中的曲率公式 数学中的曲率公式
1M
EI
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
小挠度微分方程
小挠度情形下
dw
2

0
dx
d2w
1
dx 2
3
1
dw dx
2
2
d2w M
dx 2
EI
弹性曲线的小挠度微分方程,式中的正负号与w坐 标的取向有关。
小挠度微分方程
d2w 0,M 0 dx 2
EI 8 128
wx
FP
1
x3
1 x
l
3
7
l 2 x
EI 8 6 4 128
据此,可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转
角分别为
wB
3 256
FPl 3 EI
A
7 128
FPl 2 EI
B
- 5 128
FPl 2 EI
积分法小结
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度
在Oxw坐标系中,挠度与转角 存在下列关系:
dw tan
dx
在小变形条件下,挠曲线较为
平坦,即很小,因而上式中 tan。于是有
dw
dx
w= w(x),称为挠度方程(deflection equation)。
梁的位移分析的工程意义
位移分析中所涉及的梁的变形和位移, 都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的, 工程设计中,对于结构或构件的弹性位移都 有一定的限制。弹性位移过大,也会使结构 或构件丧失正常功能,即发生刚度失效。
梁的曲率与位移
根据上一章所得到 的结果,弹性范围内的挠 度曲线在一点的曲率与这 一点处横截面上的弯矩、 弯曲刚度之间存在下列关 系:
1=M
EI
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后,横截面的 位置将发生改变,这种位置的 改 变 称 为 位 移 ( displacement)。 梁的位移包括三个部分:
叠加法应用于多个载荷作用的情形
当梁上受有几种不同的载荷作用时,都可以将 其分解为各种载荷单独作用的情形,由挠度表查得 这些情形下的挠度和转角,再将所得结果叠加后, 便得到几种载荷同时作用的结果。
叠加法应用于多个载荷作用的情形 例题
已知:简支梁受
力如图示,q、l、
EI均为已知。
求:C截面的挠度 wC ;B截面的转
d2w 0,M 0
dx 2
d2w M dx 2 EI
本书采用向下的w坐标系,有
d2w M dx2 EI
d2w M dx2 EI
小挠度微分方程
d2w M
dx 2
EI
对于等截面梁,应用确定弯矩方程的方法,写出弯
矩方程M(x),代入上式后,分别对x作不定积分,得到包
含积分常数的挠度方程与转角方程:
24
解: 4. 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为:
x 0,w 0
x 0, = dw 0
dx
C ql 3 , 6
D ql 3 24
例题
解: 5. 确定挠度与转角方程
w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l4
q 6EI
l
x3
l
3
解: 6. 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出,悬臂梁在自由端处,挠度
梁的位移分析的工程意义
工程设计中还有另外一类问题,所考虑的 不是限制构件的弹性位移,而是希望在构件不 发生强度失效的前提下,尽量产生较大的弹性 位移。例如,各种车辆中用于减振的板簧,都 是采用厚度不大的板条叠合而成,采用这种结 构,板簧既可以承受很大的力而不发生破坏, 同时又能承受较大的弹性变形,吸收车辆受到 振动和冲击时产生的动能,受到抗振和抗冲击 的效果。
角B
例题
解:1.将梁上的载荷 变为3种简单的情形。
w w w w
C
C1
C2
C3
B B1 B2 B3
例题
解:2.由挠度表查得3种 情形下C截面的挠度;B截
面的转角。
wC1
5 384
ql 4 EI
,
wC 2
1 48
ql 4 EI
,
wC 3
1 16
ql 4 EI
B1
1 24
ql 3 EI
,
B2
1 16
梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移 梁的小挠度微分方程及其积分 叠加法确定梁的挠度与转角 梁的刚度问题 简单的静不定梁 结论与讨论
梁的曲率与位移
在平面弯曲的情形下,梁上的任意微段的两横 截面绕中性轴相互转过一角度,从而使梁的轴线弯 曲成平面曲线,这一曲线称为梁的挠度曲线 (deflection curve)。
为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计 算结果,计算自由端C处的挠度和转角,先将均布 载荷延长至梁的全长,为了不改变原来载荷作用的 效果,在AB段还需再加上集度相同、方向相反的 均布载荷。
例题
解:2.再将处理后的梁分解 为简单载荷作用的情形,计算 各个简单载荷引起挠度和转角。
两种情形下自由端的挠度和
w=0,θ=0。
连续条件是指,梁在弹性范围内加载,其轴线 将弯曲成一条连续光滑曲线,因此,在集中力、集中 力偶以及分布载荷间断处,两侧的挠度、转角对应相
等:w1= w2,θ1=θ2等等。
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
A
P CB
P
D
C
支点位移条件:
wA 0, wB 0
连续条件: wC wC
ql 3 EI
,
B3
1 3
ql 3 EI
,
例题
解:3. 应用叠加法,将简单 载荷作用时的结果分别叠加
将上述结果按代数值相 加,分别得到梁C截面的挠 度和支座B处的转角:
3
11 ql 4
wC
wCi
i 1
384
EI
,
B
3
Bi
i 1
11 48
ql 3 EI
叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形
例题
已知:左端固定右端 自由的悬臂梁承受均布 载荷。均布载荷集度为q , 梁的弯曲刚度为EI 、长
度为l。q、EI 、l均已知。
求:梁的弯曲挠度与转角方程, 以及最大挠度和最大转角。
例题
O w
解:1.建立Oxw坐标系 x
建立Oxw坐标系如图所示。 因为梁上作用有连续分布载荷, 所以在梁的全长上,弯矩可以用 一个函数描述,即无需分段。
wD 0,D 0
wC wC
光滑条件: C C 或写成 C左 C右
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
积分常数由挠曲线变形的几何相容条件(边界条件、连续 条件)确定。
优点:使用范围广,直接求出较精确; 缺点:计算较繁。
梁的位移分析的工程意义
机械传动机构中的齿轮轴,当 变形过大时(图中虚线所示),两齿 轮的啮合处将产生较大的挠度和转 角,这不仅会影响两个齿轮之间的 啮合,以致不能正常工作。 同时,还会加大齿轮磨损,同时将在转动的 过程中产生很大的噪声。
此外,当轴的变形很大使,轴在支承处也将 产生较大的转角,从而使轴和轴承的磨损大大增 加,降低轴和轴承的使用寿命。
另一方面,某些机械零件或部件,则要求有较大的 变形,以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧 即为一例。这种情形下也需要研究变形。
此外,求解静不定梁,也必须考虑梁的变形以建立补 充方程。
梁的位移分析与刚度问题
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上, 建立梁的挠度曲线微分方程;进而利用微分方 程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方 程。在此基础上,介绍工程上常用的计算梁变 形的叠加法。此外,还将讨论简单的静不定梁 的求解问题。
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