梁的变形计算

2．建立梁的弯矩方程
例题
解：2．建立梁的弯矩方程
从坐标为x的任意
截面处截开，因为固定
端有两个约束力，考虑
x
截面左侧平衡时，建立
的弯矩方程比较复杂，
M(x)
所以考虑右侧部分的平 衡，得到弯矩方程：
FQ(x)
M (x) 1 ql x2 0 x l
2
3． 建立微分方程并积分 将上述弯矩方程代入小挠度
EIw" M 1 q l x2 微分方程，得
2
例题
3． 建立微分方程并积分
EIw" M 1 q l x2
2
积分后，得到
EIw' EI 1 q l x3 C
6 EIw 1 q l x4 Cx D
24
例题
EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
转角分别为
AB段 BC段
M1
x
3 4
FP
x
0
x
l 4
M2
x
3 4
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
例题
解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
EI
d 2 w1 dx2
M1 x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2
x
－3 4
FP x＋FP
x－ l 4
l 4
EI1
3 8
FP x 2
C1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0
x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
D1＝D2 =0
C1＝C2
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约 束条件是指约束对于挠度和转角的限制：
在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠 度等于零：w=0;
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：
7 128
FPl 2
例题
解： 5． 确定转角方程和挠度 方程以及指定横截面的挠度与 转角
将所得的积分常数代入后, 得到梁的转角和挠度方程为：
AB段 BC段
x
FP EI
3 8
x2
7 128
l2
x
FP EI
3 8
x2
1 2
x
l 2 4
7
l2
128
wx FP 1 x3 7 l 2 x
对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约 束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长 上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上， 加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加 法。
例题
已知：悬臂梁受
力如图示，q、l、
EI均为已知。
求：C截面的挠
度和转角wC 和C
例题
解：1. 首先，将梁上的载 荷变成有表可查的情形
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度 （deflection），用w表示；
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的
角度，称为转角（slope）用表示；
横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平 位移（horizontal displacement），用u表示。
挠度与转角的相互关系
在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w 相比为高阶小量，故通常不予考虑。
例题
解： 4． 利用约束条件和 连续条件确定积分常数
在支座A、C两处挠度应为零，即
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0 因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB 段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:
x＝l/4， w1＝w2 ; x＝l/4，1=2
例题
解： 4． 利用约束条EI 1
3 8
FP
x
2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条
件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。
和转角均最大值。
于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，
得到：
ql 4 wmax wB 8EI
max
B
ql 3 6EI
例题
已知：简支梁受力如图示。
FP、EI、l均为已知。
求：加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
例题
解：1． 确定梁约束力 2． 分段建立梁的弯矩方程 于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为
梁的变形分析与 刚度问题
梁的位移分析与刚度问题
上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁 的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构 件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工 程中的结构构件设计时，除了满足强度要求外，还必须 满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。 为此，必须分析和计算梁的变形。
与转角
叠加法确定梁的挠度与转角
在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下 的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达 式一一列出，简称为挠度表。
基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移 是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变 形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法 （superposition method）由现有的挠度表可以得到 在很多复杂情形下梁的位移。
小挠度微分方程
力学中的曲率公式 数学中的曲率公式
1M
EI
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
小挠度微分方程
小挠度情形下
dw
2
￫
0
dx
d2w
1
dx 2
3
1
dw dx
2
2
d2w M
dx 2
EI
弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐 标的取向有关。
小挠度微分方程
d2w 0,M 0 dx 2
EI 8 128
wx
FP
1
x3
1 x
l
3
7
l 2 x
EI 8 6 4 128
据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转
角分别为
wB
3 256
FPl 3 EI
A
7 128
FPl 2 EI
B
－ 5 128
FPl 2 EI
积分法小结
确定约束力,判断是否需要分段以及分几段 分段写出弯矩方程 分段建立挠度微分方程 微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度
在Oxw坐标系中，挠度与转角 存在下列关系：
dw tan
dx
在小变形条件下，挠曲线较为
平坦，即很小，因而上式中 tan。于是有
dw
dx
w＝ w（x），称为挠度方程（deflection equation）。
梁的位移分析的工程意义
位移分析中所涉及的梁的变形和位移， 都是弹性的。尽管变形和位移都是弹性的， 工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都 有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构 或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。
梁的曲率与位移
根据上一章所得到 的结果，弹性范围内的挠 度曲线在一点的曲率与这 一点处横截面上的弯矩、 弯曲刚度之间存在下列关 系：
1＝M
EI
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后，横截面的 位置将发生改变，这种位置的 改 变 称 为 位 移 ( displacement)。 梁的位移包括三个部分：
叠加法应用于多个载荷作用的情形
当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将 其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得 这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后， 便得到几种载荷同时作用的结果。
叠加法应用于多个载荷作用的情形 例题
已知：简支梁受
力如图示，q、l、
EI均为已知。
求：C截面的挠度 wC ；B截面的转
d2w 0,M 0
dx 2
d2w M dx 2 EI
本书采用向下的w坐标系，有
d2w M dx2 EI
d2w M dx2 EI
小挠度微分方程
d2w M
dx 2
EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯
矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包
含积分常数的挠度方程与转角方程：
24
解： 4． 利用约束条件确定积分常数
固定端处的约束条件为：
x 0，w 0
x 0， = dw 0
dx
C ql 3 , 6
D ql 3 24
例题
解： 5． 确定挠度与转角方程
w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l4
q 6EI
l
x3
l
3
解： 6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，悬臂梁在自由端处，挠度
梁的位移分析的工程意义
工程设计中还有另外一类问题，所考虑的 不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不 发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性 位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都 是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结 构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏， 同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到 振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击 的效果。
角B
例题
解：1.将梁上的载荷 变为3种简单的情形。
w w w w
C
C1
C2
C3
B B1 B2 B3
例题
解：2.由挠度表查得3种 情形下C截面的挠度；B截
面的转角。
wC1
5 384
ql 4 EI
,
wC 2
1 48
ql 4 EI
,
wC 3
1 16
ql 4 EI
B1
1 24
ql 3 EI
,
B2
1 16
梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移 梁的小挠度微分方程及其积分 叠加法确定梁的挠度与转角 梁的刚度问题 简单的静不定梁 结论与讨论
梁的曲率与位移
在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横 截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯 曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线 （deflection curve）。
为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计 算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布 载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的 效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的 均布载荷。
例题
解：2．再将处理后的梁分解 为简单载荷作用的情形，计算 各个简单载荷引起挠度和转角。
两种情形下自由端的挠度和
w=0，θ＝0。
连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线 将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中 力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相
等：w1= w2，θ1＝θ2等等。
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
A
P CB
P
D
C
支点位移条件：
wA 0, wB 0
连续条件： wC wC
ql 3 EI
,
B3
1 3
ql 3 EI
,
例题
解：3. 应用叠加法，将简单 载荷作用时的结果分别叠加
将上述结果按代数值相 加，分别得到梁C截面的挠 度和支座B处的转角:
3
11 ql 4
wC
wCi
i 1
384
EI
,
B
3
Bi
i 1
11 48
ql 3 EI
叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形
例题
已知：左端固定右端 自由的悬臂梁承受均布 载荷。均布载荷集度为q ， 梁的弯曲刚度为EI 、长
度为l。q、EI 、l均已知。
求：梁的弯曲挠度与转角方程， 以及最大挠度和最大转角。
例题
O w
解：1．建立Oxw坐标系 x
建立Oxw坐标系如图所示。 因为梁上作用有连续分布载荷， 所以在梁的全长上，弯矩可以用 一个函数描述，即无需分段。
wD 0,D 0
wC wC
光滑条件： C C 或写成 C左 C右
小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续 条件）确定。
优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
梁的位移分析的工程意义
机械传动机构中的齿轮轴，当 变形过大时(图中虚线所示)，两齿 轮的啮合处将产生较大的挠度和转 角，这不仅会影响两个齿轮之间的 啮合，以致不能正常工作。 同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动的 过程中产生很大的噪声。
此外，当轴的变形很大使，轴在支承处也将 产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增 加，降低轴和轴承的使用寿命。
另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的 变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧 即为一例。这种情形下也需要研究变形。
此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补 充方程。
梁的位移分析与刚度问题
本章将在上一章得到的曲率公式的基础上， 建立梁的挠度曲线微分方程；进而利用微分方 程的积分以及相应的边界条件确定挠度曲线方 程。在此基础上，介绍工程上常用的计算梁变 形的叠加法。此外，还将讨论简单的静不定梁 的求解问题。