相机投影模型与OpenGL矩阵投影矩阵的设置

相机投影模型与OpenGL矩阵的设置
摘要：
本文描述相机的投影模型与OpenGL模型视图矩阵和投影矩阵的关系。

阅读完本文，读者能够根据相机的参数（内参和外参）设置OpenGL矩阵，使得OpenGL模拟出相机的成像效果。

相机投影模型：
设空间点P3D={P x,P y,P z} ,其齐次坐标记为P3D̃={P x,P y,P z,1}。

旋转变换和平移变换均为3×3矩阵，分别记为R和T, R̃和T̃分别为它们的齐次形式。

经过旋转和平移变换之后，新的点为P3D′={P x′,P y′,P z′}
P3D′=RP3D+T
将P3D′投影到2D平面的过程为(小孔成像模型，图形坐标左上角为原点，y轴朝下)：
{x=
fP x′
P z′
+
W
2
y=−fP y′
P z′
+
H
2
其中，W和H分别为成像面的宽度和高度（即图像宽度和高度）。

OpenGL投影过程：
OpenGL的投影过程为
P normal3D=M proj×M model×P3D̃
其中，P normal3D为规范化的3D点，它是一个齐次坐标，是4维向量。

M proj和M model分别
为OpenGL的投影矩阵和模型视图矩阵，它们都为4*4的矩阵。

模型视图矩阵和摄像机外参相关，对应于R和T，投影矩阵和摄像机的内参相关。

如果给定摄像机的内参f（焦距）、W和H，外参RotX，RotY，RotZ，以及TransX，TransY，TransZ。

为了使OpenGL模拟相机成像结果，则应如下设置：
//清理背景
glClearColor(0.0f, 0.0f, 1.0f, 1.0f);
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
glEnable(GL_DEPTH_TEST);
//设置内参
//为什么这么设置，参见参考文献2
//注意这里矩阵的排列是列优先排列
glViewport(0, 0, W, H);//设置成像面大小
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
GLdouble projection[16]; // Where The 16 Doubles Of
memset(projection, 0, sizeof(GLdouble)*16);
projection[0]= -2.0f*focalLength/W;
projection[5]= 2.0f* focalLength /H;
projection[10] = -(Far + Near)/(Far - Near);//Far 和 Near分别为远、近裁剪平面
projection[11] = -1.0f; //这个固定要设为-1
projection[14] = -2.0f*Far*Near / (Far - Near);
glLoadMatrixd(projection);//保存投影矩阵
//设置外参，注意OpenGL中矩阵乘法的顺序
//按照RP+T模型
//应该先设置Translation矩阵, 再设置Rotation矩阵
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity(); //reset modelview matrix
gluLookAt(0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, -1.0, 0.0, 1.0, 0.0);//把相机位置移到原点，朝向Z轴负方向glTranslatef(pTrans[0], pTrans[1], pTrans[2]);
glRotatef(pRotRad[0]/3.1415926*180.0f, 1, 0, 0);
glRotatef(pRotRad[1]/3.1415926*180.0f, 0, 1, 0);
glRotatef(pRotRad[2]/3.1415926*180.0f, 0, 0, 1);
说明：以上的远近裁剪平面是用于OpenGL做场景截取用，在此裁剪区域外的景物会被舍去。

关于OpenGL投影变换的结果可以参考如下资料：
1、OpenGL的矩阵
/red/appendixf.html
2、OpenGL矩阵的推导
/blog/post/4.html
/blog/post/5.html。