变质量动力学

变质量动力学

引言

有些物体在运动过程中质量不断增加或减少，譬如火箭在飞行时不断地

喷出燃料燃烧后产生的气体，火箭的质量在不断减小，因此飞行中的火箭质量是变化的物体；还有比如不断吸进空气又喷出燃气的喷气式飞机、投掷载荷的飞机、在农业收割机旁不断接收粮食的汽车以及在江河中不断凝聚或融化的浮冰等，都是变质量的物体。要搞清楚他们运动的特征就要将他们简化成物理模型进行研究。一般情况下，当变质量物体作平移，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质量指点来研究。

关键词；变质量 运动学 动量定理 动量距定理

1.变质量指点的运动微分方程

1. 变质量指点的运动微分方程：

设变质量质点在瞬时t 的质量为m ，速度为v ；再瞬时t dt +,有微小质量dm 并入，只是指点的质量为dm m +,速度为v dv +；微小质量dm 在尚未并入的瞬时t ,它的速度为1v ，以原质点与并入的微小质量组成质点系。设作用于质点系的外力为()e F 。

质点在瞬时t 的动量为： 11p mv dm v =+⋅ 质点系在瞬时t dt +的动量为： 2()()p m d m v d v =++ 根据动量定理

()21e dp p p F dt =-= 得

()1()()()e m dm v dv mv dm v F dt ++-+⋅= 将上式展开得

()1e mdv dm v dm dv dm v F dt +⋅+⋅-⋅= 略去高阶微量dm dv ⋅，并以dt 除各项，得

()1e dv dm dm m

v v F dt dt dt

+-= 或

()1()e dv dm

m v v F dt dt

-

-= 上式中1()v v -是微小质量dm 在并入前相对于质点m 的相对速度r v ，令

r dm F v dt

Φ= 则可以得到

()e dv

m

F F dt

Φ=+ 上式称为变质量质点的运动微分方程。式中m 是变量，

dm

dt

是代数量。 变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程。其中F Φ常称为反推力。

2. 两种常用的质量变化规律 1.质量按线性规律变化。 设变化规律为

0(1

)m m t β=-, 1t β< 式中0m ,β 皆为常数，该式代表质量随时间变化呈线性关系。由0dm

m dt

β=-知，其反推力为

0r r dm

F v m v dt

βΦ==- 由上式可知，当r v 为常量时，反推力F Φ也为常量，且与r v 方向相反。 3. 质量按指数规律变化。 设变化规律为

0t

m m e β-=

式中0m ，β全为常数。由0t dm

m e dt

ββ-=-知，其反推力为 0t r r dm

F v m e v dt

ββ-Φ=

=- 令a Φ表示仅在反推力F Φ作用下变质量质点的加速度 r F a v m

βΦ

Φ=

=- 则当r v 为常量时，a Φ也是常量，即由反推力而引起的加速度为常量。

2.变质量质点的动力学普遍定理

1.变质量指点的动量定理

变质量质点在任一瞬时的动量p mv =，其中()m m t =是时间t 的函数， 将动量对时间求导得

()dp d mv dm dv v m dt dt dt dt

==+

得出

r d p d m d m v F v d t d t d t

=++ 记并入（或放出）质量的绝对速度为1v ，即 1r v v v =+ 则有

1d p d m F v dt dt

=+ 记

1a dm

F v dt Φ=

称a F Φ为由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力，它具有力的量纲且能改变质点的动量。得出：

dp dt =()d

mv dt

=F +a F Φ 上式称为变质量质点动量定理的微分形式：变质量质点的动量对时间的导数，等于作用于其上的外力与由于并入（或放出）质量的绝对速度而引起的反推力的矢量和。

将上式积分，设t =0时质点质量为0m ，速度为0v ，得 00mv m v -=0t Fdt ⎰+0t a F dt Φ⎰=0t Fdt ⎰+01m m v dm ⎰ 上式称为变质量质点动量定理的积分形式。 2.变质量质点的动量矩定理

变质量质点对任一点O 的动量矩为 O L r m v

=⨯ 式中r 为从点O 指向该质点的矢径，点O 为定点。将上式对时间t 求导，得

O dL dt =()d r mv dt

⨯=dr mv dt ⨯+()d r mv dt ⨯=()d

r mv dt ⨯

上式称为变质量质点的动量矩定理：变质量质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和。 3.变质量质点的动能定理

变质量质点动量订立的微分形式可以写为

dv m dt

+dm v dt = F +

1dm

v dt 将上式各项点乘dr ，得 1m v d v d m v v

F d r d m v v

⋅+⋅=⋅+⋅

由于2

21()22

v mv dv d mv dm ⋅=-，因此上式可以写为

22111

()()22

d mv v dm F dr v v dm +=⋅+⋅

或

2211

()22

a d mv v dm F dr F dr Φ+=⋅+⋅

上面两式称为变质量质点的动能定理：变质量质点的动能微分与放出（或并入）的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和，等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）质量 的绝对速度引起的反推力所作的元功之和。 4. 实际问题中的变质量质点的动量定理及动量矩定理

日常生活或工程实践中，常会遇到质量不断变化的质点系，例如，向外喷射气体的火箭、吸入空气同时又喷出燃气的喷气式飞机、冻结或融化中的浮冰等．有的是不断地并入质量，有的是不断地放出质量，有的既并入又放出质量，这样的质点系称为变质量物体．变质量问题是理论力学研究的一个重要内容。 通常用到的几个变质量物体运动方程 1. 变质量物体的平动运动方程

()d dm m V F u V F dt dt

=+-=+Φ 该式是研究变质量问题的一个基本方程，简称密歇尔斯基方程。 2. 变质量物体绕定点转动的运动方程

()()n d

r mv r F dr F dt

⨯=⨯+Φ-⨯ 上式中r F ⨯叫合外力距，dm

r r u dt

⨯Φ=⨯叫反推力矩，dr ⨯n F 叫向心力距。

3. 变质量物体绕定点做一般曲线运动的方程

()()()n d

r mv r F dr F F dt

τ⨯=⨯+Φ-⨯+ 式中dr ⨯F τ称为切向力矩。

例：用手拿住均匀链条的上端，使下端刚好着地，突然将手放开，使链条竖直下落，求下落速度，并求证地面受到的最大压力是链条重量的3倍。

解 ： 设x 轴向下，x 轴原点在链条初始位置的最高点，对空中长为l x -和即将落地的微质量链条组成的变质量体系进行考虑，()m l x ρ=-，dm dx ρ=-，N 为地面静止链条向上作用于微质量链条dm 的力，u 是dm 与空中主体链条分开后的瞬时速度即0，对该变质量体系应用变质量运动的微分方程可得

(0)d v d m

m m g N v d t d t

=-+-

化为：

2dv m mg N v dt

ρ=-+