第三章回顾和思考第1课时演示文稿
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第三章 圆
回顾与思考（第 1课时）
一、知识结构
基本概念 与性质
定义 对称性
确定圆的条件 垂径定理 圆心角、弧、弦的关系
圆
圆周角与圆心角的关系
点与圆的位置关系
与圆有关的 位置关系
直线与圆的位置关 系
切线长 定理
与圆有关的 计算
圆的内接四边形 内接正多边 形
弧长 扇形面积
二、知识点回顾
圆的对称性 圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的 直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称 图形， 圆心 是它的对称中心.
O
O
E A
C
F B
D
E A
C
F B
D
『要点』图形呈轴对称性时，可利用垂径定 理求解，也可利用半径和弦组成的等腰三角 形的对称性求解
4、某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工 人王师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的 长就计算出了圆环的面积，王师傅是怎样算的？ 请你用圆的相关知识加以解释。
连接圆心O与切点C，连接AO ，
法一：连接 OA
A
B
O
法二：延长 CO交⊙O于D，连
接DA
D
A
B
O
C
C
『要点』通过辅助线的添加，建立同弧所对的
圆周角及圆心角或直径所对的圆周角，实现所
求对象的转换。
2. 如图2，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角 ∠ACB=30°，则⊙O的直径等于_3_.6____cm.
连接AO，并延长交⊙O于 D，连接BD，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PA=PB
圆的内接多边形
圆的内接正多边形
A D
圆的内接四边 形对角互补
B
C
弧长与扇形面积的计算
l ? n? R
n°的圆心角所对的弧长计算公式为 180 .
n°的圆心角所在的扇形面积为
S扇形
?Baidu Nhomakorabea
n? R2 360
。
1°
O · n°
三、精选精练
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知 ∠ACO=30°，∠B=__6_0_°___．
O
垂径定理 证明线段或弧相等的重要定理
?垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平
分 弦所对的两条弧 ；
?平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，
并且平分 弦所对的两条弧 .
C
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
·O
E
A
B
D
圆心角、弧、弦的关系
?在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧 相等， 所对的 相弦等。
A
O
O'
B
『要点』过圆外一点可作两条与圆相切的直 线，该点与两切点的距离相等，且OO'平分 ∠AOB
6、如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°，延长
斜边AB到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是
⊙O切线。
证明：连 OC，如图，
C
∵∠ A=30°， OA=OC ，
∴∠COB= 60°，
A
∵△COB为等边三角形，∴ BC=BO， O
五、课后作业
完成课本复习题知识技能1-14题.
BD
而BD等于⊙ O半径，
∴BC=BO=BD ，
∴△OCD为直角三角形，即∠ OCD=90°，
所以 DC是⊙ O切线．
『要点』求证圆的切线问题除了需要作出过 切点的半径，还要注意观察图形的特征，例 如包涵的特殊三角形的性质。
四、课堂小结
1.本章知识结构和重点内容； 2.观察——猜想——关联； 3.转化的数学思想在解决圆的问题时的 相关应用。
圆的切线 垂直于 过切点的半径；
∵l是⊙O的切线， 切点为A，OA是⊙O的直径， ∴OA⊥l
·O
A
l
圆的切线的判定
·O
经过 半径 的外端，并且垂直于这条 A
l
半径 的直线是圆的切线.
∵OA是⊙O的半径, l⊥OA于A, ∴ l是⊙O的切线.
切线长定理
B
从圆外一点所画的圆的两条
。
O
P
切线的长相等。
A
?在同圆或等圆中，如果两 个圆心角，两条 弧，两条 弦，
B′
中有一组量 相等 ，那么它们 所对应的其余各组量都分 别 相等 .
A′ B
·
O
A
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于它所 对弧的圆心角 度数的一半 .
直径所对的圆周角是 直角 ，90°所对的 弦是 直径 .
C2
C
C1
C3
·
A
O
A
B
AB? AB
∴∠D= ∠C=30° ，
O C
∵AD是直径，∴∠B=90° ，
D
? AD? 2AB? 3.6
『要点』当所求对象非显性存在时，可先将 其作出，并寻找与之相关的已知条件
3、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、 OD分别交AB于点E、F, 且AE=BF，请你找出
线段OE与OF的数量关系，并给予证明。
A B
·O
B
与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系 ① 点P在圆外 d > r， ② 点P在圆上 d = r ③ 点P在圆内 d < r.
P P
·P
O
r
A
2. 直线与圆的位置关系
① 直线和⊙O相交 ② 直线和⊙O相切
· d < r，
r
d= r
O
l
③ 直线和⊙O相离 d > r.
l
l
圆的切线的性质
∵OC⊥AB,
O
∴在△AOC中，AO2-OC2=AC2,
∴S圆环面积=π(AO2-OC2)=πAC2, A C
B
『要点』遇到相切问题经常需要作出过切点 的半径，垂径定理往往需要建立的直角三角 形，并利用勾股定理求解三边。
5、如图，过圆外一点O作⊙O′的两条切线OA、
OB，A、B是切点，且OO'圆O半径长两倍，则 ∠AOB=______ 60 °
回顾与思考（第 1课时）
一、知识结构
基本概念 与性质
定义 对称性
确定圆的条件 垂径定理 圆心角、弧、弦的关系
圆
圆周角与圆心角的关系
点与圆的位置关系
与圆有关的 位置关系
直线与圆的位置关 系
切线长 定理
与圆有关的 计算
圆的内接四边形 内接正多边 形
弧长 扇形面积
二、知识点回顾
圆的对称性 圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的 直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称 图形， 圆心 是它的对称中心.
O
O
E A
C
F B
D
E A
C
F B
D
『要点』图形呈轴对称性时，可利用垂径定 理求解，也可利用半径和弦组成的等腰三角 形的对称性求解
4、某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工 人王师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的 长就计算出了圆环的面积，王师傅是怎样算的？ 请你用圆的相关知识加以解释。
连接圆心O与切点C，连接AO ，
法一：连接 OA
A
B
O
法二：延长 CO交⊙O于D，连
接DA
D
A
B
O
C
C
『要点』通过辅助线的添加，建立同弧所对的
圆周角及圆心角或直径所对的圆周角，实现所
求对象的转换。
2. 如图2，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角 ∠ACB=30°，则⊙O的直径等于_3_.6____cm.
连接AO，并延长交⊙O于 D，连接BD，
∵PA、PB分别切⊙O于A、B， ∴PA=PB
圆的内接多边形
圆的内接正多边形
A D
圆的内接四边 形对角互补
B
C
弧长与扇形面积的计算
l ? n? R
n°的圆心角所对的弧长计算公式为 180 .
n°的圆心角所在的扇形面积为
S扇形
?Baidu Nhomakorabea
n? R2 360
。
1°
O · n°
三、精选精练
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知 ∠ACO=30°，∠B=__6_0_°___．
O
垂径定理 证明线段或弧相等的重要定理
?垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平
分 弦所对的两条弧 ；
?平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，
并且平分 弦所对的两条弧 .
C
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
·O
E
A
B
D
圆心角、弧、弦的关系
?在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧 相等， 所对的 相弦等。
A
O
O'
B
『要点』过圆外一点可作两条与圆相切的直 线，该点与两切点的距离相等，且OO'平分 ∠AOB
6、如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠A=30°，延长
斜边AB到D，使BD等于⊙O半径，求证：DC是
⊙O切线。
证明：连 OC，如图，
C
∵∠ A=30°， OA=OC ，
∴∠COB= 60°，
A
∵△COB为等边三角形，∴ BC=BO， O
五、课后作业
完成课本复习题知识技能1-14题.
BD
而BD等于⊙ O半径，
∴BC=BO=BD ，
∴△OCD为直角三角形，即∠ OCD=90°，
所以 DC是⊙ O切线．
『要点』求证圆的切线问题除了需要作出过 切点的半径，还要注意观察图形的特征，例 如包涵的特殊三角形的性质。
四、课堂小结
1.本章知识结构和重点内容； 2.观察——猜想——关联； 3.转化的数学思想在解决圆的问题时的 相关应用。
圆的切线 垂直于 过切点的半径；
∵l是⊙O的切线， 切点为A，OA是⊙O的直径， ∴OA⊥l
·O
A
l
圆的切线的判定
·O
经过 半径 的外端，并且垂直于这条 A
l
半径 的直线是圆的切线.
∵OA是⊙O的半径, l⊥OA于A, ∴ l是⊙O的切线.
切线长定理
B
从圆外一点所画的圆的两条
。
O
P
切线的长相等。
A
?在同圆或等圆中，如果两 个圆心角，两条 弧，两条 弦，
B′
中有一组量 相等 ，那么它们 所对应的其余各组量都分 别 相等 .
A′ B
·
O
A
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于它所 对弧的圆心角 度数的一半 .
直径所对的圆周角是 直角 ，90°所对的 弦是 直径 .
C2
C
C1
C3
·
A
O
A
B
AB? AB
∴∠D= ∠C=30° ，
O C
∵AD是直径，∴∠B=90° ，
D
? AD? 2AB? 3.6
『要点』当所求对象非显性存在时，可先将 其作出，并寻找与之相关的已知条件
3、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、 OD分别交AB于点E、F, 且AE=BF，请你找出
线段OE与OF的数量关系，并给予证明。
A B
·O
B
与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系 ① 点P在圆外 d > r， ② 点P在圆上 d = r ③ 点P在圆内 d < r.
P P
·P
O
r
A
2. 直线与圆的位置关系
① 直线和⊙O相交 ② 直线和⊙O相切
· d < r，
r
d= r
O
l
③ 直线和⊙O相离 d > r.
l
l
圆的切线的性质
∵OC⊥AB,
O
∴在△AOC中，AO2-OC2=AC2,
∴S圆环面积=π(AO2-OC2)=πAC2, A C
B
『要点』遇到相切问题经常需要作出过切点 的半径，垂径定理往往需要建立的直角三角 形，并利用勾股定理求解三边。
5、如图，过圆外一点O作⊙O′的两条切线OA、
OB，A、B是切点，且OO'圆O半径长两倍，则 ∠AOB=______ 60 °