电容器 - 含答案

电磁弹射器可以简化为如图 20 所示的装置以说明其基本原理。电源和一对足够长平行
金属导轨 M、N 分别通过单刀双掷开关 K 与电容器相连。电源的电动势 E=10V，内阻不计。
两条足够长的导轨相距 L=且水平放置，处于磁感应强度 B=的匀强磁场中，磁场方向垂直于
导轨平面且竖直向下，电容器的电容 C=10F。现将一质量 m=、电阻 r=Ω 的金属 滑块垂直放置于导轨的滑槽内，分别与两 E 导轨良好接触。将开关 K 置于 a 使电容器 充电，充电结束后，再将开关 K 置于 b，
D． Q 和 Q2 ε0 S 20S
3．（18 分）
当平行板电容器的两极板间是真空时，电容 C 与极板的正对面积 S、极板间距离 d
的关系为 C S 。对给定的平行板电容器充电，当该电容器极板所带电荷量 Q 变 4πkd
化时，两极板间的电势差 U 也随之变化。
（1）在图 14 所示的坐标系中画出电容器带电量 Q 与极板间电势差 U 的关系图像。
出电容器的电容 C。
（2）研究发现，电容器储存的能量表达式为 1 CU 2 ，其中 U 为电容器两端所加电压，C 2
为电容器的电容。设在某一次紧急停车中，在汽车速度迅速减为 0 的过程中，超级 电容器两极间电势差由 U1 迅速增大到 U2。已知电车及乘客总质量为 m，超级电容
器的电容为 C0，动能转化为电容器储存的电能的效率为 η。求电车刹车前瞬间的速 度 v0。
3．（18 分） （1）对于给定的电容器，Q=CU，Q－U 图像如图所示。（3 分）
（2）该图像的斜率为电容器电容 C，图像与横坐标轴围成的面积为对电容器充电过程
中，电容器储存的电能。故 E 1 QU 2
（3 分）
由 Q=CU
（2 分）
得： E 1 CU 2 2
（3）板间距离为 d 时，平行板电容器的电容为 C S 4πkd
（2）电容器储存的电能等于电源搬运电荷从一个极板到另一个极板过程中，克服电场 力所做的功。在弹簧弹力 F 与形变量 x 关系图像中，图像与 x 轴围成的面积代表
弹簧弹性势能的大小。与之类比，推导电容器储存的电能表达式 E 1 CU 2 。 2
（3）若保持平行板电容器带电量 Q、极板正对面积 S 不变，两极板间为真空，将板间 距离由 d1 增大到 d2，需要克服电场力做多少功
b．（6 分）电容器充电时，通过 R 的电流 i E U ，U 为电容器两端的电压， R
随着电容器上电荷量的增大，U 也增大，所以电流 i 减小。
充电结束时，电容器两端电压等于电源的电动势，即 E = U
根据电容的定义 C Q U
解得电容 C Q 22I0T 0.22I0T0
E 100E
E
我们来看，如图 10 所示的情景：
两根无限长、光滑的平行金属导轨 MN、PQ 固定在水平面内，相距为 L。质量为 m 的 导体棒 ab 垂直于 MN、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好。整个装置处于竖直向下匀强磁场 中，磁感应强度大小为 B。不计导轨及导体棒的电阻。现对导体棒 ab 施一水平向右的恒力 F，使导体棒由静止开始沿导轨向右运动。
电容器
1．电容器充电后就储存了能量，某同学研究电容器储存 u 的能量 E 与电容器的电容 C、电荷量 Q 及电容器两极间电
xA
压 U 之间的关系。他从等效的思想出发，认为电容器储存
的能量等于把电荷从一个极板搬运到另一个极板过程中
克服电场力所做的功。为此他做出电容器两极间的电压 u
随电荷量 q 变化的图像（图 3 所示）。按照他的想法，下 列说法正确的是 B
b．ab 棒做匀加速直线运动，某一时刻的速度 vt at
（2 分） （2 分）
（2 分） （1 分）
当 U = BLv = BL·at = U0 时，电容器可能会被击穿。
解得 t = U0 = U（0 m + CB 2L2 )
BLa
BLF
（1 分） （2 分）
6、（18 海淀期末）（10 分）电磁弹射技术是一种新兴的直线推进技术，适宜于短行程 发射大载荷，在军事、民用和工业领域具有广泛应用前景。我国已成功研制出用于航空母舰 舰载机起飞的电磁弹射器。它由发电机、直线电机、强迫储能装置和控制系统等部分组成。
（1）若轨道端点 M、P 间接有阻值为 R 的电阻，
a．求导体棒 ab 能达到的最大速度 vm；
b．导体棒 ab 达到最大速度后，撤去力 F。求撤去力 F 后，电阻 R 产生的焦耳热 Q。
（2）若轨道端点 M、P 间接一电容器，其电容为 C，击穿电压为 U0， t=0 时刻电容器带电量为 0。
动；
a．证明：在给电容器充电过程中，导体棒 ab 做匀加速直线运
WF= ………1 分
f1 与 f2 的合力即洛伦兹力 f 不做功。所以金属滑块运动过程中阻力 f1 所做的总功 W=–WF =–80J…………1 分
量。
a．类比是一种常用的研究方法，对于直线运动，我们学习了用 v-t 图像求位移的 方法。请你借鉴此方法，根据图 3 所示的 i-t 图像，定性说明如何求电容器充 电所获得的电荷量；并求出该次充电结束时电容器所获得的电荷量 Q；
b．请你说明在电容器充电的过程中，通过电阻 R 的电流为什么会逐渐减小；并 求
（2）（6
分）根据能量守恒定律
1 2
mv02
1 2
C0U
2 2
1 2
C0U12
解得电车刹车前瞬间的速度 v0
C0
(U
2 2
U12
)
m
5．（20 分）
导体切割磁感线，将产生感应电动势；若电路闭合，将形成感应电流；电流是由于电荷 的定向移动而形成的。我们知道，电容器充电、放电过程也将会形成短时电流。
得
…………1 分
而
…………1 分
解得 v=40m/s…………1 分
（3）a. 由 U=BLv 可知电容器两端最终电压 U=2V
由能量守恒定律有
…………1 分
解得：Q=400J …………1 分 b.因金属滑块做切割磁感线运动产生反电动势，由此使滑块中的自由电荷受到阻碍其 定向运动的洛伦兹力 f1（即阻力）；同时由于金属滑块中的自由电荷定向运动还使其受到洛 伦兹力 f2。金属滑块中的所有自由电荷所受 f2 的合力在宏观上表现为金属滑块的安培力。 由动能定理可知安培力做功
Δq
q
图3
A．u-q 图线的斜率越大，电容 C 越大
B．搬运Δq 的电量，克服电场力所做的功近似等于Δq 上方小矩形的面积
C．对同一电容器，电容器储存的能量 E 与两极间电压 U 成正比
D．若电容器电荷量为 Q 时储存的能量为 E，则电容器电荷量为 Q/2 时储存的能量为 E/2
（15 安徽）2.已知均匀带电的无穷大平面在真空中激发电场的场强大小为 ，其中 2 0
当电容器带电量为 Q 时，两板间电压U Q C
（3 分）
得电容器储存的电能为 E 2πkdQ2 S
（3 分）
当板间距离由 d1 增大到 d2 时，电容器储存的电能增加量为
E
E2
E1
2πkQ2 S
(d2
d1 )
故需要克服电场力做功W
E
2πkQ2 S
(d2
d1)
（3 分）
4、（18 西城）（18 分）
P
b．求导体棒 ab 运动多长时间电容器可能会被击穿
M
a
N
F B
b
Q
图 10
5．（20 分）
（1）a．导体棒 ab 切割磁感线产生的感应电动势 E = BLv
（1 分）
感应电流
（1 分）
导体棒 ab 所受安培力 当拉力 F 与安培力 FA 大小相等时，导体棒 ab 速度最大。 即
（1 分） （1 分）
ab
M
K C
× × × ×B×
×
N
图 20
金属滑块会在电磁力的驱动下运动，不计导轨和电路其他部分的电阻，且忽略金属滑块运动
过程中的一切阻力，不计电容充放电过程中该装置向外辐射的电磁能量及导轨中电流产生的
磁场对滑块的作用。
（1）在电容器放电过程中，金属滑块两端电压与电容器两极间电压始终相等。求在开关 K 置于 b 瞬间，金属滑块的加速度的大小 a；
ab 棒运动的加速度为 a = F - FA = F - BIL
m
m
电容器两端的电压U = BLv ， ΔU = BLΔv ， C Q U
a Δv ΔU ΔQ I Δt BLΔt CBLΔt CBL
联立解得：
a
=
m
+
F CB 2L2
a
=
m
F + CB2L2
是个定值，所以
ab
棒做匀加速直线运动。
+
-
σ 为平面上单位面积所带的电荷量，ε0 为常量。如图所示的平行板电容器，极板正对 S +
-
面积为 S，其间为真空，带电量为 Q。不计边缘效应时，极板可看作无穷大导体板，
则极板间的电场强度大小和两极板间相互的静电引力大小分别为
+
-
Q Q2
A． 和
ε0 S ε0 S
B．
Q
Q2
和
20S ε0 S
+
-
C． Q 和 Q2 2 0S 20S
6．（10 分）
（1）开关 K 置于 b 瞬间，流过金属滑块的电流：
I= …………1 分 金属滑块受到安培力作用，由牛顿运动定律：
BIL=ma，…………1 分
a=
m/s2 …………1 分
Fra Baidu bibliotek
（2） 设金属滑块做加速运动到最大速度时两端的电压为 U，电容器放电过程中的电荷量变
化为 Δq，放电时间为 Δt，流过金属滑块的平均电流为 I：
（2）求金属滑块最大速度 v；
（3）a.电容器是一种储能装置，当电容两极间电压为 U 时，它所储存的电能 A=CU2/2。求金 属滑块在运动过程中产生的焦耳热 Q；
b.金属滑块在运动时会产生反电动势，使金属滑块中大量定向运动的自由电子又受到一个阻 力作用。请分析并计算在金属滑块运动过程中这个阻力所做的总功 W。
最大速度
（2 分）
b．撤去力 F 后，导体棒 ab 在安培力的作用下做减速运动，直到速度为零。根据 能量转化与守恒定律，导体棒的动能全部转化为电阻 R 上的焦耳热。
（2 分）
（2 分）
（2）a．ab 棒在外力 F 的作用下，由静止开始向右运动，对电容器充电，形成电流 I，
ab 棒所受安培力 FA = BIL ，方向水平向左
电容放电过程的电荷量变化 Δq=C(E-U) …………1 分
金属滑块速度最大时，其两端电压 U=BLv
由电流定义有 Δq=IΔt
在金属滑块运动过程中，由动量定理有 BILΔt=mv-0 …………1 分
联立以上各式，可得：v=40m/s …………1 分
方法二：
设任意时刻电路中的电流为 i，取一段含此时刻的极短时间△t，最大速度为 v，由动量定理
2015 年 4 月 16 日，全球首创超级电容储能式现代电车在中国宁波基地下线，如图 1
所示。这种电车没有传统无轨电车的“长辫子”和空中供电网，没有尾气排放，乘客上 下车的几十秒内可充满电并行驶几公里，刹车和下坡时可把部分动能转化成电能回收储 存再使用。
（ 1 ）
R C
E
S
图
2 所示图为1超级电容器充电过程简化电图路2图，已知充电电源的电动势图为3 E，电路中 的电阻为 R。图 3 是某次充电时电流随时间变化的 i-t 图像，其中 I0、T0 均为已知
4．（18 分）
（1）a．（6 分）电容器充电所获得的电荷量等于 i-t 图线和横、纵轴所围的面积。
图
2
中每一小格的面积为
S0
1 10
I0
1 10
T0
0.01I0T0
图线下约 22 小格，面积为 S = 22S0
所以电容器所获得的电量 Q
22 100
I0T0
0.22I0T0
（说明：21、22、23 格均给分）