同济大学线性代数第一章

性质1：行列式与它的转置行列式相等。
12 3 1 1 0 1 0 1 2 0 1 0 1 1 3 1 1
证明：设
a11 a12 a1n
b11 b12 b1n
D a21 a22 a2n D T b21 b22 b2n
an1 an2 ann
bn1 bn2 bnn
则 bij aji (i,j1 ,2 , ,n )由行列式定义
§3 n 阶行列式的定义
观察二、三阶行列式，得出下面结论：
1. 每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。 2. n 阶行列式是 n！项的代数和。 3. 每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性
所确定。
定义1： n! 项(1)ta1p1a2p2ann p的和
( 1 )ta 1p 1a 2p 2 a nnp
3 1 1 2 5 1 3 4 (2)
2 0 1 1 1 5 3 3
1 1 1 2
1 1 1 2
1 D
1
4
1
r2 r1 0
0
5
3
2 4 6 1 r3 2r1 0 2 4 3
1 2 2 2 r4 r1 0 1 3 0
1 1 1 2
1 1 1 2
r2 r4 0 1 3 0 r3 2r2 0 1
做 (i, j) 元素 a ij 的余子式, 记为 M ij , 同时
Aij1ijM ij
称为 (i, j)元素 a ij 的代数余子式。
例如：
a11 a12 a13 a14 考虑( 2, 3) 元素
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
( 2, 3)元素 a41 a42 a43 a44
24 6 12 3 1 0 1 21 0 1 01 1 01 1
性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。
2 1
4 0
1 6r1(12)(2)1 1
2 0
3 10
123
12 3
性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。
a11
a1n
a11 a1n a11 a1n
0 0 0 10 0 0 1
例2：计算
3111
13 1 1 D
1 13 1
1113
“行等和”行列式
3111
6111 1111
1 3 1 1各 列 加 到 6 第 3 1一 1 列 1 3 1 1
6
113 1
6 13 1 1131
1113
6 113 1113
1111
各 行 减 去 第 一0 行2 0 0
6
48
0020
0002
例10：设
a11 a1k
0
D a k1 a kk c11 c1k b11 b1n
c n1 c nk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1k
D1 D2
ak1 akk
bk1 bkk
证明： DD1D2
证明：利用行的运算性质 r 把 D 1化成下三角形，
第一章 行列式
§1 二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式 二元线性方程组
aa2111xx11aa1222xx22
b1 b2
(1) (2)
用消元法 (1)a22(2)a12 得 (a1a 12a22x1a11a 2a221 )2 xx1 2 b b12a22a1b 22
当 a1a 122 a1a 221 0时，方程组有唯一解
12 3
12 3
1 0 1r1 r3 1 0 10
12 3
12 3
性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。
用 k 乘第 i 行： ri k 用 k 乘第 i 列： ci k
“运算性质”
12 3
24 6
1 0 12r1 1 1 0 1
2
01 1
01 1
推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。
bi1ci1 bincin bi1 bin ci1 cin
an1 ann
an1 ann an1 ann
10 11 12 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 0 11 0 1 0 1 1 01 1 01 1
性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式的值不变。
1 2 3 按 第2行 展 开
D 1 0 1
1A210A22(1)A23
01 1
1(1)21 2
称 a1a 12a 233 a1a 22a 33 1a1a 32a 132 a1a 32a 23 1a1a 22a 13 3 a1a 12a 33 2
为三阶行列式, 记作
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
对角线法则：
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
DT (1)tb1j1b2j2bnnj
(1)taj11aj22ajnnD
性质2：互换行列式的两行 ( 列 )，行列式变号。
互换 s、t 两行： rs rt 互换 s、t 两列： cs ct
“运算性质”
12 3
01 1
1 0 1r1 r3 1 0 1
01 1
12 3
推论：若行列式有两行（列）相同， 则行列式为 0 。
用数 k 乘第 t 行加到第 s 行上：rs krt
用数 k 乘第 t 列加到第 s 列上：cs kct
“运算性质”
12 3
12 3
1 0 1r2 r1 0 2 4
01 1
01 1
利用行列式性质计算：（化为三角形行列式）
例1：计算
1 1 1 2 1 1 4 1 (1)
2 4 6 1 1 2 22
a11
D
a 22
a1a 122 ann a
nn
(4) 副对角行列式
a1n
D
a2,n1
n(n1)
(1) 2
aa a 1n 2,n1
n1
an1
行列式的等价定义
a 11 a 12 a 1 n
( 1 )aa a a a a
21
22
2n
t 1 j1 2j2
n nj
a n 1 a n 2 a nn
a1 1a2 2a3 3a1 2a2 3a3 1a1 3a2 1a3 2 a1 1a2 3a3 2a1 2a2 1a3 3a1 3a2 2a3 1
例： 2 0 1 1 4 1
1 8 3
2(4)30(1)(1)118 1(4)(1)0132(1)8
24 84164
§2 全排列与逆序数
定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。
( 1 )ta i1 1 a i22 a in n
§5 行列式的11 a21 an1
设 D a21 a22 a2n 则 D T a12 a22 an2
a n1 a n 2 a nn
a1n a2n ann
称 DT 为 D 的转置行列式。
D 经过“行列互换”变为 DT
副对角线
a11a22a12a21
例. 解方程组
32x1x1 2xx22
12 1
解：D3
2 3(4)70
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
D1 142, D7
x2
D2 213 D7
2. 三阶行列式
类似地，讨论三元线性方程组
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
( 2, 3)元素的
的余子式
代数余子式
a11 a12 a14
M23 a31 a32 a34 A 23 12 3M 23 M 23
a41 a42 a44
定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即
D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a i n A i n ( i 1 , 2 , ,n ) D a 1 jA 1 j a 2 jA 2 j a n A n j j( j 1 , 2 , ,n )
把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。 P3 = 3×2×1 = 6
例如：1, 2, 3 的全排列 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 = 6种，即 P3 = 3×2×1 = 6
一般地，Pn= n·(n-1)·…·3·2·1= n!
标准次序：标号由小到大的排列。
于是
x1D 1b b1 2
a12, a22
x2D 1a a1 21 1
b1 b2
其中D a11 a12 a21 a22
称 a1a 122a1a 22为 1 二阶行列式，记作
(1,2) 元素 a 11 a 12 a 21 a 22
行标 列标
也称为方程组的系数行列式。
对角线法则:
主对角线
a 11 a 12 a 21 a 22
定义2：在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。
一个排列的逆序数的计算方法：
设 p1 p2 … pn 是 1，2，…，n 的一个排列， 用 ti 表示元素 pi 的逆序数，即排在 pi 前面并比 pi 大的元素有 ti 个，则排列的逆序数为
a1a 1 a3 22 2a a3 23 3a12 a a3 21 1a a3 23 3a13 a a3 21 1a a3 22 2
问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行列式来计算？
定义1：在 n 阶行列式中，把元素 a ij 所在的第 i 行
和第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫
x1a b 1 1a a 1 2 2 2 2a a 1 1b a 2 2 2 2,1x2a a 11 a 1 b 2 1 2 2 b a 1 1 a a 2 2211
记
a11 a21
a12 a22
a11a22a12a21
则有
b1a22 a1b 22b b1 2 a a1 22 2 ,a1b 12b1a21 a a1 21 1b b1 2.
3 5 3 1
11 16 10 3 1 4 10 3
c2 3c1 19 24
18 5 1
12
18 5
c3 5c1 5 10 5 2
0 0 5 2
c4 3c1 0 0 0 1
00 01
4 1 10 3 8 1 10 3
12 1 18 5 0 1 18 5
40
0 0 5 2 0 0 5 2
p 1 1p kq k 1 1q n nD 1 D 2
例
1 1 100
1 2 000 111
12
D1 0 3 0 0 1 2 0
2
34
1 1 5 1 2 1 0 3
1 4 734
§6 行列式按行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证：
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
D = acfh + bdeg – adeh– bcfg
重要结论： (1) 上三角形行列式
a11 a12
0 D
a22
0 0
a1n
a2n aaa
1122 nn
a nn
(2) 下三角形行列式
a11 0 D a21 a22
aa
n1
n2
0
0
a1a 122 ann
a nn
(3) 对角行列式
t = t1 + t2 + … + tn
例4：求排列 32514 的逆序数。
解： t10,t21,t30,t43,t51 排 列 的t逆 5序 数
逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如：123 t = 0 为偶排列， 321 t = 3 为奇排列， 312 t = 2 为偶排列。
50
0 2 4 3
0 0 10 3
0 0 5 3
0 0 5 3
1 1 1 2
1 1 1 2
r3r4 0 1
5
0r42r3 0 1
5
0 45
0 0 5 3
0 0 5 3
0 0 103
0 0 0 9
3 1 1 2
2 1 1 3
5 D
1
3 4c1c44
1
3 5
2 0 1 1
1 0 1 2
1 5 3 3
r p11 D1
p11 pkk
p1k pkk
再利用列的运算性质 c 把 D 2 化成下三角形，
c q11 D2
q1n
q11 qnn qnn
对 D 的前 k 行作运算 r，后 n 列作运算 c, 则有
p11
r D
pk1
c c11
p kk c1k q11
c n1 c nk q n1 q nn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n 2 a nn
例1：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
a1 1a2 3a3 4a4 2
a11a23a32a44
例2： 计算四阶行列式
a0 0 b 0cd 0 D 0e f 0 g0 0 h