连续型随机变量及其概率密度.ppt

ke,3解xdx得kk=3.1
0
3
于是X的概率密度为
f
(
x
)
3e
3
x
x0
0 x0
(2) F(x)
x
f
(t
)dt
x 3e3tdt 1 e3x
0
x0
0
x0
即F
(
x
)
1
e
3
x
x0
0 x0
（3）PX 0.1
f (x)dx
3e3xdx e0.3 0.7408
0.1
0.1
例2
x2
3 2x 1, x 4.
4
,
x 0, 0 x 3, 3 x 4,
(3)
P 1
X
7 2
F
7 2
F
(1)
41 . 48
练习
设随机变量X具有概率密度
f
(x)
ke3 x
x0
0 x0
(1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。
解: (1) 由于
f ( x)dx
概率密度函数图形
f (x)
•
a
o
•
bx
分布函数
0,
x a,
F(x)
F
(
x)
x b
a a
,
a x b,
1•
1,
x b.
•
•
ao
b
x
均匀分布的意义
在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X , 落在区间(a , b)中任意等长度的子区间内的可能 性是相同的.
f (x)
p l ba
l
连续型随机变量的分布函数是连续函数.
2.概率密度函数的性质
1 f ( x) 0;
2 f ( x)dx 1;
反之，满足（1）（2）的一个可积函数f(x)必是 某连续型随机变量X的概率密度，因此，常用这两条 性质检验f(x)是否为概率密度。
几何意义：曲线y= f(x)与x 轴之间的面积等于1．
o
•• x1 x2
x
P{X a} 1 P{X a} 1 F(a)
f (x) d x
a
f (x) d x
f (x)d x.
a
3．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系
(1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那
么它的分布函数为
F(x)
x
f
(t )dt
(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么
l
1
ba
•
a
o
•
bx
例3 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分 发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻 随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概
率. 解：设A为乘客候车时间超过10分钟，X为乘客 于某时X分钟到达，X ~ U (0,60).
P( A) P{10 X 15} P(25 X 45} P{55 X 60}
3 对于任意实数x1,x2 ( x1 x2 ),
P{ x1
X
x2}
F ( x2 )
F ( x1 )
x2 x1
f
( x)dx;
几何意义：X落在区间(x1，x2)的概率P{x1<X≤x2}等
于区间(x1，x2)上曲线y=f(x)之下的曲边梯形的面积．
f (x)
同时得以下计算公式
1
S1
a
P{X a} F(a) f ( x)d x,
x 2
,
0 x 3, 3 x 4,
其他.
(1) 确定常数 k; (2) 求 X 的分布函数; (3) 求P{1 X 7}.
2
解
(1) 由
f ( x)d x 1,
得
3
kx d x
4
(2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x)d
x
1,
0
3
2
解得 k
1. 6
于是X
的概率密度为
x 6
,
f
(x)
2
x
,
0, 2
0 x 3, 3 x 4,
第三节 连续型随机变量及其概率密度
一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结
一、概率密度的概念与性质
1.概率密度函数的定义
如果对于随机变量X的分布函数F ( x), 存在 非负函数f ( x), 使对于任意实数x有
x
F( x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量, 其中函数f ( x)称为X的 概率密度函数, 简称概率密度.
注意
若X是连续型随机变量，{ X=a }是不可
能事件，则有P{X a} 0.
连
若 P{ X a} 0,
续 型
则不能确定{X a} 是不可能事件
若 X 为离散型随机变量,
离 散
{ X a} 是不可能事件 P{X a} 0.
型
例1 设随机变量 X 具有概率密度 kx,
f
(
x)
2 0,
于是X的分布函数为：
F(x)
1 2
e
1
x
1 2
e
x
x0 x0
X的概率密度为f
(
x)
F
(
x)
1 2 1 2
ex e
x
x 0 1 e x 2
x0
二、常见连续型随机变量及其概率分布
(一)均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度
f
(x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其他,
则称X在(a,b)上服从均匀分布. 记为X ~ U (a,b).
P({X 1}U{ X 2}) 2 4 2 . 99 3
(二) 指数分布
若连续型随机变量X 的概率密度为
确定常数A，B使得函数
F
(
x)
B
Ae x， - Ae- x ,
x 0, x 0.
为连续型随机变量X的分布函数,并求出X的概率密度.
解: 由分布函数的性质知 1 lim F(x) B 所以B=1. x
又由连续型随机变量的分布函数的连续性知F(x)在x=0
处有F(0-0)=F(0),即：A=1-A，所以：A=1/2.
5 20 5 1 60 2
例4 设随机变量X 服从区间[-3，6]上的均匀分布， 试求关于t 的方程4t2 4Xt (X 2) 0有实根的概率．
解：随机变量 的概率密度为
f
x
1 9
,
3 x 6
0, 其它
方程有实根，当且仅当 4X 2 4 4 (X 2) 0
即，(X 1)(X 2) 0. 解得，X 1或X 2.
它的概率密度为f(x)=F′(x).
注意 对于任意指定值 a, 连续型随机变量取 a的概 率等于零. 即 P{X a} 0.
证明 P{X a} lim
a x
f ( x)d x 0.
x0 a
P{a X b} P{a X b} P{a X b}
P{a X b}.
连续型随机变量取值落在某区间的概率与端点无关
其他.
(2)X的分布函数为
F(x) x
f (t
)dt
0,
x
0 3
0
1,
xd 6 xd 6
x, x
x
x 0, f ( x
0 x 3,
x
(2
x)d
x,
3
2
4.
)
3
x,
6 2
x
,
0, 2
x 4,
0 x 3,
3 x 4, 其他.
0,
即 F
(
x)
x2 12