第四章 逆运动学

s123 0 l1c1 l2 c2 c123 0 l1s1 l2 s12 0 1 0 0 0 1
1、求2 对比两个变换矩阵使相应的元素相等
最后应用2幅角的反正切公式得： 2 A tan 2( s2 , c2 )
四、逆运动学的解法
2、求 1
c s B WT 0 0
s c 0 0
0 x 0 y 1 0 0 1
例：试描述两自由度操作臂
ˆ ˆ Z Z 1 0
ˆ Y 1
0 2
T 的子空间
已知：
0
ˆ Z 2
ˆ ˆ X X 1 0
ˆ X 2
P2ORG
ˆ Y 2
X Y 0
三、操作臂子空间的描述
疑惑：对于0坐标系的位置？
ˆ Z 1
ˆ Y 1
ˆ Z 0
0
ˆ X 2
ˆ Z 2
ˆ Y 2
P2ORG
ˆ X 1
ˆ X 0
ˆ Y 0
X Y 0
四、逆运动学的解法
1、解法 我们把操作臂的全部求解方法分成两大类：封 闭解法和数值解法。 数值解法：通过大量的迭代公式进行计算，它的求 解速度相对较慢。 封闭解法：意指对于不高于四次的多项式不用迭代 便可以完全求解。
灵巧工作空间：机器人的末端执行器能够 从各个方向到达的空间区域。 可达工作空间：机器人的末端执行器至少 从一个方向上有一个方位可达的空间。
二、解的存在性以及多解问题
多解问题 一个具有3个旋转关节的平面操作臂，由 于从任何方位均可以到达工作空间内的任何 位置。因此在平面内有较大的灵巧空间。从 而存在多个解。
1 =A tan 2( y, x) A tan 2(k2 , k1 ) 2 A tan 2( s2 , c2 ) 1 2 3
四、逆运动学的解法
利用几何解法求解逆运动学方程
例2:求3R平面操作臂的逆运动学方程
ˆ Y 0
y


x
ˆ Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
四、逆运动学的解法
2 x 2 y 2 l12 l2
2l1 x y
2
2
求反余弦可以得到 则1 由1 2 3 可以得到3
这样就得到了1， 2，3的表达式
2
谢谢！
三、操作臂子空间的描述
解： 求解子空间其实就是求解腕部坐标系相对于基坐标系的变换矩阵的表达式，但并不是通过D-H参数求得的。 X X 2 Y2 X Y 可以得到0 0 ˆ = 而是通过坐标系之间的关系求得。现在已知了2坐标系的原点相对于0坐标系的描述，即 P2ORG = Y 。 2 2 2 X Y 0 0 0 0ˆ 此外，坐标系的 2 y轴的方向一直是向下的，所以该y轴在0坐标系的描述为 Y2 0 1 Y X 0 Ｘ 2 2 X 2 Y 2 X Y －X X 0 ˆ ˆ 和0 ˆ 叉乘求得。最后得到0 ０ Ｙ T2 = X 2可由0 Y 2T 2 2 2 2 X 2 Y 2 X Y ０ －１ ０ ０ ０ ０ ０ １
四、逆运动学的解法
2、求3
c c123 s s123 (2)
1 2 3 A tan 2(s , c )
由上式就可以推出：
3 1 2
因此可得逆运动学方程 组：
解：
有余弦定理可以得到：
2 2 l12 l2 x2 y 2 x 2 y 2 l12 l2 cos(180+ 2 )= 则cos 2 2l1l2 2l1l2
可以通过反余弦求解 2，但同时注意解是否存在。可以找到图示的两种解法。 在图中对 应用2幅角反正切公式： =A tan 2( y, x) 利用余弦定理得： cos =
2 x 2 y 2 l12 l2 2 x y l l 2l1l2 c2 得到c2 再推出s2 1 c2 , 2l1l2 2 2 2 1 2 2
c123 s B 0 0 1 2 123 W T 3 T 1 T2 T3 T 0 0
x k1c1 k2 s1 y k1s1 k2 c1 其中 k1 l1 l2 c2 k 2 l 2 s2
2 进行变量替换， r k12 k2 , A tan 2(k2 , k1 )则k1 =rcos , k2 r sin
第四章 操作臂的逆运动学
本章要点： 一、逆运动学的基本概念 二、解的存在性以及多解问题 三、子空间的描述（自由度小于6） 四、逆运动学的解法
一、逆运动学的基本概念
已知末端执行器相对于工作台坐标系的位置和位 姿，如何计算各个关节的关节角？来满足我们所 期望的位型。
二、解的存在性以及多解问题
解的存在性
c s 0.0 x s c 0.0 y B WT 0.0 0.0 1.0 0.0 0 0 1 0
其中的ɸ为连杆3在平面内的方位角 （相对于+x轴）
c c123 s s123 (2) x l1c1 l2 c12 y l1s1 l2 s12 (4) 把(3)和(4)分别平方再相加得到
三、操作臂子空间的描述
对于一个n自由度的操作臂（n<6），可达工作空间 可看成是n自由度子空间的一部分。例如，两连杆机器人 的子空间是一个平面，其工作空间是这个平面的子集。 确定n自由度操作臂的子空间的一种办法就是给出腕 部坐标系或者工具坐标系的表达式。 x,y给出了腕关节的位置，ɸ给出了末端连杆的姿态
四、逆运动学的解法
封闭解分为：代数解和几何解 在几何求解过程中常常引入了代数解，这两种 方法是很相似的。 接下来我们会给出代数解和几何解的相应的例 子。
例1：如图3R平面操作臂，求逆运动学方程
ˆ Y 3
ˆ Y 2 ˆ Y 0 ˆ X 1 ˆ X 0
ˆ X 3 ˆ X 2
ˆ Y 1
四、逆运动学的解法
对于逆运动学的求解，我们已知腕部坐标系相对于基坐标系的变 换矩阵。即 T 已知。
B W
i
i 1
0
0 0
ai 1
0
di
0
0 0
1
2 3
i 1
L1 L2
2 3
平面三连杆操作臂和它的连杆参数
ˆ Y 3
ˆ Y 2 ˆ Y 0 ˆ X 1 ˆ X 0
ˆ X 3 ˆ X 2
ˆ Y 1
四、逆运动学的解法 应用连杆参数很容易得到机械臂的运动学方程。
x x yx cos sin sin sin 得到 cos cos 1 sin sin 1 1 1 r y ry x y y x 因此cos( 1 ) sin( 1 ) 1 A tan 2( , ) A tan 2( y, x) r r r r 得到1 =A tan 2( y, x) A tan 2(k2 , k1 )