自适应信号处理

1.自适应信号处理基本概念，解决的问题，适用条件下（平稳、短时平稳），结构分类。

自适应信号处理:是研究一类结构可变或可以调整的系统，它通过自身与外界环境的接触来改善自身对信号处理的性能。通常这类系统是时变的非线性系统，可以自动适应信号传送变化的环境和要求。自适应系统和一般系统类似，可以分为开环系统（闭环：计算量小，收敛慢；开环：计算量大，收敛快）和闭环系统两种类型。开环系统仅由输入确定，而闭环不仅取决于输入，还依赖于系统输出的结果。自适应信号处理所研究的信号既可以是随机平稳信号，也可以是局部平稳随机信号，也可以是窄带或者是宽带信号。

2、信号相关矩阵及其性质，梯度运算:

输入信号的相关矩阵：R E[X*X T]=，相关矩阵R是厄米特矩阵，即满足R* = R T。作为厄米特矩阵，它具有以

下性质：

①对应于R的不同特征值的特征向量都是正交的。

②R是正定（或半正定）矩阵，它所有的特征值都为实数，且大于或等于零。

③所有特征值之和等于矩阵R的迹，即为输入信号的功率。

【定义一个幺向量：1=[1 1 …1]T，于是，R的特征值之和为

1T∧1=1T Q H RQ1== 上式等号右边的求和即为矩阵R的迹（矩阵主对角线所有元素之和），亦即系统输入信号的功率。】

④信号相关矩阵R可以被分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵，即：R=R a+jR b ，其中，实矩阵R a、R b分别满足条件：R a T=R a 和R b T=-R b

⑤若W为L+1维的权向量，则对相关矩阵R，存在关于W的一个瑞利商，且对于所有W的瑞利商均为实数。瑞利商Ray(W)=

⑥R可分解为R=Q Q T where Q[q0,q1,…q l],

信号子空间：R s非零特征值对应的特征向量张成的子空间。Span{q0,q1,…q s}

噪声子空间：信号子空间的正交补空间零特征值→特征向量。Span{ q s+1,q s+2,…q l+1}

梯度运算：=[]T

式中分别是向量W的第l个元素的实部和虚部，即；ε即为。

实标量函数的梯度是一个向量，其方向代表该函数最陡下降时W变化方向的负向。

（）=2RW

3、性能测量方法。（代价函数）

①最小均方误差（MSE）：准则--误差信号功率最小：

ε(W)=E[]= E[]+- 2Re(W T P)，（代价函数）→W opt=R x-1P*.

( ε(W opt)=E[]- W opt T P ---( P) )

εmin=E[]+P T R-1RW opt - 2W T opt P = E[] – P T W opt

②最大信噪比：SNR=, SINR=

SNR=W opt =arg R s’最大特征值对应特征向量。R s’ W opt’= λmax W opt’

③最大似然准则(ML)：=arg ，高斯噪声，干扰背景

④最小噪声方差(MV)：

W opt=λ 1 , λ =

评价自适应系统性能的指标：收敛速度，跟踪能力，稳健性，计算量，算法结构，数值稳定性，稳态性能。

4、权向量求解方法：

①最陡下降法：- μ▽

②牛顿法：- μ▽

适用范围：代价函数是凸函数，不存在局部极值点。

<

μ:特征值散布程度

【最速下降法：0<μ<

牛顿法：0<μ<1

在初始值位于椭圆族主轴上时，它两个收敛特性相同。】

收敛条件会证明！

最陡下降法：- μ▽

梯度：▽=|ω==2λ（）

于是：- 2μλ（）

即：=(1-2μλ)

则可将第k次权偏差值迭代递推表示为：=(1-2μλ)k

而将第k次权值表示成：+ (1-2μλ)k（）

相继两次权偏差值迭代的比值均为公比：(1-2μλ)=γ，则上述迭代过程“稳定”的充要条件是|γ|=|1-2μλ|<1，即：0<μ<1/λ。

则算法收敛于最佳解：=。

牛顿法：R-1P* 、▽=2R-2 P*

▽=2R-2 P* →+2μ

→= (1-2μ)= (1-2μ)k+1.

所以，收敛条件：0<μ<1 .

5、自适应实现算法：（最陡下降法，牛顿法，仅给出迭代公式）

①微商法：梯度估计：=

β（因权微扰而不停留在所引起的均方误差平均增量β为“性能损失”，即β=1/2[ε(-σ)+ ε(+σ)]- ε(). 对于单个实权的

二次型性能函数，β=λσ2）；

P（扰动，即P ==,此式给出了用最小均方误差归一化的均方误差平均增量。），

excMSE（超量均方误差：excMSE=E[,自适应过程中权值噪声将引起稳态权向量解围绕最佳点随机地变化，即系统输出均方误差在“碗底”附近“徘徊”，结果就产生了“超量”均方误差，于是会使稳态均方误差输出值大于）,

M（失调，M=,它是超量均方误差和最小均方误差的相对比值，且是一个无量纲的量。它是自适应能力所付代价的归一化量度。

失调M并不包括人为将权偏离（而不是由噪声）所引起的扰动P。）

=M+P .P opt≈A/P opt≈M tot - P opt≈M tot /2 。也就是说，当扰动等于总失调的一半时，总失调量达到最小值。

总失调：M

tot

------性能损失

参数选择对性能影响：σ，N(样本数),μ

P+M 最小选择σ（扰动）

性能评估：N越大，估计方法越小，β↓，excMSE↑，稳定性能好，但收敛慢，μ越大，（满足收敛条件）。

收敛速度快，excMSE变大，稳定性能变差。

性能分析：N 越大，δ 越大，μ 越小，超量均方误差就越小；

N 越大，δ 越大，μ 越小，失调量就越小

时间常数：①权向量收敛：γn=1-2μλn ,τn==