数学分析第六章课件讲义不定积分

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数学分析第六章课件不定积分
第一节 不定积分的概念
一、原函数
定义 1 设 函 数 yf(x)在 区 间 X 内 有 定 义 , 如 果 存 在 X 内 的 函 数 F (x)， 使 得
F(x)f(x) 则称F(x)是f (x)在X上的一个原函数。
例1 six ncoxs 则 sin x是cos x的一个原函数.
e 2 x d x 1e 2 x2 d x 1e 2 x d (2 x ) 1e u d u
2
2
2
1eu c1e2x c
2
2
一般情况：
定理6.3 （凑微分法或第一换元法）
设 g ( u ) 具有原函数 G ( u ) , 即 g(u)duG(u)c
u (x) 可导, 记 f(x)g((x))'(x))，则有
cot xdx ln sin x c
例5 求
dx x (1 x )
解法1：
dx x(1x)
dx xx2
由例3得
d
x
1 2
1 4
x
1 2
2
dx
x1 arcsin 2 c
x(1 x)
1
arcsin(2x1)c
2
dx
2d x
解法2：
x(1x)
1
2arcsin xc
2
x
增加
cos2 xdx 1 c 2 o s2 xd x1 2d x c o s2 x d x
不定积分不是一个函数，而是一族函数， 在几何上他是一族曲线，称为积分曲线， 只要画出其中的一条，其它曲线可通过平移而 得到。
三、基本积分公式表
由定义知： [f(x)dx]'f(x) 或 d[f(x)dx]f(x)dx
F'(x)dxF(x)C或 dF(x)F(x)C
注 意
1）求不定积分运算与微分（微商）运算是互逆的。 2）根据基本初等函数的导数公式表，可以得到基
问题一 问题二
问题三
存在性：哪些函数一定存在原函数？
唯一性： 由定义，显然不唯一，且有：若F（x）
为 f（x）的一个原函数，则对任意常数C， F（x）+C也是f（x）的一个原函数。 这也说明， 若f（x）存在一个原函数， 则其必有无穷多个原函数。
若F（x）为f（x）的一个原函数， F（x）+C 是否所有的原函数？
例4. 求 sec xdx
解法2: sec xdx d x cos x
cos xdx cos2 x
dsinx dsinx
cos2x1sin2x
由例2得， 1ln sinx1 c 2 sinx1
1 ln sin x 1 c lnsecxtanxc
2 sin x 1
增加 tan xdx wk.baidu.comln cosx c
本积分公式表：
1 d x ln|x|c(x0). x
x a dx 1 xa1c(a1,x0).
1a
a x dx ax c(ao,a1) lna
exdx e x c
cos xdx sinxc sin xdx cosxc 强调
sec2xdx tanxc
csc2xdx cotxc 1、背熟
即：是否f（x）的每一个原函数都具有 F（x）+C的形式？
回答：下面的定理：
定理6.1
若 F (x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数，则 F (x) +C 是 f (x) 的全体原函数，其中 C 是任意常数。
证明：Lagrange中值定理的推论。
根据原函数的这种结果，引入定义。
二、不定积分的概念
2、 kf(x)dxkf(x)dx
证明：说明一下法则的体系（极限求导……
例3. 求 sin 2 x d x 2
解: s in 22 xd x 1 c 2 o sx d x 1 2 (x s in x ) c
例4. 求
dx sin2 x cos2 x
解:
dx sin2xcon2xdx
sin2xcos2x sin2xcos2x
f(x)dxg((x))'(x))dxg(u)du
G(u)cG((x)))c
证明：与复合函数的微分法则对应
例：
sin2xdx
12sin2xd(2x)
1 2
cos
2x
c
dx xa
?
sinxcosxdx?
例1 求 d x x2 a2
解:
dx x2 a2
1 a
dx
1
a ( x )2
1 arctan x c
2、积分常数不
1 dx a r c s i n x c a r c c o s x c能丢
1 x2
dx 1 x2
a r c t a n x c a r c c o t x c
四、不定积分的运算法则
微商运算法则
不定积分的运算法则
定理6.2 （线形运算法则）
1、 (f( x ) ) g ( x ) ) d x f( x ) d x g ( x ) d x
定义6.2 f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x) 在区间 I 上的
不定积分，记为
f (x)dx
从而 ,若F (x)为f (x)在I上的一个原函数，则有
f(x)dxF(x)C, C为任意常数
例2
cosxdxsinxc; x2dx x3 C ;
3
1dx x
ln|
x|
C
注 这里没有注明x的变化范围， 意 通常都理解为使等式成立的x的全体。
4x 9x 26x c ln4 ln9 ln6
第二节 换元积分法与分部积分法
前面给出了基本积分表和分部积分的性质，但所能 计算的积分非常有限，且不能总用定义求。
例：cos2xdx e 2 x d x
一. 换元积分法
先看例子： 求 e 2 x d x 公式表中只有 exdxex c
比较两积分：凑一个因子2
a
a
a
例3 求
dx a2 x2
解：
dx a2 x2
dx a
arcsin x c
1 ( x )2
a
a
例2 求
dx x2 a2
解:
dx x2 a2
1 ( 1 1 )dx 2a xa xa
2 1 ad(xx aa)2 1 ad(xx aa)
1lnxa1lnxac
2a
2a
1 ln x a c 2a x a
11
(co s2xsin2x)d xtanx co tx c
例5. 求
x3 x 1 1 x2 dx
解： x 3 1 x x 2 1 d x(x 1 1 x 2 )d x 1 2 x 2 a rc ta n x c
例6. 求 (2x 3x)2dx
解： ( 2 x 3 x )2 d x ( 4 x 9 x 2 6 x ) d x